2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷(二)(5月份)

1、1.2.3.2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷(二)(5月份)一、填空题(本大题共M小题，共70.0分)已知集合力=1,2, B = - 1,。，若力U 8 = -1#，2,则Q =若复数z满足(l-i)z = 1+i,其中i是虚数单位，则z的实部为.某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在50,100内，将学生成绩分成50,60), 60,70), 70,80),80,90), 90,100五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在80,90)内的学生人数是第9页，共16页8.9.10.已知定义在R上的奇函数f(幻的周期为2,且x G 0,1时,f(x)= ,2x + a,0<

2、;%<-必-1、，则a+b =4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y的值为While3 -jr"End WhilePrini y5 .某班推选一名学生管理班级防疫用品，己知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的士则这个班级的男生人数与女生人数的比值为26 .函数f (x) = J2 x + Inx的定义域为-7 .在平面直角坐标系孙中，抛物线y2 = 4x的焦点是双曲线捻一"=1的顶点，则。=已知等比数列斯的前，项和为%, S4 = 5S2, w = 2,则。4=.已知正方体力BCD - ABiGDi的棱长为6,点M是对角

3、线AC上靠近点力1的三 等分点，则三棱锥C M8D的体积为.已知锐角a满足sin2a - 2cos2a = -1,则tan(a + g)=12 .如图，在力8C中，乙4BC=g,力8 = 1, 8c = 3,以AC为一边在力BC 的另一侧作正三角形ACD 则丽就=.13 .在平而直角坐标系xOy,AB是圆O：x2+y2= 1的直径，且点A在第一象限：圆。/(X - a)2 + y2 = 户(。>0)与圆。外离，线段4。1与圆。工交于点M，线段8M与圆。交于点M且而+瓦片=0,则 "的取值范围为.14 .已知a, b E R, a+b = t(t为常数)，且直线y = ax +

4、b与曲线y = xe"(e是自然对数的底数，e 2.71828.)相切.若满足条件的有序实数对(a, b)唯一存在，则实数f的取值范围为.二、解答题(本大题共11小题，共142.0分)15 .已知力8c中，a, b,。分别为角A, B, C的对边，且从讥2月=asinB.(1)求 A：(2)求cos(B + sin(C +的最大值. DO16 .已知在四棱村/BCDn181clDi中，底而A5CO是菱形，且平面力遇D% jL平面ABC。，DAL = DDL. 点区尸分别为线段45, 8C的中点.(1)求证：EF/平面(2)求证：力平面E5O.17 .在平而直角坐标系 仙，中，椭圆C：

5、 + =i(a>b> 0)的离心率为(右焦点到右准线的距离为3.(1)求椭圆。的标准方程:(2)过点P(O,1)的直线/与椭圆。交于两点A, 8.已知在椭圆。上存在点。，使得四边形。AQ3是平行 四边形，求。的坐标.18 .某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米 的圆周.已有两条互相垂直的道路。石，OF,分别与荒地的边界有且 仅有一个接触点A, 8.现规划修建一条新路(由线段MP, PQ,线段QN 三段组成)，其中点财，N分别在0E,。尸上，且使得MP, QN所在直 线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点产，。，同所对的圆心角为5 记"C4 = 26(

6、道路宽度均忽略不计).(1)若6 =工，求。N的长度：(2)求新路总长度的最小值.19 .已知各项均为正数的数列七的前/?项和为S”，的 = 2,且对任意nWN*, anSn+1-an+1Sn=2an+1- 20n恒成立.(1)求证：数列是等差数列，并求数列。”的通项公式；(2)设勾=t+4-3,已知电，瓦,与(2 Vi Vj)成等差数列，求正整数/，上20 .已知函数f (x) = (m l)x + Inxt g(x) = (m 2)x2 + (n + 3)x 2(mfn G R).(1)当m = 0时，求函数f(x)的极值：(2)当九=0时，函数尸(幻=9(幻一人外在(0,+8)上为单调函

7、数，求/的取值范围：(3)当71 >0时，判断是否存在正数机，使得函数f(%)与g(x)有相同的零点，并说明理由.21 .已知点M(2,l)在矩阵力=1 空对应的变换作用下得到点N(5,6),求矩阵A的特征值.22 .在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，二鬃；。(a为参数).以原点。为极点，x轴非负半 轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为ps讥(6 + ) = V10.(1)求曲线。和直线/的普通方程：(2)点尸是曲线C上的动点，求P到直线/的距离的最小值.23 .已知a, b,。是正数，求证：对任意不等式|% 2|一|X + 1|<± + £

8、+巴恒成立. a o c24 .如图，在四棱锥P一力BCD中，底面A8CO是矩形，PnJL平面ABCD, 力8 = 2,力。=HP = 3,点M是棱P。的中点.(1)求二面角M - AC - D的余弦值；(2)点N是棱PC上的点,已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值 为史竺，求爱的值.22 PC25 .已知数列中，出=6, a“i = ：嫉 +3(neN)(1)分别比较下列每组中两数的大小：和6x|：。3和6X($3：(2)当nN 3时，证明:%2(筮2(y一3.答案和解析1 .【答案】1【解析】解：集合4 =1,2, B =且4UB = -1m, 2,： a = 1,故答案为：1.利用集

9、合并集运算即可算出结果.本题主要考查了集合的并集运算，是基础题.2 .【答案】0【解析】解：由(li)z = l + i,但 _ l+i _(1+。2_ l+2i+产 _付 Z -口- (1-0(1+0 -z,Z的实部为0.故答案为：0.把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3 .【答案】30【解析】解：由频率分布直方图，得到：成绩在80,90)内的学生人数是：1 - (0.005 + 0.02 X 2 + 0.025) X 10 X 100 = 30.故答案为：30.先求出成绩在80,90)内的学生所占的频率，由此

10、能求出成绩在80,90)内的学生人数.本题考查成绩在80,90)内的学生人数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题.4 .【答案】一1【解析】解：模拟程序的运行，可得x = 1, y = 1第一步：y = 2, % = 2；第一步：y = -1» x = -1：故最后输出的)，的值为-1.故答案为：-1.模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的y的值.本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法，属于基础题.5 .【答案】2【解析】解： “选到女生”的概率是“选到男生”的概率的支.男生人数与女生人数的比值为2.故答案为：2.利用古典

11、概型概率计算公式直接求解.本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6 .【答案】(0,2【解析】解：要使函数f(x)有意义，则三彳之°，即幽，解得0 VxK 2,即函数的定义域为(0,2,故答案为：(0,2根据函数成立的条件，即可得到结论.本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件.7 .【答案】1【解析】解：抛物线>2 = 4%的焦点是(1,0),双曲线接一5=l(a >0)的顶点为(1,0)，(-1,0),则 a = 1.故答案为：1.求得抛物线的焦点坐标，由题意可得a >0,求得双曲线的顶点坐标，可得的值.

12、本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题.8 .【答案】2或8 【解析】解：根据题意,%为等比数列,若S4 = 5Sz，则有%+% + %+% = 5(%+ Q2)，变形可得：。3 +。4 = 4(% +。2)，当。1 +。2=。时，q=-l,此时。4 = 2;当的 + 电工0时，Q2 = 4,此时04 =的勺？ =2X4 = 8,综上所述，。4= 2或8：故答案为：2或8.根据题意，分析可得的 + a2 + a3 + a4 = 5(% + a2)»变形可得：a3 + a4 = 4(如 + a2)»讨论+。2 =。或 aL+a20,求出公比q的值，据此分

13、析可得答案.本题考查等比数列的性质以及应用，注意等比数列的通项公式，属于基础题.9 .【答案】24【解析】解：点M是对角线41c上靠近点4的三等分点,1 M到底面的距离d = 4,乂= 5 X 6 X 6 = 18，VC-MBD = M-BCD = - X 18 X 4 = 24.故答案为：24.由已知求得M到底面的距离，再由等体枳法求解.本题考查由等体积法求多面体的体枳，是基础的冲算题.10 .【答案】0【解析】解：f(x)为定义在R上的奇函数，.f(i) = f(iXD，f(0) = 0, 函数f(x)的周期为2,，f(l)=f(l)，由，得f(-l)=f(l) = O/(O) = 2&#

14、176; + a = 0故答案为：0利用函数的奇偶性以及函数的周期性，结合分段函数，列出关系式求解“，b即可得到结果. 本题考查分段函数的应用，函数的奇偶性与周期性，考查分析问题解决问题的能力，是中档题.11 .【答案】2【解析】 解： sin2a - 2cos2a = -1, 2sinacosa - 2(cos2a - sin2a) + sin2a + cos2a = 0, 化简得，Zsirra + Isinacosa - cos2a = 0,两边同时除以cos2a得，3tan2a + 2tana - 1 = 0,解得，tana = ?或1 a为锐角，tana >0, tana = n

15、i.-, nr、tana+t an-+1 tan(a+7)=J = 2.4l-tanatan- 1-Xl48故答案为：2.先利用二倍角公式对原等式进行化简，整理后得3sin2a + 2sinacosa - cos2a = 0,两边同时除以cos2a得, 3tan2a+2tana-l = 0,由于a为锐角，所以tana>0,解方程即可得tana的值，再结合正切的两角和 公式进行运算即可得解.本题考查三角恒等变换公式的应用以及弦化切的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.12 .【答案】4【解析】解：取AC中点£连接OE, BE, T 9 一9 9 » 1

16、» »， 一一则BD -AC = (BE + EDyAC = BE - AC = 月 + BC)(BC - BA) =1(BC2 -#)=J X (32 - I2) = 4.故答案为:4.取AC中点E,连接OE, BE,利用向量平行四边形法则、向量的数量积转化 求解即可.本题考查向量平行四边形法则、平面向量的数量积的运算与应用，是基本知识的考查.13 .【答案】(26,4)【解析】解：而+而? = 6=四边形ON。1M为平行四边形，即0N = M0i=r = l, 所以圆。1的方程为(4- a)2 +产=i 且QN为力8M的中位线，=HM = 20N = 40i = 3,故

17、点A在以Oi为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：(x - a)2 + y2 =9,故a - a)2+y2 = 9与/ + y2 = 1在第一象限有交点，即2 < a < 4,由器；/：；2 = 9,解得以=噤>。=°>26故a的取值范围为(2方4),故答案为：(2/5,4).而+而？ = 6=四边形OWOiM为平行四边形，由此求得圆。1的方程以及力。1的长，进而判断出A点在圆 (x - a)2 +y2 = 9.h根据圆(x a)?+y2 = 9与圆/ + ,2 = i的位置关系，求得"的取值范围.本题考查圆与向量知识，关键是转化思想的应用，属于中档

18、题.14 .【答案】(-8,-*)ue【解析】解：设切点为y = %泥的导数为y' = (% +l)e", !a = (xQ + l)ex0 ,9 ?八=b = -城e*。，则 a +b =户(T + & + 1) = f(&) = t 有唯一解，尸(出)= 一/。(%0 + 2)(%o - 1)，xo(-8,-2)-2(-2,1)1(1，+8)尸(死)0+0fM递减5e2递增e递减可得f(Xo)的极大值为C，极小值为-W，故f(Xo) = t有唯一解时，的取值范围为(一8,-勃U e.故答案为：(-8,4)Ue.设切点为(久0/0产。)，求得y = &quo

19、t;/的导数，可得用与表示小的式子，可令t = f(x°),求得f(x0)的导数， 可得单调区间和极值，由条件可得，的范围.本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理 能力，属于难题.15 .【答案】解：(1) bsin2A = asinB,由正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得：2sinBsinAcosA = sinAsinB,: A, BE (0,7T), sinAsinB 丰 0, 可得cos力=，(2),:力=?一= cosC + sinC + sinC + 二 cosC = sinC cos(B +，) + sin(C +=c

20、os(- C) + sin(C +3 CG (0片)，sinC E (041, cos(B + -) + sin(C + -) = sinC 6 (0,1,即cos(B + -) + sin(C + I)的最大值为 1 【解析】(1)由正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知等式，结合s加4s讥8W0,可得cos力=：,可求A的值.(2)由8 = 丁一5利用三角函数恒等变换的应用可求cos(B+2+ sin(C +9 =smC,结合范眦 (0年), o003利用正弦函数的性质即可求解cos(B + ? + sin(C + g)的最大值. b3本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函

21、数的性质在解三角形中的应用，考查了计算 能力和转化思想，属于基础题.16.【答案】证明：(1)连结CD1，四棱柱MCD-ABtQDi中,481GD1，88住住是平行四边形， ' AiDBC, BC/25iC,I/D = BCp BC = B*Ci，又:点、E, F分别为线段A。，8C的中点，a EDJ/FC, ED= FC,所以四边形EDiCF是平行四边形， EF/CDl,又，EF C平面CQD1D. CD u平面CCi%D, EF平面CQDi。(2)四棱柱/BCD 一月14GDi中，四边形力&。道是平行四边形，:AD“A】D在D&D1中，DA1 = DD1,点E为线段

22、的中点,a DE又力。/41。a DE LAD,又，平面力DDi 平面ABC。，平而力1nDD1n平面力BCD =力D, DE DE JL平面A8CD,又为Cu平面ABC。，.DE jLAC, 底面ABCD是菱形，BD 1 AC.又丁 BD CDE = D, BD, DE u平面 EBD, AC JL平面EBD.【解析】(1)连结CD推导出JDJ/Bg, BC/B4 EDJ/FC, ED± = FC,从而四边形ED】CF是平行 四边形，EF"%,由此能证明EF平面Cq%D(2)4。力在D&D1中，DA1=DD1,点E为线段4%的中点,推导出DEJL4D1，DEJLn

23、D,从而DE«L平面A8CD,进而DEJ.4C, BD LAC,由此能证明AC jL平面本题考查线而平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、而而间的位置关系等基础知识，考查运算 求解能力，是中档题.17 .【答案】解：(1)设焦距为2c 椭圆。的离心率为本.日， 右焦点到右准线的距离为3,.三一 =3，由，解得a = 2, c = 1,故从=。2 一02 = 3,，椭圆C的标准方程为I +t=1， 43(2)当直线/斜率不存在时，四边形QAQB不可能平行四边形，故直线/斜率存在， 直线/过点P(0,l),设直线/为：y=kx + l,设力(%1，-1 + 1), B(x2,kx2

24、 + 1),由四边形O4Q8是平行四边形，得QQi +必/(刈+小)+ 2)，=0, 化简得：(3 + 以2)/ + 8-8 = 0, =64/ +32(3+ 4/)= 192/+96-8k±v,fZ =工1 + 2(3+42)=xlx23+428kZ6+&) +2 = %(-40 + 2 =63+4HQ (' ''点.在椭圆。上'3(一嬴)2+ 4($)2 = 12, 解得 =±(代入。的坐标， 得Q(l$或(一琦).【解析】(1)设焦距为2c通过椭圆。的离心率以及右焦点到右准线的距离，求出”，c,然后求解，得 到椭圆方程.(2)当

25、直线1斜率不存在时，四边形OAQB不可能平行四边形，故直线/斜率存在，设直线/为:y =丘+ 1, 设A(&，k+1), B(x2,kx2+1),推出。(X1 +42，%1 + &) + 2),联立直线方程与椭圆方程，结合韦达 定理，转化求解。的坐标，通过点。在椭圆C上，求解即可.本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.18 .【答案】解：(1)如图所示，连接CB, CM CM,第13贞，共16页v NQ > 0,tan0+V3,r3tan0- 1> 0，0 G)tan-tan0tane+vlo1+tantan0v

26、*3tan0-l3OM 1 ON, OM, ON, PM, QN均与圆 C相切，CB 1 ON, CA 10Mt CP 1 MP, CQ 1 NQ, CB 1 CA,= "CQ V，,"C8 = 2"冷 咤此时四边形BC0N是正方形，QN = CQ = 1, 故。N的长度为1千米.(2) Z.PCA = 26,:.乙MCP = 8, NCQ = -Z.QCB = -3, 23则MP = CP - tanZMCP = tanO, PQ =，NQ = CQ tan乙NCQ = tan( 6)=设新路长为f(6),其中6愿)即1而6巴 3f=.6 +%+黑言=- A 舄

27、F+学+岸26+ 3当府” V3时取“=”故新路总长度的最小值为2巡+ I O【解析】(1)连接CB, CN, CM,可知OM, ON, PM, QN均与圆C相切，通过圆周角为27r可求出乙QCB =从而得出四边形8CQN是正方形，进而可得QN = CQ = 1：(2)因为“。4 = 26,所以"CP = 6, LNCQ = - 0.利用弧长公式可求得MP =P$ =-, NQ =36黑;：,由于M?>0,所以设新路长为f(6),则f(6)=MP + &+NQ，然后结合均值不等 式进行计算即可得解.本题考查三角函数的实际应用，主要涉及弧长的计算、正切的两角差公式和均值不

28、等式的应用，考查学生 的分析能力和运算能力，属于中档题.19.答案解：(1) anSn+1 - an+1Sn = 2an+1 - 2an,A «n(5n+i + 2) = an+i(Sn + 2)，嗷列斯各项均为正数，.aa+1>0,等式两边同时除以即册+广得号詈皆=°,故数列户*是等差数列，首项为2,公差为0,=2, HUS九 + 2 = 2an(T)> S? + 2 = 2a2，求得。2 = 4, S兀t + 2 = 2an_1(n > 2)，得= 2an 2an.lt U|Jan = 2a九 又劭=4 = 2%,对任意nCN*,数列册是以2为首项，2

29、为公比的等比数列 故数列"的通项公式为即=2n;(2) " = a九 + 4n - 3 = 2九 + 4n - 3, = 9，瓦=> + 4t 3, bj = 2> + 4j 3,“2,瓦,3(2 Vi Vj)成等差数列， 2(2, + 4i 3) = 9 + 2, + 4; - 3,变形得亲=2尸1 +6_1(*)，当jZi + 2时，2六'-1 + £-1>1,令，=尹。之 3),则 q+1-q = - -=<0(1> 3), 数列匕单调递减，故%max) = C3 = ： V 1， 会 VI,故jNi+ 2时*式不成立,

30、当j=i + l时，*式转化为|=2。+景一 1, 解得i = 4,故/= 5.【解析】(1)由q1s.i册+d =2aHi 2册可得箸产一肾=0,所以数列喘3是等差数列，首项为 2,公差为0,再利用等差数列的通项公式，以及公式分=5”-5”7(71之2)得到数列%1是以2为首项，2 为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求出即；(2)由(1)可知坛=9,瓦=2,+ 43,与=2，+号-3,结合条件得到会=2尸，-1 +1(*),再对./和i + 1的大小分情况讨论，即可求出正整数i, J的值.本题主要考查了数列的递推式、等差数列和等比数列的性质，是中档题.20.【答案】解：(1)当m

31、 = 0时，/(x) = X + Inx,./(4) = -1+3令/(幻=0,解得x = l,列表如下：X(。,1)1(1，+8)尸+0f(x)单调递增单调递减当=1时，函数f(x)有极大值-1,无极小值；(2)当 n =。时,函数 F(x) = g(x)-f(x) = (m - 2)x2 -(m- 4)x -Inx-2.p/(x = 2(m 2*(m 4)yT =(及-1)(9-2)m1, ,，xx要使函数尸(“)= g(”)f(x)在(。,+8)上为单调函数，则对Vx e (o,+8), P(x)> o或尸(x) < o恒成立，令九(x) = (2x l)(m - 2)x +

32、 1, h(x) > 0或h(x) < 0恒成立当0V mV 2时，x(0,u(±»,+8)时，h(x)<0,时，h(x)>0,不符题意;当mV 0时，工(0,占)1；6，+8)时，h(x)<0, #(占，时，h(x) > 0,不符题意；当mN 2时，时，h(x) < Oi %(a+8)时，h(x) > 0,不符题意；当m =。时，h(x) = "(2% -< 0,此时F<%) < 0恒成立，函数尸(幻=g(x)- f(x)在(0,+8)上单调递减，符合题意，综上所述，机的取值范围为0：(3) .函

33、数f(x)与g(x)有相同的零点，不妨设工。为相同的零点- 1)%0 + lnxQ= 0Jl(m 2)端 + (n + 3)x0 2 = 0，得m = x° Jnx° '一部 一 xQlnxQ + (n+ 3)x0 - 2 = 0, *0有(1)知f(x) = -x + Inx < /(I) = -1 V 0,板o - lnx0 > 0,x0-inx0、八 m => 0,*0令力(&) = _舄-Xolnxo + (n+ 3)%o - 2，又人(1) = n > 0, h(n + 3) = (n + 3)ln(n+ 3) 2 <

34、 0,故当%0 6(1,n +3)时，h(xo) = O,式有解，且能满足加=主打>0，存在正数机，使得函数f(x)与g(x)有相同的零点.【解析】(1)当m = 0时，/(x) = -x + Znx,求导，然后列表格分析单调性，求出极值.(2)当71 = 0时，写出函数尸(外解析式，求导尸'(幻=2(时2比二(时4比-1 = (2xT)(：2)x+l,根据题意可得对Vx G (0,+8), Fx) >。或产(%) < 0恒成立，令ME) = (2x-l)(m-2)x+ 1, h(x) > 0或九(乃 <。恒成 立当0VmV2时，当mV。时，当m2 2时，

35、©当m=0时，分析人(外的正负，进而得到/的取 值范围.(3)结合导数与单调性关系，函数的性质及零点判定定理，即可求解.本题考查利用导数求极值，单调性，零点，还考查了考试分析问题，解决问题的能力，属于难题.21.【答案】解：点M(2,l)在矩阵4 = 1 T对应的变换作用下得到点N(5,6),北期无，则缺盛，解碓?二叱1f=XE-A=(A-l)(A-2)-6,-Za - Z令f(2) = °，得笛3A 4 = 0,解得心=4，A2 = -If.矩阵A的特征值为4或- 1.解析根据条件，由:得到4=A ：，再由 f(a)= ,E_*= (A - 1)(2 - S ，Lb Lb

36、" ZJ-ZZ Z2)-6,求出矩阵A的特征值.本题考查矩阵的特征值的求法，矩阵的变换、特征值、矩阵相乘等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题.22 .【答案】解:由题意，曲线C的参数方程为卮:；(a为参数)转换为直角坐标方程为:9 + y2 = 1，直线/的极坐标方程为psm(e+3= 而，根据1:靠；，转换为普通方程为工+¥-2时=0.(2)设 P(2cosa, sina),则P到直线/的距离8 =12cosa+5tna-2>/S| _ |VSsin(a+0)-2>/§ _ 2Vs-v,rSsin(a+0)所以当sin(a + 6) = l时，d

37、min =所以P到直线/的距离的最小值为四.2【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)利用点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三 角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力， 属于基础题型.23 .【答案】证明：对于正数"，b, c,由均值不等式得士+：+±N332x：X*=3, a D ca o c当且仅当a = b = c时取“=”，任意 x

38、 ER,由绝对值不等式得 |x -2|-|x+l| < |x -2-x+ 1| < |(x - 2) (x + 1)| = 3, 当且仅当时取“=”，工对任意x 夫，都有不等式I"-2|-|x + l|<，5 + 2成立. a o c【解析】由均值不等式求出不等号右边式子的最小值，由绝对值不等式求出不等式左边的最大值，即可证 明结论成立.本题考查均值不等式和绝对值不等式的应用，以及恒成立问题在证明中的应用，属于中档题.24 .【答案】解：(1)以方，而，硒为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系/一秒z,贝IJ各点的坐标为力(OQ，0)，8(2,。，0), C(2,3, 0), D(0,3, 0), P(0,0, 3), M(0以弓)，赤=(0,0, 3),就=(2,3, 0),而=(0,晶)因为P/L平而A5CD,所以平面AC。的一个法向量为赤=(0,0, 3), 设平而MAC的法向量为元=(%，z),所以g .第二;，(2x + 3y = 0三y + ¥z=0'取元=(3，2,2),12 J 2* 、 APn 62V17 c