第一章量子力学基础知识

1、12结结 构构 化化 学学 的的 主主 要要 内内 容容 结构化学是研究原子、分子和晶体的微观结构与性结构化学是研究原子、分子和晶体的微观结构与性能之间关系的科学。能之间关系的科学。具体地说，结构化学研究原子、分具体地说，结构化学研究原子、分子和晶体内电子的排布及运动的规律，探讨分子和晶体子和晶体内电子的排布及运动的规律，探讨分子和晶体中化学键的成因、特性及其与构型、构象的关系，探讨中化学键的成因、特性及其与构型、构象的关系，探讨微观体系中各力学量的量值或相对关系及其对结构与性微观体系中各力学量的量值或相对关系及其对结构与性能的影响等。能的影响等。结构决定性能，性能反映结构。结构决定性能，性能

2、反映结构。 构几何结几何结电子结构电子结构结构结构3u 重视理论与实践之间的密切联系。重视理论与实践之间的密切联系。u 摆脱宏观世界生活经验的束缚。摆脱宏观世界生活经验的束缚。u 学会抽象思维和运用数学工具处理问题的方法。学会抽象思维和运用数学工具处理问题的方法。u 恰当地运用类比等科学方法。恰当地运用类比等科学方法。u 学以致用。学以致用。如何学习本课程如何学习本课程4课程教学安排课程教学安排n 总学时：总学时：72n 作业及要求：作业本上请写清楚本人作业及要求：作业本上请写清楚本人姓名、班级姓名、班级及学号及学号；作业要求：；作业要求：字迹工整、清晰；字迹工整、清晰；书写规书写规范；范；

3、抄题；抄题；每上完一章交一次作业每上完一章交一次作业5参参 考考 书书1.周公度，周公度， 段连运段连运编著编著结构化学基础结构化学基础，第二版，北京大学，第二版，北京大学 出版社，出版社，1995年；年；2.徐光宪，王祥云，徐光宪，王祥云，物质结构物质结构（第二版），高等教育出版社（第二版），高等教育出版社, 1987；3. 潘道皑，潘道皑，物质结构物质结构（第二版），高等教育出版社（第二版），高等教育出版社, 1987；4. 倪行，高剑南，倪行，高剑南，物质结构学习指导物质结构学习指导，科学出版社，科学出版社，199961.1 微观粒子的运动特征 1.1.1 黑体辐射和能量量子化 1.1.

4、2 光电效应和光子学说 1.1.3 实物微粒的波粒二象性 1.1.4 不确定度关系1.2 量子力学基本假设1.3 箱中粒子的薛定谔方程及其解第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识71.1 微微 观观 粒粒 子子 的的 运运 动动 特特 征征经典物理学经典物理学经典力学经典力学电磁场理论电磁场理论统计物理学统计物理学热力学热力学8第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善：Newton力学：宏观粒子的机械运动Maxwell电磁场理论：电磁现象和光Gibbs热力学：热现象Boltzmann统计物理学：热现象“物理学大厦已经建成，以后只需对这

5、座大厦做点小小的修补工作就行了”9 经典物理学遇到了难题：上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。10第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识经典物理学的一些基本观点： 质量恒定，不随速度改变；物体的能量连续变化；物体有确定的运动轨道；光现象只是一种波动。研究范围：质量m原子分子 速度v光速经典物理向高速领域推广物体接近光速时相对论力学 观点经典物理向微观领域推广研究对象向微观发展量子力学 观点 11 微观物体运动遵循的规律量子力学，被称为是20世纪三大科学发现（相对论、量子力学、DNA双螺旋结构）之一。 100多年前量子概念的诞生、随后的发展及其产生的革命性巨变，是

6、一场激动人心又发人深省的史话。第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识12第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征1.1.1 黑体辐射和能量量子化一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体。在加热它时，又能最大程度地辐射出各种波长的电磁波（黑体辐射）。）。带有一微孔的空心金属球，非常接近于黑体，进入金属球小孔的辐射，经过多次吸收、反射、使射入的辐射实际上全部被吸收。当空腔受热时，空腔壁会发出辐射，极小部分通过小孔逸出。13第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征 由图中不同温度的曲线可见，随温度增加，辐射能E值增大，且其

7、极大值向高频移动（蓝移）。E 单位时间、单位表面积上的能量Ed 频率在 + d 范围内、单位时间、单位表面积上的能量14 用Maxwell的分子速度分布公式，在短波处与实验比较接近，但在长波处又与实验曲线相差很大(Wien)。 如应用经典物理学中能量连续的概念推导出来的辐射强度公式(Rayleigh-Jeans)来解释，在长波长处与实验曲线很接近，但在短波长处严重不符。第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征15第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动；每个特定频率的谐振子的能量E总是某个最小能

8、量 单位0的整数倍E =n 0，这个基本单位叫能量子；每个能量子的能量与谐振子的振动频率的关系为 0 h h。 h :Planck常数，h6.6261034 Js基于以上假设就可以推导出普朗克黑体辐射 公式：1/8133kthcheE普朗克能量量子化假设：16黑黑 体体 辐辐 射射 和和 能能 量量 量量 子子 化化 若某物理量的变化是不连续的，而是若某物理量的变化是不连续的，而是以某一最小单位作跳跃式的增减，就称这以某一最小单位作跳跃式的增减，就称这物理量的变化是物理量的变化是 “量子化量子化” 的，这一最小的，这一最小单位就叫做这个物理量的单位就叫做这个物理量的 “量子量子” 。 量子说量

9、子说17第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识黑体辐射研究中理论发展过程：181.1.2光电效应和光子学说光电效应和光子学说光电效应光电效应 光照射到金属表光照射到金属表面上时，金属表面发射出电子面上时，金属表面发射出电子的现象。金属中的电子从照射的现象。金属中的电子从照射光获得足够的能量而逸出金属，光获得足够的能量而逸出金属，称为称为光电子光电子。( Hertz 1887年年)191.1.2光电效应和光子学说光电效应和光子学说规律：规律： （1）每种金属都有一个）每种金属都有一个临阈频率临阈频率0 。当入射光频率。当入射光频率 大于大于0 时，有光电流产生；否则，无论光强度多大都不时

10、，有光电流产生；否则，无论光强度多大都不会有光电流产生。会有光电流产生。（2）产生的光电流强度和入射光强度成正比。）产生的光电流强度和入射光强度成正比。 （3）电子动能和入射光频率成线性增长关系，和入）电子动能和入射光频率成线性增长关系，和入射光强度无关，光的强度只影响光电子的数量。射光强度无关，光的强度只影响光电子的数量。经典物理学观点：光的频率仅仅决定了光的颜色，而光的能量经典物理学观点：光的频率仅仅决定了光的颜色，而光的能量则是由光的强度决定的。则是由光的强度决定的。201.1 微微 观观 粒粒 子子 的的 运运 动动 特特 征征21第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识 著名的

11、物理学家爱因斯坦 （Einstein）应用、推广了普朗克的量子概念，1905年提出了光子学说，成功地解释了光电效应。1.1 微观粒子的运动特征22第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识2201cvmm（1）光是一束光子流，每一种频率的光其能量都有一个最小单位，称为光子，光子的能量与其频率成 正比： h。（2）光子不但有能量，还有质量（m），但光子的静 止质量为零。根据相对论的质能联系定律mc2，得光子的质量为：m / c 2 =h/c2，不同频率的光子具有不同的质量。1.1 微观粒子的运动特征1905年Einstein提出光子学说：静止质量静止质量: 对于光子，对于光子，v = c，所

12、以，所以 的粒子称为的粒子称为实物粒子实物粒子。0000 mm。23 （3）光子具有一定的动量：p mc h/c h/。 （4）光的强度取决于单位体积内光子的数目（光子密度）。24第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识 电子吸收的能量，一部分用于克服金属对电子的束缚能 W（或者称电子逸出金属表面的功),另一部分转变为光电子的动能EK ，即：1.1 微观粒子的运动特征25第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识 当 h W （ o ）时，金属中发射的电子具有一定的动能，发生光电流，并随 增加而增加,与光的强度无关。1.1 微观粒子的运动特征261.1 微微 观观 粒粒 子子 的的

13、运运 动动 特特 征征光的波粒二象性光的波粒二象性 在一些场合光的行为像粒子，在另一些场合光的在一些场合光的行为像粒子，在另一些场合光的行为像波。行为像波。波性和粒性的区别波性和粒性的区别 粒子在空间定域，而波却不能定域。粒子在空间定域，而波却不能定域。波性和粒性的联系波性和粒性的联系 由方程（由方程（1.1.6）和（）和（1.1.7）通过）通过Planck常数常数 h 联联系。系。光电效应和光子学说27第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征1.1.3 实物微粒的波粒二象性 1924年，英国哲学杂志9月号刊登了一位不知名的法国物理学家L.deBroglie的文

14、章。它指出“整个二十世纪来，在光学上，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把粒子的图象想的太多，而又过分忽略了波动的图象呢？281.1 微微 观观 粒粒 子子 的的 运运 动动 特特 征征 de Broglie 提出：实物微粒（即静止质量不等于提出：实物微粒（即静止质量不等于0的微粒）如电子、中子、质子、原子、分子等也有具的微粒）如电子、中子、质子、原子、分子等也有具有波粒二象性的假设，即存在下列关系：有波粒二象性的假设，即存在下列关系：)6 . 1 . 1 (hE )7 . 1 . 1 (/hp 式（式（1.1.8）称为）称为 d

15、e Broglie 关系式关系式，满足该关系式的实，满足该关系式的实物粒子的波称为物粒子的波称为物质波物质波或或 de Broglie 波波。实 物 微 粒 的 波 粒 二象形29第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征例：（1）求以1.0106ms-1的速度运动的电子的波长。 这个波长相当于分子大小的数量级，说明分子和原子中电子运动的波动性是显著的。 这个波长与粒子本身的大小相比太小，观察不到波动效应。 （2）求m=1.010-3kg的宏观粒子以v=1.010-2ms-1的速度运动时的波长。 30 物质波的实验证明：物质波的实验证明：戴维逊革末电子衍戴维逊革末

16、电子衍射实验射实验 Thomson实验实验1.1 微微 观观 粒粒 子子 的的 运运 动动 特特 征征实 物 微 粒 的 波 粒 二 象 性1927年，戴维逊(Dawison)革末(Germer)用单晶体电子衍射实验，汤姆逊(G.P.Thomson)用多晶体电子衍射实验，发现电子入射到金属晶体上产生与光入射到晶体上同样产生衍射条纹，证实了德布罗意假说。31第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征P=mvP=h/=u/EE=p2/2m =mv2/2E=hP=mcpEE=pcP=h/E=h =c/ L.deBroglie和Einstein关系式的差别u 传播速度（传

17、播速度（相速度相速度）v 运动速度（运动速度（群速度群速度）v = 2u32第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征物质波是什么波？ L.deBroglie所说的物质波当然不是机械波，因为这种波可以象电磁波一样在绝对的真空中传播，但它也不是电磁波，因为它产生于所有的物体包括不带电的物体的运动。那时物理学家们除了机械波和电磁波以外并不知道还有什么别的波。因此， L.deBroglie的物质波观念实在是太革命了！331.1 微微 观观 粒粒 子子 的的 运运 动动 特特 征征 一切微观体系都是粒性和波性的对立统一体。一切微观体系都是粒性和波性的对立统一体。 E =

18、h ，p = h/ ，两式具体揭示了波性和粒性的内，两式具体揭示了波性和粒性的内在联系：等式左边体现粒性，右边体现波性；它们在联系：等式左边体现粒性，右边体现波性；它们彼此联系，互相渗透，在一定条件下又可互相转化，彼此联系，互相渗透，在一定条件下又可互相转化，构成矛盾的对立统一体。构成矛盾的对立统一体。 波粒二象性是微观粒子运动的本质波粒二象性是微观粒子运动的本质特征。特征。实 物 微 粒 的 波 粒 二 象 性34第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征实物微粒波代表的物理意义对L.deBroglie 物质波所做的正确解释是1926年德国物理学家Born提出的

19、“统计解释”。 为了说明“统计解释”，我们再来考察电子衍射实验。35第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征L.deBroglie物质波的统计解释 电子一个一个地通过晶体发生衍射，因为电子有粒子性，所以开始时，电子只能到达底片的一个个点上，不能一下子得到衍射图。但是，电子每次到达的点不是都重合在一起的，经过足够长的时间，通过了大量的电子，在照片上便得到衍射图，显出波动性，因此可见，波动性乃是和粒子行为的统计性规律联系在一起的。 统计解释就是认为在空间任意点的波的强度和粒子出现的几率成正比，所以物质波又称为“几率波”。 电子运动的波性和宏观的波有相似的地方，即都是

20、实物或场的某种性质在空间和时间方面周期性的表现。36第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征实物微粒二象性的描述1.实物微粒具有一定的静止质量m0,当实物微粒以速度v运动时，它的质量是m= m0/1-(v/c)21/22. 它的动能是 ()mv2=E3. 它的动量是 P=mv4. 它服从能量守恒和质量守恒定律，所以表现有粒子性。5. 但是微观粒子如高速运动的电子不服从Newton力学，它没有确定的轨道，它所服从的是大量粒子行为的统计规律（这就是我们要学到的量子力学规律），这个规律告诉我们，物质微粒的运动状态可用波函数来描述。6. 与动量为mv的粒子相联系的物质波

21、的波长为=h/mv7. 在空间任一点物质波的强度和粒子出现的几率成正比。37第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征1.1.4 不确定度关系 波粒二象性的必然结果1927年，海森堡提出“一个粒子不可能同时具有确定的坐标和动量”。 在经典力学中，物体的坐标和动量可以同时具有确定的值，但是，对于微观粒子来说，由于它具有波粒二象性，轨道的概念已失去了意义。 如果要同时测量微观粒子的位置和动量，则其测量结果有：位置的不确定量与动量的不确定量的乘积必须大于或等于普朗克恒量，即： x px h 这也就是说，不能同时准确地测量微观粒子的位置与动量。所以上式也称为测不准关系。3

22、8测不准原理测不准原理1.10)1.10)(1(1.hpxx 电子单缝（一级）衍射条件电子单缝（一级）衍射条件：结合以上二式，得结合以上二式，得DhDppppxxsin2/OCAPOPDDAOOC 2/2/sinDx 考虑二级衍射等，则有考虑二级衍射等，则有1.11)1.11)(1(1.hpxx39hpzhpyhpxzyx海森堡测不准关系式： 上式表明：对于微观粒子的坐标描述得愈准确（即上式表明：对于微观粒子的坐标描述得愈准确（即坐标不确定量愈小），其动量的描述就愈不准确（即动坐标不确定量愈小），其动量的描述就愈不准确（即动量的不确定量愈大）。反之，动量的描述愈准确，坐标量的不确定量愈大）。反

23、之，动量的描述愈准确，坐标的描述就愈不准确。的描述就愈不准确。测不准关系的产生来源于物质的波粒二象性。测不准关系的产生来源于物质的波粒二象性。 对于能量对于能量 E 和时间和时间 t 的同时测定，有类似的不确定的同时测定，有类似的不确定关系：关系：1.12)1.12)(1(1.2/ tE 测不准原理测不准原理40第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征说明：1. 坐标与同一方向上的动量分量不能同时确定。x与 Py 之间不存在上述关系。2. 测不准原理在宏观体系中也适用，只不过是测不准量小到了可忽略的程度，无实际意义。测不准关系式可用于判断哪些物体其运动规律可用经

24、典力学处理，而哪些则必须用量子力学处理。 41第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征所以，子弹位置的不确定范围是微不足道的。可见子弹的动量和位置都能精确地确定，不确定关系对宏观物体来说没有实际意义。 11smkg0 . 2smkg20001. 0 mvp1414smkg100 . 2smkg2100 . 1%01. 0ppm103 . 3m1021063. 630434phx例.一颗质量为10g的子弹，具有200ms-1的速率，若其动量的不确定范围为动量的0.01%(这在宏观范围已十分精确)，则该子弹位置的不确定量范围为多大?解: 子弹的动量动量的不确定范围由

25、不确定关系式，得子弹位置的不确定范围42第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征我们知道原子大小的数量级为10-10m，电子则更小。在这种情况下，企图精确地确定电子的位置和动量已没有实际意义。 128131smkg108 . 1smkg200101 . 9 mvp1321284smkg0 . 18 . 1 smkg0 . 18 . 1100 . 1%01. 0ppm107 . 3m108 . 11063. 623234phx例. 一电子具有200ms-1的速率，动量的不确定范围为动量的0.01%(足够精确)，则该电子的位置不确定范围有多大?解 : 电子的动量为动

26、量的不确定范围由不确定关系式，得电子位置的不确定范围43第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征 宏观物体宏观物体 微观粒子微观粒子具有同时确定的坐标和动量具有同时确定的坐标和动量 没有同时确定的坐标和动量没有同时确定的坐标和动量可用牛顿力学描述。可用牛顿力学描述。 需用量子力学描述。需用量子力学描述。 有连续可测的运动轨道，可有连续可测的运动轨道，可 有概率分布特性，不可能分辨有概率分布特性，不可能分辨 追踪各个物体的运动轨迹。追踪各个物体的运动轨迹。 出各个粒子的轨迹。出各个粒子的轨迹。体系能量可以为任意的、连体系能量可以为任意的、连 能量量子化能量量子化

27、。续变化的数值。续变化的数值。不确定度关系无实际意义不确定度关系无实际意义 。 遵循不确定度关系。遵循不确定度关系。微观粒子和宏观物体的特性对比44第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.2 量子力学基本假设45第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.2 量子力学基本假设1. 波函数和微观粒子的状态2. 力学量和算符3. 本征态、本征值和Schrodinger方程4. 态叠加原理5. Pauli（泡利）原理46第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.2 量子力学基本假设1. 波函数和微观粒子的状态假定假定 I： 对于一个微观体系，它的微观状态和有关情况可用波函数

28、(x,y,z,t)表示。 是体系的状态函数，是体系中所有粒子的坐标函数，也是时间的函数。它决定着体系的全部可观测的性质。 (x1,y1,z1,x2,y2,z2,t)-两个粒子体系波函数47第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.2 量子力学基本假设单粒子一维运动波函数单粒子一维运动波函数具有一定能量E和动量P的自由粒子沿着x方向运动，相当于一个平面单色波，平面单色波的波动方程为：L.deBroglie关系式： P=h/ E=h=A expi2(x/- t)=A exp（i2/h）(x px-Et)48第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.2 量子力学基本假设一般为复数形式

29、： fig，f和g均为坐标的实函数。 的共轭复数*fig， *f2g2，因此*是实函数, 且为正值。为书写方便，常用2代替*，故有： 。不含时间的波函数(x, y, z) 称为定态波函数。 如在化学中，对于孤立的原子或分子体系，在不受外力的情况下，其电子在空间各点的概率密度分布不随时间改变。化学中一般研究的是不含时间的定态波函数。定态并不等于静止。22* 49第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.2 量子力学基本假设1. 在原子、分子等体系中，将称为原子轨道或分子轨道2. 几率密度(概率密度)：单位体积内找到电子的几率，即*；3. 几率(概率)：空间某点附近体积元d中电子出现的 概

30、率，即 *d；4. 电子云：用点的疏密表示单位体积内找到电子的几 率,与 *是一回事。505. 5. 的具体形式：的具体形式：虽然不能把虽然不能把 看成物理波，但看成物理波，但 是状态的是状态的一种数学表达，能给出关于体系状态和该状态各种物理量一种数学表达，能给出关于体系状态和该状态各种物理量的取值及其变化的信息，对了解体系的各种性质极为重要。的取值及其变化的信息，对了解体系的各种性质极为重要。因此，用量子力学处理微观体系，就是要设法求出因此，用量子力学处理微观体系，就是要设法求出 的具的具体形式。体形式。6. （x,y,z）在空间某点的数值可能是正、也可能是负，微）在空间某点的数值可能是正、

31、也可能是负，微粒的波性通过粒的波性通过的的+ +、- -号反映出来，这和光波是相似的。号反映出来，这和光波是相似的。 + +、- -号涉及状态函数的重叠。号涉及状态函数的重叠。7. *具有几率密度的意义，据此可引出具有几率密度的意义，据此可引出一个很重要的性一个很重要的性质：质： 与与KK描述同一状态描述同一状态 为此波函数必须归一化为此波函数必须归一化 。(x,y,z)?51第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.2 量子力学基本假设合格波函数要满足的条件合格波函数要满足的条件单值性| | |2 2表示粒子在空间某点出现的概率密度，必须是一个确定的值；连续性从物理上，粒子在空间各处

32、出现的概率密度呈波动性，是连续变化的，因此波函数必须在变数变化的全部区域内是连续的，并且具有连续的一级微商；52第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.2 量子力学基本假设平方可积即在整个空间的积分*d应为一有限数，通常要求波函数归一化，即*d1。53如： *d=Kd=K 则需将则需将归一化归一化 设设=c=c， 已归一化已归一化 *d=1=cd=1=c2 22 2d=cd=c2 2K=1K=1 c=1/K c=1/K1/2 1/2 c c为归一化系数为归一化系数54 关 于关 于 的 物 理 意 义的 物 理 意 义 , 目 前 流 行 的 是目 前 流 行 的 是M.Born的解

33、释：的解释：*代表时刻代表时刻t在空间在空间q点发点发现粒子的现粒子的概率密度概率密度,*d是时刻是时刻t在空间在空间q点点附近微体积元附近微体积元d内发现粒子的内发现粒子的概率概率. M. Born为此获为此获1954年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖. 概率作为一种基本法则进入了物理学概率作为一种基本法则进入了物理学,被称为波函数被称为波函数, 这种波被认为是一种这种波被认为是一种概率波概率波.波函数的概率解释55例：下列三个函数，是否符合合格化条件?56第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.2 量子力学基本假设2. 物理量和算符假设假设II：对一个微观体系的每个可观测的物理量都

34、对应着一个线性自轭（厄米）算符。57第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.2 量子力学基本假设 算符：对某一函数进行运算算符：对某一函数进行运算,规定运算操作性质的符号。规定运算操作性质的符号。 例：例：+、tg、d/dx 和和 C6（旋转（旋转60）等）等 一个算符作用于一个函数通常得到另一个函数：一个算符作用于一个函数通常得到另一个函数： d/dx (3x25x +3 + cosx) = 6x 5 sinx 通常给字母上加一尖号表示算符通常给字母上加一尖号表示算符 ，如，如 表示某一算符，表示某一算符， U是被是被 施以运算的对象，则写成施以运算的对象，则写成 U，并称为算符，

35、并称为算符 作作用于用于U58 在量子力学中，物理量在量子力学中，物理量 A 对应的算符写作对应的算符写作 。当。当 满足满足*)(dAdA时，称时，称 为为 线性算符线性算符。当。当 满足满足或或时，称时，称 为为 Hermite算符算符。A521*122*1).()( dAdA AAAA第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.2 量子力学基本假设(12) 1 259 xdxeedxedxdiedxAxdxeedxedxdiedxAeixixixixixixixixix)()()()()(* 则若,ixedxdiA例：例：算符。算符。为为Hermitedxdi第一章第一章 量子力学

36、基础知识量子力学基础知识1.2 量子力学基本假设60例例. , , exp, 中那些是线性算符中那些是线性算符? dxddxd解答解答: 和和 是线性算符是线性算符.61第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.2 量子力学基本假设力学量算符力学量算符位置x，时间t势能 V动量的x轴分量px动能T=p2/2m角动量的z轴分量总能量E=T+Vxixp 22222222222mzyxmTxyyxiMzVmH222ttxx,VV 力学量与算符的对应关系如下表：量子力学需用线性自轭算符，目的是使算符对应的本征值为实数。62那么对那么对所描述的这个微观体系的状态，物理量所描述的这个微观体系的状态

37、，物理量A就有就有确定的数值确定的数值 a 。).(721 aA 本征方程本征方程本征函数本征函数本征值本征值 假定假定 III 若某一物理量若某一物理量A的算符的算符 作用于某一状作用于某一状态函数态函数，等于某一常数，等于某一常数 a a 乘以乘以，即，即A第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识3. 本征态、本征值和Schrodinger方程1.2 量子力学基本假设63本征 方程 当当是是 的本征函数时，该物理量的实验测量值就的本征函数时，该物理量的实验测量值就对应于对应于 的本征值的本征值 a a。如，当氢原子处于。如，当氢原子处于1s1s轨道时，有轨道时，有sssseVEH11

38、11613 . 所以此时氢原子的能量为所以此时氢原子的能量为- -13.6 eV。本本 假假 设设AA64第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.2 量子力学基本假设Schrdinger方程 能量算符的本征方程，是决定体系能量算符的本征值（体系中某状态的能量E）和本征函数的方程，是量子力学的基本方程。具体形式为：),(),(zyxEzyxH含时间的含时间的Shrdinger方程为：方程为：).(1121 tiH 能量算符的本征方程能量算符的本征方程EVmh)8(222定态定态Schrdinger方程方程65 量子力学可证明：量子力学可证明：常数常数E E是粒子的能量，等于粒子是粒子的

39、能量，等于粒子 的动能和的动能和势能之和。势能之和。该方程为该方程为Schrdinger方程方程一般表达式一般表达式，对于每一，对于每一个指定的具体体系，将该体系的势能个指定的具体体系，将该体系的势能V公式代入，则可得该体公式代入，则可得该体系的系的Schrdinger 方程方程该方程为体系能量算符的本征方程。该方程为体系能量算符的本征方程。方程的物理意义：方程的物理意义： 对一个质量为对一个质量为m的粒子来说，当它处于势能为的粒子来说，当它处于势能为V(x,y,z)力场中运动时，其每一个定态可以用满足这个方程合理解的力场中运动时，其每一个定态可以用满足这个方程合理解的波函数波函数来描述，与每

40、一个来描述，与每一个 相应的常数相应的常数E就是粒子处在该就是粒子处在该定态时的总能量。定态时的总能量。66第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.2 量子力学基本假设 =a *da*d ( )*d=a* * d对于自扼算符： *d=( )*d a=a*，即a一定是实数自扼算符的重要性质：自扼算符的本征值一定是实数。67 例例1：某粒子的运动状态可用波函数：某粒子的运动状态可用波函数 来表示，求来表示，求其动量算符其动量算符 的本征值。的本征值。解：解： xPixNedxdiPx/ixixixNeNeiNedxdi2本征值为本征值为 68 例例2. 某一体系的哈密顿算符为某一体系的哈

41、密顿算符为 ， 证明：证明： 是是 的本征函数，并求其相应的本征值的本征函数，并求其相应的本征值(A 为归一化因子为归一化因子0 x 0； 按经典力学粒子在箱内所有位置都一样，按量子力学箱内各处粒子的几率密度是不均匀的； 可正可负，=0称节点，节点数随量子数增加，经典力学难理解。0000n=3n=2n=1xl0000*E2E1E3n=3n=2n=1xl86第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.3 箱中粒子的薛定谔方程及其解 受一定势能场束缚的粒子的共同特征 粒子可以存在多种运动状态，它们可由1，2， ，n等描述； 能量量子化； 存在零点能: 没有经典运动轨道，只有几率分布； 存在节

42、点，节点越多，能量越高。 当En=n2h2/8ml2中m、l增大到宏观数量时，能级间隔变小，能量变为连续，量子效应消失。量子效应2218mlhE 87一维势箱波函数的一维势箱波函数的正交归一化正交归一化波函数的正交性：当波函数的正交性：当 m n 时，时，0)cos()cos(1sinsin2)()(000 lllnmdxxlnmxlnmlxdxlnxlmldxxx 结合波函数的正交性和归一性，可写出结合波函数的正交性和归一性，可写出 )(0)(1)()(nmnmdxxxmnnmlo 本征函数本征函数n(x) 的全体构成正交归一的的全体构成正交归一的完备集完备集 n(x) 。1.3 箱中粒子的

43、箱中粒子的Shrdinger方程及其解方程及其解88第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.3 箱中粒子的薛定谔方程及其解一维势箱中粒子的各种物理量（1 1）粒子在箱中的平均位置）粒子在箱中的平均位置值：无本征值，只能求平均由于x ,cx , xx nndxlxnsinl2xlnsinl2dxxxl0nl0*nxdxx/lnxldxlxnxlll 02022cos12sin2）（22sin22cos221022llxnxnllxnnlxll粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右两个半边出现的几率各为两个半边出现的几率各为0.5，即

44、，即 图形对势箱中心点图形对势箱中心点是对称的。是对称的。2naaxxaaxaxdxxsincoscos289第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.3 箱中粒子的薛定谔方程及其解（2）粒子动量的）粒子动量的x轴分量轴分量px cP Pnnxx也无本征值，即可以验证，dxPPnxnx0*ldxlxnsindxd2ihlxnsinl2l0lxndsinlxnsinlihl002)/(sin02lihxxlxnl90第一章第一章 量子力学基础知识量子力学基础知识1.3 箱中粒子的薛定谔方程及其解（3）粒子的动量平方px2值lxnl2dxdhpnxsin422222lxncosl2lndxd4h22lx