2020年高考精选资料--三角函数和平面向量问题

1、高考中的三角函数与平面向量问题快速解答自直自纠考点自测1.已知锐角 %且5 a的终边上有一点 P(sin( 50 ° ,) cos 130 ；则”的值为()A.8 °B.44 °C.26 °D.40 °答案 B解析 . sin(50° 30, cos 130 = - cos 50 <0,点 P(sin(50° ) cos 130 °下第三象限.又0°VaV 90°, .0°<5a< 450° .又.点P的坐标可化为(cos 220 ； sin 220

2、76;,)5 a= 220°, a= 44°,故选 B.2 .已知向量oB=(2,0),向量oC=(2,2),向量CA=(J2cos a,、/2sin % 则向量O)A与向量场的夹角的取值范围是()兀A. 0，45 兀C.近2兀B. 4,512兀_512兀答案 D解析 由题意，得：OA=OC+CA=(2+成cos%2+V2sin% 所以点 的轨迹是圆(x2)2+(y2)2=2,如图，当 A位于使向量OA与圆相切时,向量OA与向量OB的夹角分别达到最大、最小值，故选 D.3 .在c中，ac .皿=3眈coB ,且cos c=W，则a等于(B.45D.120A.30 °

3、;C.60 °答案 B解析 由题意及正弦定理得 sin Bcos A = 3sin Acos B, .tan B = 3tan A, .O cA, B<90°,又 cos C=,故 sin C = 2,tan C=2,而 A+B+C=180°,5 . tan(A+B) = tan C= 2, gp tan A+ tan B =2, 将 tan B=3tan A 代入，得一4tan A =一 1-tan Atan B1 - 3tan2 A2 , . .tan A= 1 或 tan A=- 1,而 0°<A< 90°,则 A =

4、45。，故选 B. 34 .已知函数f(x) = sin x+3 在0, nrQt有两个零点，则实数m的取值范围为()A.V3, 2B.V3, 2)C.(W，2D.V3, 2答案 B解析 如图，画出y=sin x+3在0, nt止的图象，当直线y=mm与其有两个交点时，mm 3, 1 ,所以 mC 3, 2).5.已知函数y=2sin(cox+ (f)(co>0,0<(K nt为偶函数，其图象与直线y=2某两个交点的横坐标分另1J为X1, X2,若|X2xi|的最小值为 为则该函数的一个递增区间可以是()兀c. 0, 2答案 A7tD. 4, .一 _兀一.，一.兀 ，-一.解析由

5、函数为偶函数知e=2+k7tke Z).又因为0V归兀，所以 2,所以y=2cos cox.由题意知函数的最小正周期为兀，故3=2,所以y=2cos 2x,经验证知选项 A满足条件.故选A.题型分类对接高考深度剖析题型一三角函数的图象与性质例 1 已知函数 f(x)=cos x sirx+3 cos2x+乎，xC R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间 一4，4上的取大值和取小值.解(1)由已知，得f(x) = cos x 2sin x+ 坐cos x - 3cos2x+ 半= 2sin xcos x- /x+N1 . c 33=4Sin 2x-上(1 + cos 2x)+

6、 -413=sin 2x cos 2x7t=sin 2x 3 .所以f(x)的最小正周期T=2= Tt.(2)因为f(x)在区间兀兀 .、上是减函数，在区间A，4上是增函数,兀-4兀 1 f4 =4,所以函数f(x)在闭区间兀兀 > 一,1 一 ,14 4上的最大值为4,最小值为一思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y = Asin( w x+昉+k的形式，然后将t= cox+ 4视为一个整体，结合 y=sin t的图象求解.跟踪训练1已知函数 f(x) = sin(cox+6)+sin( cox2cos芳，xC R(其中 w>0).(1)求函数f(x

7、)的值域;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=1的两个相邻交点间的距离均为，求函数y=f(x)的单调增区间.3131斛 (1)f(x)= 2sin 3x+ 2cos wx+ sin wx 2cos wx (cos wx+ 1)c#1%=2(sin 3 x 2cos 3 1 = 2sin( w x 6) 1.由-1 w sin( 3 x 6)< 1,兀付一3w 2sin( 3 x 6) - 1 w 1)所以函数f(x)的值域为3,1.(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为兀, _TT所以 f(x)= 2sin(2x6)1,再由 2k 兀- 2& 2x-

8、6< 2k7t+2(kC Z),-一TTTT斛仔 k 兀一6 xw k 兀+ 3(k C Z).所以函数y=f(x)的单调增区间为kTt-6, k7t+3(k Z).题型二三角函数和解三角形*一， 、一 一cTT例 2 (2015 山东)设 f(x) = sin xcos xcos2 x+4 .求f(x)的单调区间；. .A(2)在锐角4 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c.若f =0, a=1,求 ABC面积的 最大值.解(1)由题意知f(x) =兀sin 2x 1 + cos 2x+2sin 2x 1sin 2x= sin 2x-2., TTTT_由2+ 2k后 2

9、xW2+2k& kC Z,可得一:十 k庐xwj + k兀，kCZ；由2t + 2k 后 2x<325+ 2k%, kCZ, 可得：+ k 庐 xW3+ k Tt, kCZ.所以f(x)的单调递增区间是一：+ k%, :+ k% (kC Z)；单调递减区间是j+ kTt,芋十 ku(kCZ).(2)由 f 2 =sin A-1=0,得 sin A = 2,由题意知A为锐角，所以cos A=乎.由余弦定理 a2= b2+ c2 2bccos A,可得 1+ 3bc=b2+c2R2bc,即bcw2+乖，当且仅当b=c时等号成立.h u 12+ 也因此 2bcsin Aw - j-.所

10、以4ABC面积的最大值为造y3.4思维升华 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键.跟踪训练2已知函数f(x) = 2cos2xsin 2x.(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合;3(2)在 ABC中，角A, B, C的对边分别为 a, b, c.若f(A)=q b+c= 2,求实数a的最小值.解 (1)f(x)= 2cos2xsin 2xg=(1 + cos 2x) sin 2xcos f cos 2xsin 7r 6631=1 + 2 sin 2x+ 2cos

11、 2x =1 + sin 2x + 6 .函数f(x)的最大值为2.要使f(x)取最大值，-r兀则 sin 2x+ 6=1,兀兀A .I兀一2x+ 9=2k兀+ 2(kC Z),解得 x=kjt+ 否，kCZ.故f(x)取最大值时x的取值集合为兀 I 厂XX* + 6, kez,r_-,一兀 .3(2)由题意知，f(A) = sin 2A+6 +1 = 2, 入一兀 1化简得sin 2A+6 =2AC(0,nt-2A+r在 ABC中，根据余弦定理，得 a2= b2+ c2 2bccos 3= (b+ c)2 3bc. b* c 一由 b + c=2,知 bc< yc2=1,即 a2>

12、;1.当b= c= 1时，实数a的最小值为1.题型三三角函数和平面向量 例3 已知向量a=(m, cos 2x), b= (sin 2x, n),函数f(x)=ab,且y=f(x)的图象过点 七,事) 和点(手一2).(1)求m, n的值；(2)将y= f(x)的图象向左平移()(0怀nt企单位后得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.解(1)由题意知 f(x)=ab=msin 2x+ncos 2x.因为y= f(x)的图象过点(/，、/3)和(系 2),_ 兀I兀73 = msin 己+ ncos 6,所以13解

13、得m = 3(3, n= 1.,3= 2mi+ n,即931-2 = - 2 m-2n, (2)由(1)知 f(x)= msin 2x+ cos 2x= 2sin(2x+j.,，一TT由题意知 g(x) = f(x+f)=2sin(2x + 2(H6.设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(xo,2),由题意知x0+1 = 1,所以xo=0, 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入 y= g(x)得 sin(2(f)+6)= 1,一，-一兀因为0怀兀，所以Q 因止匕 g(x)= 2sin(2x+力=2cos 2x.由 2kL 后 2x<2kTt, kC Z,得 k 兀

14、一尹 x< k Tt, k Z ,所以函数y= g(x)的单调递增区间为 k兀一j knd kC Z.思维升华(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响期踪训练 3已知向量 a = (cos a, sin a), b = (cos x, sin x), c= (sin x+ 2sin a, cosx+ 2cos o),其中0< 0<x<兀.(1)若a= 4，求函数f(x)=b c的最小值及相应x的值;(2)若a与b的夹角为3,且a，c

15、,求tan 2 a的值.解 (1) b= (cos x, sin x),.c .c、兀c=(sin x+2sin a, cos x+2cos a), a= 4,f(x) = b c=cos xsin x+ 2cos xsin a+ sin xcos x+ 2sin xcos a =2sin xcos x+ 2(sin x+ cos x).入 d_,I 兀令 t= sin x+ cos x 4<x< 兀, 贝U 2sin xcos x=t21,且一1<t<成.则函数f(x)关于t的关系式为y=t2+M2t1= t+号 2-|, -1<t<V2,32,ymin=

16、 2,止匕时 sin x+cos x=一亍,即也sin x+j =考,*x” .2<x+4<55,函数f(x)的最小值为一3,相应x的值为手,，.一，兀(2) / a与b的夹角为兀 a bcos -=3 |a| b|l=cos ocos x+ sin osin x= cos(x a)."x< -0<”=3., a±c,cos "sin x+ 2sin o)+ sin "cos x+2cos o)= 0,ri兀sin(x+ ® + 2sin 2 a= 0,即 sin 2 a+ 3 + 2sin 2 a= 0.533 /si

17、n 2 a+ -cos 2 a= 0, tan 2 a= - 5-.练出高分(时间：70分钟)1 .已知函数 f(x) = Asin(x+?，xC R ,且 f(12) = |.求A的值；(2)若 f( ( + f( 0)=|,长(0, |),求 f(3f-班解(1),飞5!)= Asin(52r+4)= Asin g= A=2，A= >/3.(2)由(1)知 f(x)=43sin(x+3, 故 f(0)+f(- 0)=强所(+j+*sin(计 j=2,，>/3孚(sin。+ cos 9+ 孚(cos 0- sin 讥=3,/6cos 0= 3,cos 0=乎.又 长(0, 2),

18、 .sin 0= 41 cos29= -4-°, 1- f(j_ 0)= ?J3sin(右 0)= y3sin 0= 4.2 .(2015 江苏)在ABC 中，已知 AB = 2, AC=3, A=60° .求BC的长；(2)求sin 2C的值.1解 (1)由余弦定理知，BC2=AB2+AC22AB AC cosA = 4+92X2X 3X2=7,所以 BC =7.、， AB BC(2)由正弦定理知，菽=布，所以sin C=A> siA =纯普=号.BC77因为ABVBC,所以C为锐角,则 cos C= I -sin2C= 弋 1 3 =277.因此 sin 2c=2

19、sin C coC= 2X 率x 277 =芋.3.已知向量 m=(2sin cox, coS2 cox sin2 w), n = (43cos coM),其中 w>0, xC R.若函数 f(x) =m n的最小正周期为兀.(1)求3的值；(2)在 ABC 中，若 f(B) = 2, BC = 43, sin B=43sin A,求 BABC的值.解 (1)f(x)=m n= 2sin w)cos wx+ cos2ox-sin2cox=淄sin 2 3 x+ cos 2 3 x= 2sin 2 w x+ 6 .f(x)的最小正周期为兀)co >0,- w= 1.(2)设 ABC中

20、角A,B, C所对的边分别是a, b, c. f(B)=- 2, 2sin兀c2B + 6=2,II兀即sin 2B+6=1,一一2 7r解得 B=§(BC(0,兀).BC=十，sin B = /3sin A, 即 a=>/3, b= (/3a,b= 3.由正弦定理，有sn3A=上 sin - 31 解得 sin A=2.- A 兀A 兀- 0<A<-, . . A=-36.C=¥,c= a= "73.61BA BC= cacos B =木乂 小x cos§= 3. 324 .函数f(x)=cos( x+昉0V 4<2的部分图象如

21、图所示.求(f)及图中x0的值；(2)设g(x) = f(x)+f x+1 ,求函数g(x)在区间一1, 1上的最大值和最小值 32 3用、解由题图得f(0) =坐 所以cos.一.万一TT因为。 K2,故Q6.由于f(x)的最小正周期等于 2,所以由题图可知1vxov2,故能改+6詈:由 f(xo) =cos兀J3以。+6 =5x0 = Q.3(2)因为 f x+ 1 =cos1兀x+ 3+6,兀=cos 就+ 2 = sin所以 g(x)=f(x)+f7tx+3 = cos 就+ 6_ 兀_ 兀 _一sin 衿 cos xcos 6一sin xsin g sin除cos 立 2sinx亡

22、sin x后 13cos衿 2sin xu1当 xC -2,i 13时，7t故当,即x -g(x)取得最大值V3；先将g(x)图象2个单位长度.当:-=-6,即x=3时，g(x)取得最小值一 兴5 .(2015福建)已知函数f(x)的图象是由函数 g(x)=cos x的图象经如下变换得到:上所有点的纵坐标伸长到原来的2彳H(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移 (1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在0,2 nfl)有两个不同的解”，8求实数m的取值范围；证明：cos(a- 3)= 2m 1.52倍(横坐标不变)得到兀一一乙y = 2cos x- 2 的图象,方法一(1)解将g(x) = cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的7tA、， ，、，一 ，I 一 ,y=2cos x的图象，再将y = 2cos x