直线上一动点到两固定点之间距离的最值精编版

1、最新资料推荐直线上一动点到两固定点之间距离的最值【题型】P点为直线L上一动点，A点、B点不在直线上，且固定。当P点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B点的距离 之差的绝对值最大。【引申】当P点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B 点的距离之和最小。【思路】下面3条原理是解决此类问题的基础：1、所有此类问题都应纳入“三角形”中求解；（定理1）2、运用“在同一平面之中，两点之间，线段最短。”（定理2）3、运用“在同一平面中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。”（定理3）【几种不同情况的详细解答及相应证明】1、求直线上动点到直线外两固定点距离之差的绝对值的最大值（1）当

2、两固定点在直线同侧时，如图1BP P MM P L图1假设直线上任意一点P点，连接P点与B点，P点与A点，形成PBA,根据“定理 3”,得知 |PA-PB|AB;当P点移动到P”点时，分别连接A、B两点，形成PMBA,根据“定理 3，得知 |PA -PB|AB ;只有移动到 P点，即BA连线的延长线与直线L的交点时，|PA-PB|=AB。结论：当直线上一动点，与直线一侧的两固定点之间距离之差的绝对值最大时，P点位于两点连线的延长线与直线的交点处。计算：P点的位置（或坐标）以及最大值。如图1,过A点做直线垂直与直线L,垂足为M,过B点做直线垂直于直线L,垂足为M这样，AM/BM因此，在直角 PB

3、M中，AM/BM =PM/PM 所以，PM=PM+MM最终得出：PM= （AM X MM，）+|BM -AM| ,以此确定P点的位置（或 坐标）。同样道理，PM/MM =PA/AB所以，最大值AB=MM 7PM X PA,根据勾股定理计算出PA后，就计 算出了 AB的长度。（2）当两固定点在直线异侧时，如图 2图2对于处于直线异侧的两点，先通过其中一点 A做一条垂直与直线L 的直线，垂足为M,且使AM=AM （即做A点对于直线L的对称点）， 将异侧问题转化为同侧问题。然后，连接A和B点，并延长交于直线于P点，则P点就是到A、B 两点距离之差的绝对值最大时的点。同样，在直线上任意一点 P；并连接

4、PA, PB, PA,可以看出， 在 P AB 中 ， |P A-P B|A B ， 由 于 P A=P A ， 所 以 ， |PA-P B|=|P A-PB|AB。将P点移动到P”点，并构成PNB,同样道理可以得出 |P”A-P”B|=|P ”A-P”B|AB,所以，PB + PA AB 同样道理，如果P点移动到 P点，与 A、B点构成 PAB,pb+paab,而 pA =PA所以，PB+PAAB只有当P点移动到A、B点连线与直线L的交点处时，即P点即处于 直线L上，又处于线段 AB上时，|PA+PB|=AB,而PA=PA,所以， |PA+PB|=AB这时，P点到两定点的距离之和的绝对值才是

5、其他所有点到两定点距 离之和的绝对值中最小的。结论：当直线上一动点到直线同侧两固定点之距离之和的绝对值最小 时，P点位于固定点与另一固定点对于直线的对称点的连线与直线的 交点处。计算：P点的位置（或坐标）以及最小值如图3,过B点做直线垂直于直线L,垂足为M由于直角三角形MPA与直角三角形BPM,三角相等，所以，这两个 三角形为相似三角形所以，MP/PM =MA7BM,且 PM =MM -MP所以，MP=MA XMM+ (MA+BM),以此确定P点位置(或坐标) 又因为，|PA+PB|=|PA+PB|=AB,且 MP, PM=MM-MP均已计算出, 运用勾股定理，分别计算出 PA、PB长度，即可确定AB的长度，即 P点到两固定点距离之和绝对值的最小值。(2)当两固定点在直线L异侧时，如图4图4根据上述同侧问题，我们可以看出，直接连接 A、B两点与直线L的 交点就是符合要求的P点，在此不再累述。【本节结论】直线上一动点到直线外两固定点的距离之和的绝对值只 存在最小值，没有最大值。当两固定点在直线同侧时，动点位于固定 点与另一固定点对于直线的对称点的连线与直线的交点处；当两固定点在直线异侧时，动点位于两固定点连线与直线的交点处。推导出：(1)当两固定点在直线上时，动点到两固定点的距离之和的绝对值 的