相似三角形综合

1、第7讲相似三角形综合知识框架相似三角形是初中数学中的重点， 也是难点.相当多的知识点可以与相似三角形综合起 来考察.本讲将从以下几个方面学习相似三角形的应用， 旨在灵活运用相似三角形的判定和 性质解决问题.137.1平行线与相似三角形I r知识精讲平行线与相似三角形利用平行线构造的相似主要有两个基本的模型，即：“A”字型和“ X”字型.例题分析例1.过 ABC的顶点C任作一直线，与边 AB及中线AD分别交于点F、E.求证:AEED2”FB例2.如图，已知ABC 中，AD、BE 相交于 G, BD: DC3:1 , AG:GD 1:2 .求BG:GE的值.BAD 75 , CAD 30 , AD

2、 = 2,例3.如图，在 ABC中，点D在线段BC上,BD = 2DC,求 AC 的长.求证:ADDC例4.已知：P为 ABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交 AC、AB于点D 和点E.AE 1 .EB角，交边AB于点M,交 y 0) .AMN s DMA;例5. AD是 ABC的中线，将BC边所在直线绕点 D顺时针旋转 射线 AC 于点 N,设 AM = x AB, AN = y - AC, ( x 0 (1)如图1,当 ABC为等边三角形且30时，求证：(2)如图2,证明1 2.7.2 角平分线与相似三角形知识精讲角平分线与相似三角形角平分线类的相似模型如下:分为“内角平分

3、线”和“外角平分线”两种类型，虚线部分为辅助线的作法.例题分析例1.如图，AD是 ABC的内角平分线.求证:AB BDAC DC例2.如图，AD是 ABC的外角平分线.求证:AB BDAC CD例3.在 ABC中， BAC 120 , AD平分 BAC交BC于点D.求证：AD AB AC例4.如图，在 ABC中， CAB 90 , CFG B过点C作CE AB,交 CAB的平分 线AD于E.(1)不添加字母，找出图中所有的相似三角形，并证明；(2)求证：FC ADCG ED例5.如图，分线,(1)EABC中，AI、BI分别平分交BI延长线于E,连接CI.BAC、ABC变化时，设 BAC 2 .

4、若用(2)若AB = 1,且 ABC与ICE相似，求ABC , CE是 ABC的外角 ACD的平表示 BIC和 E ,那么 BICAC长.7.3 a2 = bc与相似三角形知识精讲a2= b 与相似三角形 常见及扩展模型如下：BD BC由图由图1可证:2可证:AB2AB2BD BC_ 2DC , AC CD例题分析例1.如图，RtABC中， BAC90 ， ADBC于点D.求证:2AD BDgDC .例2.如图，已知等腰三角形 ABC中，AB = AC,高AD,BE相交于点H.求证：4DH DA BC2.例3.如图，在直角梯形 ABCD中，AB / CD,AB BC ,对角线 AC BD,垂足

5、为E,AD BD , 过E的直线EF / AB交AD于点F .(1) AF BE;(2) AF2 AE EC .例4.如图，在ABC中，AD平分 BAC , AD的垂直平分线交 AB于点E,交AD于点H ,交AC于点G,交BC的延长线于点 F.2_求证：DF CFgBF .AR D C例5.如图1,在 ABC中，P是边AB上的一点，联结 CP,要使 ACPs ABC ,还需要补 充一个条件.(1)补充的条件是 ,或者.(2)请你参考上面的图形和结论，解答下面的问题：如图2,在 ABC中， A 60 , AC2 AB2 AB BC ,求 B的度数.7.4内接矩形与相似三角形知识精讲内接矩形与相似

6、三角形相关模型：常用结论:AT DEAH BC例题分析例 1.如图， ABC 中，AC 3, BC 4,C 90 ,四边形DEFG为正方形，其中 D、E在边AC、BC上,F、G在AB上，求正方形 DEFG的边长.例2. ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点 G、H分别在 AC、AB 上，BC = 15,BC边上的高 AD = 10,求正方形EFGH的面积.例3.如图，已知 ABC中，AC = 3, BC =4, C 90 ,在 ABC内部求做一正方形，问 怎样截取可以使正方形的面积最大，并求出此时正方形的边长.例4.如图， ABC中，四边形 DEFG为正方形，其中 D、

7、E在边AC、BC上，F、G在AB 上, S ADG S CDE 1 , S BEF 3,求 ABC的面积.例5.锐角 ABC中，BC = 6, S abc=12,两动点M、N分别在边 AB、AC上滑动，且MN/BC , 以MN为边向下作正方形 MPQN ,设其边长为x,正方形MPQN与 ABC公 共部分 的面积为y (y > 0).(1) ABC 中边 BC 上高 AD =;(2)当x =时，PQ恰好落在边BC上(如图1);(3)当PQ在 ABC外部时(如图2),求y关于x的函数关系式(并写出定义域)； 当x取何值时，y取得最大值，最大值为多少？7.5 一线三等角与相似三角形15知识精讲

8、、一线三等角与相似三角形 相关模型如卜图所示：A A AA例题分析例1.已知，在等腰 ABC中，AB = AC = 交 AB、AC 于点 E、F, AE = 6, AF例2.如图，直角梯形 ABCD中，AB / CD,AD = 10,求 AED的面积.A A10,以BC的中点D为顶点作 EDF B,分别 =4,求底边BC的长.耳DLABC 90,点E在边BC上，且幽 些 -,EC CD 4;二Bec例3.矩形ABCD中，以对角线 的顶点C.(1)设Rt CBD的面积为BD为一边构造一个矩形 BDEF ,使得另一边EF过原矩形Si , Rt BFC的面积为8 , Rt DCE的面积为S3,则Si

9、S2 0 (用“ > "、"="、“ < ”填空)；20(2)写出图中的3对相似三角形,并选择其中一对进行证明.例4.在矩形ABCD中，AB = 2, AD = 3, P是BC上的任意一点(P与B、C不重合)，过点P作AP PE,垂直为P, PE交CD于点E.(1)连接AE,当 APE与 ADE全等时，求BP的长；(2)若设BP为x, CE为y,试确定y与x的函数关系式；当x取何值时，y的值最大？ 最大值是多少？(3)若PE / BD,试求出此时 BP的长.7.6旋转与相似三角形例1.如图，直角梯形 ABCD中， BCD 90 , AD / BCBEC

10、 90 ,将 BEC绕点C旋转90°使BC与DC重合，得到 DCF ,联结EF交CD于M.已知 BC = 5, CF = 3,则 DM : MC 的值为().(A) 5；(B)-；35(C) 4;(D) 234BC = CD, E为梯形内一点，且例2.在 ABC 中，CA = CB,在 AED 中，DA = DE,点 D、E 分别在 CA、AB 上.(1)如图1,若 ACB ADE 90 ,则CD与BE的数量关系是(2)若 ACBADE 120 ,将 AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则 CD与BE的数量关系是例3.把两块全等的直角三角板 ABC和DEF叠放在一起，使三角板 DEF

11、的锐角顶点D与 三角板ABC的斜边中点。重合，其中 ABC DEF 90 , C F 45 ,AB = DE =4,把三角板 ABC固定不动，让三角板 DEF绕点O旋转，设射线 DE与射线AB相 交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q.(1)如图1,当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时，易证 APDs CDQ ,则 此时 APgCQ ;(2)将三角板DEF由图1所示的位置绕点 O沿逆时间方向旋转，设旋转角为.其中090 ,问AP CQ的值是否改变？请说明理由.AAA图1图2圄3例4.如图1,在 ABC中， ACB 90 , BC = 2, A 30 ,点E、F分别是线段 BC、AC 的中点，

12、联结EF.(1)线段BE与AF的位置关系是, ”；BE(2)如图2,当 CEF绕点C顺时针旋转 时(0180 ),联Z§AF、BE,则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图3,当 CEF绕点C顺时针旋转 时(0180 ),延长FC交AB于点D,如果AD 6 2掷，求旋转角的度数.7.7函数与相似三角形例1.如图，已知 ABC与 ADE都是等边三角形，点 D在BC边上(点D不与B、C 重合)，DE与AC相交于点F .(1)求证： ABDs DCF ;(2)若BC = 1 ,设BD = x, CF = y,求y关于x的函数解析式及定义域；(3)当

13、x为何值时，S至7?S ABD 9例2.如图，已知平面直角坐标系中三点A (2,0), B (0,2), P(a,0)(a< 0),联结BP,过点P作PC PB交过点A的直线l于点C (2, b)(1)求b与a之间的函数关系式;(2)当a取得最大的整数时，求BC与x轴的交点Q的坐标.例3.函数y k和y k (k 0)的图像关于y轴对称，我们把函数y上和y k ( k 0) xxx x叫做互为"镜子”函数，类似地，如果函数y = f (x)和y = h (x)的图像关 于y轴对称，那么我彳门就把函数 y = f (x)和y = h (x)叫做互为“镜子”函数.(1)函数y =

14、3x -4的“镜子”函数是;(2)函数y x2 2x 3的“镜子”函数是；22(3)如图所不，一条直线与一对 镜子 y - (x > 0)和y - (x < 0)的图像分别交于点A、B、C,如果CB : AB = 1 : 2,点C在函数y 2 (x < 0)的“镜子”函数上的 x对应点的横坐标是 -,求点B的坐标.2例4.如图，已知梯形ABCD, AD / BC, AB = AD = 5, tan DBC - . E为射线BD上一点, 4S过点E作EF / DC交射线BC于点F,连接EC,设BE = x,=CF y . S BDC(1)求BD的长；(2)当点E在线段BD上时，

15、求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.7.8课堂检测1.如图，AB BD, CDBD,垂足分别为 B、D, AC和BD相交于点E, EF BD,垂足为F .求证： 1_AB1CD1EF2. 如图，在Rt ABC中,90 , BC = 4cm, AB = 8cm, D、E、F 分别为 AB、AC、BC边的中点，点 P为AB边上一点，过点 P作PQ / BC交AC于点Q,以PQ为- 边作正方形 PQMN,若AP = 3cm,求正方形 PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积.213. 如图，已知 ABC和 DEF是两个全等的等腰直角三角形，且BAC EDF 90DEF的顶点E与 ABC的

16、斜边BC的中点重合.将 DEF绕 点E旋转，旋转过程 中，线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图1,当点Q在线段AC上，且AP = AQ时，求证： BPE= CQE ；(2)如图2,当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPEs CEQ ；并求当BP = a,9.一. CQ a时，P、Q两点间的距离(用含 a的代数式表不).2257.9课后作业1.如图，已知 AB / EF CD,找出Sabd、Sbed、S bcd之间的关系，并证明你的结论.2.已知AD、AE分别为的内、外角平分线,DE的中点，求证:_ 2_AB BM-ZT2 TAC CM3.如图1 ,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一 起，A为公共顶点，BAC AGF 90 ,它们的斜边