列写微分方程的一般方法及线性化

1、 自动控制理论 http:/整理ppt1第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型机电学院自动化研究所：柯海森仰仪南楼310 电话：86914549 自动控制理论 http:/整理ppt22.1 2.1 列写系统微分方程式的一般方法列写系统微分方程式的一般方法2.2 2.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化2.3 2.3 传递函数传递函数2.4 2.4 系统框图及其等效变换系统框图及其等效变换2.6 2.6 信号流图和梅逊公式的应用信号流图和梅逊公式的应用2 2 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.5 2.5 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 自动控制理论 http

2、:/整理ppt3 系统的数学模型：描述系统系统的数学模型：描述系统输入输入、输出变量输出变量以及以及内部其内部其它变量它变量之间关系的数学表达式。之间关系的数学表达式。2.1 2.1 列写系统微分方程式的一般方法列写系统微分方程式的一般方法 实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模型来描述实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模型来描述（例如微分方程、（例如微分方程、传递函数传递函数等）等） 。 建立合理的控制系统数学模型是控制系统分析中最重要建立合理的控制系统数学模型是控制系统分析中最重要的内容，与系统性能密切相关。的内容，与系统性能密切相关。 自动控制理论 http:/整理ppt42. 2

3、. 状态变量描述：不仅可以描述系统的输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性。或称内部描述，例如状态变量空间法（矩阵），适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。控制系统中常见的控制系统中常见的两两种数学模型形式：种数学模型形式：1. 1. 输入输入输出描述：把系统的输出描述：把系统的输出量输出量与与输入量输入量之间的关系用之间的关系用数学方式表达出来。或称端部描述，例如数学方式表达出来。或称端部描述，例如微分方程微分方程、传递函传递函数数、框图框图和差分方程。适用于单输入、单输出系统。和差分方程。适用于单输入、单输出系统。2.1 2.1 列写系统微分方程

4、式的一般方法列写系统微分方程式的一般方法 自动控制理论 http:/整理ppt5数学模型分为静态模型和动态模型两种。数学模型分为静态模型和动态模型两种。系统的动态特性系统的动态特性建立系统数学模型建立系统数学模型2. 2. 根据所应用的根据所应用的系统分析方法系统分析方法，建立，建立相应的数学模型相应的数学模型。1. 1. 全面了解系统特性，确定研究目的以及准确性要求，决全面了解系统特性，确定研究目的以及准确性要求，决定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学模型。定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学模型。2.1 2.1 列写系统微分方程式的一般方法列写系统微分方程式的一般方法微分方程微分方程代

5、数方程代数方程解析法解析法实验法实验法 自动控制理论 http:/整理ppt61.1.明确明确系统每一元件的输入输出量系统每一元件的输入输出量：根据基本的物理、化学：根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中的输入与输出的微分方程式。等定律，列写出系统中的输入与输出的微分方程式。2.2.明确明确系统的输入输出量系统的输入输出量：各元件方程叠加，：各元件方程叠加，消中间量消中间量，求，求得系统输入输出微分方程；得系统输入输出微分方程；3.3.标准化处理：与标准化处理：与输出量输出量有关项列有关项列左侧左侧，输入量输入量有关项列有关项列右侧右侧。建立系统微分方程的步骤：建立系统微分方程的步骤：2.1

6、 2.1 列写系统微分方程式的一般方法列写系统微分方程式的一般方法例2-1：图2-1为一R-L-C电路，其输入电压为ur，输出电压为uc。试写出ur与uc之间的微分方程式。 图图2-12-1 R-L-C电路解：解： 根据电路理论中的基尔霍根据电路理论中的基尔霍夫定律，写出下列方程式夫定律，写出下列方程式rcuudtdiLiRidtcuc1消去中间变量，则得消去中间变量，则得rcccuudtduRCdtudLC2（2-1） 在列写每一个元件的微分方程式时，必须注意到它与相邻在列写每一个元件的微分方程式时，必须注意到它与相邻元件间的相互影响。下面举例说明元件间的相互影响。下面举例说明例2-2：已知

7、R-C网络如图2-2所示，试写出该网络输入与输出间的微分方程。图图2-22-2 R-C滤波网络解：解：对于图2-2所示的电路，由基尔霍夫定律基尔霍夫定律写出下列方程组121111()riidti RuC222122111()i dti Rii dtCC221ci dtuC消去中间变量消去中间变量 ，得12,i i121211221222()cccrududR R C CR CR CR Cuuddtt（2-2）可知该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程。可知该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程。2i1i例2-3：设弹簧-质量-阻尼器系统如图2-3所示。试求外力与质量块位移之间的

8、微分方程式。 )(tkydttdyf)(22)(dttydm22)()()()(dttydmdttdyftkytF22( )( )( )( )dy tdy tmfky tF tdtdt式中，f 为阻尼系数；k为弹簧的弹性系数。（2-3）经变换得经变换得解：根据牛顿第二定律牛顿第二定律得可知该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程。可知该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程。 自动控制理论 http:/整理ppt102.2 2.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 严格讲，构成控制系统的元件，在其输出信号与输入信严格讲，构成控制系统的元件，在其输出信号与输入信号之间，都

9、具有不同程度的非线性。因此在研究控制系统动号之间，都具有不同程度的非线性。因此在研究控制系统动态过程时就会遇到求解非线性微分方程的问题。然而，对于态过程时就会遇到求解非线性微分方程的问题。然而，对于高阶非线性微分方程来说，在数学上不可能求得一般形式的高阶非线性微分方程来说，在数学上不可能求得一般形式的解。因此，当研究这类控制系统的运动过程时，在理论上将解。因此，当研究这类控制系统的运动过程时，在理论上将会遇到困难。会遇到困难。问题提出问题提出 自动控制理论 http:/整理ppt112.2 2.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 但是，如果对求解非线性运动方程作某些近似或缩小研但

10、是，如果对求解非线性运动方程作某些近似或缩小研究问题的范围，那么对控制系统中所采用的大多数元件来说其究问题的范围，那么对控制系统中所采用的大多数元件来说其输出和输入信号间的关系可近似看成是线性的，并可用常系数输出和输入信号间的关系可近似看成是线性的，并可用常系数线性微分方程来描述。这种将线性微分方程来描述。这种将非线性微分方程在一定条件下近非线性微分方程在一定条件下近似似转化为转化为线性微分方程线性微分方程的方法，称为的方法，称为非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化。通过线性化得到的线性微分方程将通过线性化得到的线性微分方程将有条件地、近似地有条件地、近似地描述系统描述系统的动态过程。

11、也就是说，只有近似条件成立时，基于线性化微的动态过程。也就是说，只有近似条件成立时，基于线性化微分方程来讨论系统的运动状态才有实际意义。分方程来讨论系统的运动状态才有实际意义。 自动控制理论 http:/整理ppt122.2 2.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化线性化的基本思想线性化的基本思想1. 1. 对于一些较复杂的函数，为了研究方便，往往希望用一对于一些较复杂的函数，为了研究方便，往往希望用一些简单的函数来近似表达。些简单的函数来近似表达。2. 2. 由多项式表示的函数，只要对自变量进行有限的加、减、由多项式表示的函数，只要对自变量进行有限的加、减、乘三种运算，便能求出它

12、的函数值来，因此我们经常用多乘三种运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。项式来近似表达函数。1xexln(1)xx 自动控制理论 http:/整理ppt13 控制系统都有一个平衡的工作状态和响应的工作点。非线控制系统都有一个平衡的工作状态和响应的工作点。非线性数学模型线性化的一个基本假设是变量对于平衡工作点的偏性数学模型线性化的一个基本假设是变量对于平衡工作点的偏离很小。离很小。微偏法：微偏法： 若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在，则由级数若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在，则由级数理论可知，可在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级理论可知，可在给

13、定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶和二阶以上的各项，用所得到的线性化方程代数，并略去二阶和二阶以上的各项，用所得到的线性化方程代替原来的非线性方程。这种线性化的方法就叫做微偏法。替原来的非线性方程。这种线性化的方法就叫做微偏法。2.2 2.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 自动控制理论 http:/整理ppt14 必须注意：如果系统在原平衡工作点处的特性不是连续的，必须注意：如果系统在原平衡工作点处的特性不是连续的，而是呈现折线或跳跃现象，如图而是呈现折线或跳跃现象，如图2-10，那么就不能应用微偏法。，那么就不能应用微偏法。yxyx图图2-10 2-10 本

14、质非线性特征本质非线性特征2.2 2.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化y yx xy。 x。 x xA A图图2-112-11非线性特征的线性化非线性特征的线性化设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的关系如图2-11所示，相应的数学表达式为y=f(x) （2-5） 在给定工作点（在给定工作点（ ）附近，将上式展开为泰勒级数：）附近，将上式展开为泰勒级数：00,xy000220021( )( )()2!x xx xdffdyf xf xx xx xdxdx00()yyK xxxKy或写为或写为（2-6）式（式（2-62-6）就是式（）就是式（2-52-5）的线性化方程。）的

15、线性化方程。0 0 微分方程式是描述线性系统运动的一种基本的数学模型，微分方程式是描述线性系统运动的一种基本的数学模型，通过求解，可以得到系统在给定信号作用下的输出响应。通过求解，可以得到系统在给定信号作用下的输出响应。 1 1）求解难度大；）求解难度大； 2 2）很难反映系统的结构、参数与其性能间的关系。）很难反映系统的结构、参数与其性能间的关系。 在控制工程中，一般也在控制工程中，一般也不需要精确不需要精确的知道其输出响应。的知道其输出响应。 希望用希望用简单的方法判断简单的方法判断系统的系统的稳稳定性和定性和动态性能指标动态性能指标，以，以及判别当系统中某些及判别当系统中某些参数改变参数

16、改变或校正装置对系统或校正装置对系统性能的影响性能的影响。 以以传递函数传递函数为工具的根轨迹法和频率响应法就可以实现上为工具的根轨迹法和频率响应法就可以实现上述要求。述要求。 自动控制理论 http:/整理ppt17v拉普拉斯变换拉普拉斯变换v传递函数的定义传递函数的定义v传递函数的基本性质传递函数的基本性质v典型环节函数的数学模型典型环节函数的数学模型2.3 2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 自动控制理论 http:/整理ppt18拉普拉斯变换拉普拉斯变换js yxjFFsF F ss22j 1. 复数有关概念 复数 复函数 例： dtetftfLsFst02. 拉氏变换定义

17、3. 几种常见函数的拉氏变换 单位阶跃单位阶跃：0 ,0()1,0tftt01)(dtstetfL01tstes0)(1stdessts1 st0F sf tedt单位速度：单位速度： f (t)=t0)(dttetfLstdteseststtst00121s0)(1stetds2)(ttf单位加速度：单位加速度：02)(dtettfLstdtetseststtst00221dttesst0232s0 te0 t0) t ( fatatst(s-a)t(sa)t000111Lf (t)e edt=edte(01)sasasa指数函数：指数函数：00 t0(t)sint t0f正弦函数正弦函数：

18、00sin)(dttetfLst00000cossindtteseststtst002002200cossinststtette dtss000202201sincossttLtetss00220sinLts0 0微分的拉氏变换微分的拉氏变换0)(dtetfst00)(1)(1dtedttdfsetfssttst0)(1) 0(1dtedttdfsfsst0)()(dtetfsFst0)()(dtedttdfdttdfLst)0()()(fssFdttdfL令令 0fsFstfL nn-2n 1nn-1n-2L fts F ss f 0s f 0sf0f0 sFtfL微分定理：设微分定理：设

19、则则 sFs1dttfL sFtfL积分定理：设积分定理：设 则零初始条件下有则零初始条件下有)mn(asasasasbsbsbsb) s (A) s (B) s (Fn1 -n2-n21 -n1nm1 -m1m1m0)ps ()ps)(ps () s (An210) s (An1iiinn332211pscpscpscpscpsc) s (Fn1itpitpntp3tp2tp1in321ececececec) t (f若若其中分母多项式可以分解因式为：其中分母多项式可以分解因式为：P Pi i为为A(S)A(S)的根的根( (特征根特征根) )，当，当无重根时：无重根时： 自动控制理论 ht

20、tp:/整理ppt236532xxx例1： )(323xxx32xBxA待定系数法待定系数法)()(233xBxAx)()(BAxBAx2333231)(BABA65BA)()(233xBxAx代入特殊值代入特殊值x=3 x=3 得得 B=6B=6x=2 x=2 得得 A=-5A=-5拉普拉斯变换拉普拉斯变换 自动控制理论 http:/整理ppt24 0 t0 f t1 0 t1 F s0 t1求) 1t ( 1) t ( 1) t (f sse1s1es1s1sF例2： 解：解： 终值定理（终值定理（极限极限确实确实存在存在时）时） sFslimftflim0st拉普拉斯变换拉普拉斯变换 自

21、动控制理论 http:/整理ppt25 引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数传递函数代替代替微分方程微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见根轨迹法、奈奎斯结构图）、分析控制系统的运动过程（见根轨迹法、奈奎斯特稳定判据），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统特稳定判据），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。校正方法）提供了可能性。

22、 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 自动控制理论 http:/整理ppt262.3 2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 微分方程式的阶次一高，求解困难，且计算量也大。微分方程式的阶次一高，求解困难，且计算量也大。 对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应，而且更重视系统的输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系结构、参数与其性能间的关系。对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。问题的提出：问题的提出： 在控制工程中，一般并不需要系统的精确解，而是希望

23、用在控制工程中，一般并不需要系统的精确解，而是希望用简单的方法了解系统简单的方法了解系统是否稳定是否稳定及其在及其在动态过程中的主要特征动态过程中的主要特征，能判别某些参数的能判别某些参数的改变改变或或校正装置的加入校正装置的加入对系统性能的影响。对系统性能的影响。 自动控制理论 http:/整理ppt27传递函数的定义传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下零初始条件下系统（或元件）输出量输出量的拉氏变换与输入量输入量的拉氏变换之比。)()()(sRsCsG设系统输入r(t)，输出c(t) 则系统传递函数为 当传递函数和输入已知时C(s)=G(s)R(s)。通过反变换可求出时域表达式c(t

24、)。2.3 2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数将上式求拉氏变化，得(令初始值为零令初始值为零）)()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn10111011( )( )( )mmmmnnnnb sb sbsbC sG sR sa sa sasa称为环节的传递函数)()()()()()() 1(1)(0) 1(1)(0trbtrbtrbtcatcatcammmnnn)0,0(,mjnibaji式中：r(t)为输入信号，c(t)为输出信号为常系数,设系统或元件的微分方程为： 因为控制理论着重分析系统的因为控制理论着重分析系统的结构、参数结构、参数与系

25、统的与系统的动态动态性能性能之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始条件为零。之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始条件为零。系统阶次系统阶次系统极点系统极点00系统零点特征方程特征方程p21 自动控制理论 http:/整理ppt29以Ur为输入，I为输出：dtduCiccruRiudtdudtdiRdtducrrdudiiRdtCdt1( )( )( )rRSI sI sSUsC经拉氏变换得到经拉氏变换得到( )( )1rI sCSUsRCS2.3 2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 R-L-CR-L-C电路电路22rcccduduLCRCuudtdt2( )( )( )( )C

26、ccrLCS USRCSUSUSUS经拉氏变换得经拉氏变换得2( )1( )( )1crUSG SUSLCSRCS)()()()(22tFtkydttdyfdttydm2( )( )( )( )mS Y SfSY SkY SF S2( )1( )( )Y SG sF SmSfSk经拉氏变换得经拉氏变换得 自动控制理论 http:/整理ppt传递函数的求取方法及应用举例v 依据系统微分方程确定输入输出间传递函数；v 依据微分方程组代入消元法求传递函数；v 电网络可利用复阻抗直接求取传递函数； v 依据系统输入输出信号求取传递函数。 自动控制理论 http:/整理ppt方法方法3 3求解如下： 复

27、阻抗(R,1/CS,LS)和分压定理使电网络传递函数的求取过程大大简化。221111(S)crRUR C SC SGURR C S p28 自动控制理论 http:/整理ppt系统单位输入及零初始条件下的输出相应为： 求传递函数方法方法4 42(t)1ettce111(t)C(S)12cSSS1(t)R (S)rS22C (S)22(S)(S)32SSGRSS关于传递函数的几点说明v 传递函数的概念适用于线性定常系统适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。v 传递函数不能反映系统或元件的物理性质不能反映系统或元件的物理性质。物理性质截然不同的系统可能具有

28、完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。v 传递函数仅与系统的结构和参数有关仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。v 传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。对于多输入多输出系统，不能用一个传递函数去描述，而是用传递函数矩阵去表征系统的输入与输出间的关系。v 传递函数忽略了初始条件忽略了初始条件的影响。v 传递函数是S的有理分式的有理分式，对实际系统而言分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。v 一个传递函数由相应的零、极点零、极点组成。 自动控制理论 http:/整理ppt36 传递函数是经典控制理论中最重要经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以： 不必求解微分方程不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。 了解系统参数或结构变化时系统参数或结构变化时系统动