量子力学复习题参考答案与题解

1、量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些？ p2 量子的概念是如何引进的？ p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一？p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。P12什么是波函数的几率解释？p18态的迭加原理。 P22动量算符的定义。 P27写出单粒子薛定谔方程。P27写出多粒子薛定谔方程。P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。 P33 什么条件下可以得到定态薛定谔方程？ p32 什么是束缚态？ p37什么情况下量子系统具有分立能级？p37什么是基态？ p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程。P39写出线性谐振子的能级表达式。P40写出波函数应满足的三个基本条件。P

2、511 / 8写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出？p55写出厄米算符的定义， 并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。 P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。P60什么是角量子数、磁量子数？写出相应的本征值表达式及其数值关系。 P63?2l (l 1)2Ylm ( , )解： L Ylm ( , )?L zYlm ( ,)m Ylm ( ,)其中 l 表征角动量的大小， 称为角量子数， m 称为磁量子数。 对应于一个 l 的值， m 可以取（ 2l+1）个值，从 -l 到+l。写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见

3、光能否导致氢原子电离？a00.52A ( 3 分 )E11 3. 6 e( V3 分 )可见光的能量不超过 3.26eV, 这个值小于氢原子的电离能， 所以不能引起氢原子电离。(4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。P65写出氢原子能级的表达式及其简并度。P68s, p, d, f 态粒子是什么含义？ p63关于力学量与算符的关系的基本假定。P83写出力学量平均值的积分表达式。P84两个算符可对易的充要条件是什么？p89写出 X 方向坐标与动量的不确定关系。P922 / 8什么是 Q 表象？ p108久期方程带来的好处是什么？p113写出两个表象中的力学量和态矢量之间的变换公式。 P117

4、写出幺正变换的两个重要性质。 P118应用微扰法的限制条件是什么？p135写出用非简并微扰法解题的基本步骤。P136写出用变分法求解体系基态能量的基本步骤。 P145 写出黄金规则公式，并解释其含义。 P154什么是量子力学中的共振现象？p157自旋角动量与其它力学量的根本差别是什么？ p197 电子自旋的取值有何特点？ p196 写出泡利矩阵。 P202写出电子自旋算符各分量之间的对易关系（矢量形式和分量形式）。P198C-G 系数是如何定义的？其中各参数的含义是什么？p209在角动量耦合问题中， j 1 和 j 2 给定后， j 的取值范围是什么？ p210写出全同性原理。 P217什么是

5、费米子？什么是玻色子？P220写出全同玻色子体系的波函数表达式，并说明其中各量的含义。 P223什么是自旋单态和三重态？P2233 / 8根据能量算符和动量算符的定义及经典的能量动量关系，“推导”单粒子薛定谔方程。P27推导定态薛定谔方程。 P32一个质量为 m的粒子置于宽度为a 的无限深势阱中：00xaV ( x)其它求该系统的能量本征值。P340a解：设系统波函数为( x)当 0xa 时，薛定谔方程可以写为222mx2(x)E(x) (1)当 x0, xa 时，薛定谔方程可以写为222mx2(x) V ( x) ( x) E (x)当 V ( x)时，根据系统波函数的有限性及系统能量的有限

6、性，可得( x) 0。令 k22mE2 ，可将 (1)式化为2k2x2(x)( x)0 (2)4 / 8则方程 (2)的解可以写为( x)Asin kxB coskx由波函数的连续性可得(a)(0)0Asin kaB coska0A sin ka0即0，得B0(3)B由于当 A0， B 0 时，系统波函数( x)0，与粒子的存在相矛盾，所以A，B 不能同时为 0，所以 (3) 式的解为 B 0， sinka0，由此有 kan ( n = 0 ， 1， 2， 3， )因为 n 0对应 ( x) 0，故舍去，n 取负整数与取正整数的情况，系统状态完全一样，故只取正整数即可，因此 kn，再结合 k2

7、2mE得，a22mEn222a2即系统能量本征值为2n22E 2ma2( n=1， 2， 3， )。证明厄米算符的本征值是实数。P56证明厄米算符属于不同本征值的两个本征函数彼此正交。P78根据坐标算符和动量算符的定义证明：在X 方向上两算符满足x?, p?xi。P87证明：在 Q 表象中 ,?算符本身的表示矩阵是对角的。P110Q试推导非简并定态微扰理论中一级修正项所满足的方程。P131一电荷为 e 的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿正x 方向。用微扰法求体系定态能量的一级修正，用变量替换法求能量修正。 P1375 / 8用变分法解氦原子基态问题时，哈密顿算符如何给出？其中各量是何含义？尝

8、试波函数如何选取？p146写出乌伦贝克和哥德斯密特关于电子自旋的假设。P196(1) 每个电子具有自旋角动量 S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：sz；2(2) 每个电子具有自旋磁矩M S ，它和自旋角动量S 的关系是 M Se S ，式中-e 是电子的电荷， 是电子的质量。在两个角动量耦合的问题中，什么是无耦合表象？什么是耦合表象？写出两种表象基矢的关系式。P208写出全同费米子体系的波函数表达式，并由此给出泡利不相容原理。 P223写出坐标表象下， 产生、湮灭算符的表达式， 并证明a?, a?1。P125由坐标表象下的薛定谔方程推导Q 表象下的薛定谔方程（分量形式和矩阵形式）。P

9、113证明自旋算符满足：20，其中s?2 2?22。P198 s? , s?zs?xsys?z对泡利矩阵证明 :（1） ?x , ?y 2i ?z ;（2） ?z 的本征值为1 , 并求出相应的归一化本征矢； （3） ?x 在 ?z 的两个本征态中的平均值皆为 0。P202答：泡利矩阵 :010i10x1,yi,z0,（3 分）001（ 1） x , y 010i0i0110x yy x10i0i012i02i z016 / 8（3 分）（ 2） zuu 即10aa，由此得久期方程：01bb10210解得1 （4分）01设平面波具有如下一般形式：( r , t )Ae i ( k rt )其中

10、 A 为常数，k 和满足k2 / 2m 。试验证平面波满足自(1)由粒子薛定谔方程。 (2)解释为什么说平面波不能严格代表一个自由粒子。2（1） i(r, t) (2m2 ) (r ,t )t左边 =ii (k r t )iA(ii( k rt )Ai( k r t )2k2i (k rt )Ae)ee2mAet右边 =(22 ) Aei ( k rt )(2) A(i 2k2 )ei (k r t )2k 2Aei (k rt )2m2m2m左边=右边（2）平面波不满足平方可积条件* ( r ,t ) r ( t , d)2A d上述积分的涵义是粒子存在的总几率， 应当是有限值。 所以平面波

11、不能严格代表一个自由粒子。 (a) Write the postulate for the relationship between an observable and the result of its measurement. (b) Suppose a system is at the superposition state oftwo energy eigenstates: |c1 | 1c2 | 2 . What result would be obtainedwhen measuring the energy of the system? (10 marks)解：（a）一个可观察量可以