勾股定理的证明方法

1、勾股定理的证实方法勾股定理是初等几何中的一个根本定理.这个定理有十分悠久的历史,两千 多年来,人们对勾股定理的证实颇感兴趣,由于这个定理太贴近人们的生活实际, 以至于古往今来,下至平民百姓,上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证实. 下 面结合几种图形来进行证实.、传说中毕达哥拉斯的证法图 1左边的正方形是由i个边长为a的正方形和i个边长为b的正方形以及4个 直角边分别为a、b ,斜边为c的直角三角形拼成的.右边的正方形是由i个边长为e的正方形和4个直角边分别为口、6,斜边为：的直角三角形拼成的.因 为这两个正方形的面积相等边长都是.+6,所以可以列出等式a2 +b2 +4x-ai +4x-ijJ

2、0 口 口22 ,化简得二d.在西方,人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证实这一定理的,但遗憾的是, 他的证实方法已经失传,这是传说中的证实方法,这种证实方法简单、直观、易 懂.二、赵爽弦图的证法图2第一种方法：边长为:的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b,斜边 为C的直角三角形围在外面形成的.由于边长为r的正方形面积加上4个直角三角形的面c2 + 4x-ab= a + b2积等于外围正方形的面积,所以可以列出等式2,化简得C 二4 +D .第二种方法：边长为:的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b,斜边 为匕的角三角形拼接形成的虚线表示,不过中间缺出一个边长为°一公的正方形“

3、小 洞.由于边长为C的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞的面-d =8-力+4*1威八-a 2积,所以可以列出等式2 ,化简得F=J+/.这种证实方法很简明,很直观,它表现了我国古代数学家赵爽高超的证 题思想和对数学的钻研精神,是我们中华民族的骄傲.、美国第20任总统茄菲尔德的证法图3这个直角梯形是由2个直角边分别为Q、6,斜边为r的直角三角形和i个 直角边为一的等腰直角三角形拼成的.由于3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积, 所+ £ x -ab - 1 o , o以可以列出等式222,化简得1=.,+/.这种证实方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式,从而使证

4、实更加简洁,它在数学史上被传为佳话.古希腊数学的伟大成就：1、使数学成为抽象性的一门科学；2、建立了演绎证实体系,希腊成为论证数学发祥地；3、创立了几何学、三角学,奠定了数论根底等；4、萌芽了一些高等数学,如数论、极限等；5、希腊人发现定理及证实,逻辑结构严密,论证认真细致,为后世树立了样板等； 缺乏：如,重几何轻代数,认为几何方法是数学证实唯一方法,畏于无理数的存在,而不将算术应用于几何；几何作图严格限制规尺.古希腊的数学方法论泰勒斯最先提出数学方法论,数学命题要加以演绎证实,在数学中要建立一般的原理好 人规那么,数学命题的证实就是要借助一些公理或真实性已经确定的命题来论证某一命题 真实性的

5、思想过程.演绎证实的方法即演绎推理的方法,指从一般到特殊的推理方法, 其核心是三段论法,即有两个判断,推出第三个判断,例如,平行四边形的对角线 互相平分第一个一般判断成为大前提,矩形是平行四边形另一个较特殊的判断,成为小前提,那么矩形的对角线互相平分推出新判断,即结论.用演绎法 证实命题使几何由实验阶段,过渡到一门抽象的理论科学,使人类对自然的熟悉由感性或经验熟悉上升到理性熟悉,因此这是一个划时代的奉献.后来亚里士多德公元前 384前322推出逻辑方法论,创立公理方法和数学证实原 理,使演绎推理的方法系统化,建立了逻辑学.欧几里得那么在数学中实现了公理化,他的?几何原本?奠定了古希腊数学方法论

6、的根底：采用公理法构建数学理论体系,逻辑证实是数学的根本方法.因此, 数学中的方法、创造与创新表现为提出新命题、证实未证的命题,改良已证命 题的证实,由命题构成新的公理体系等.例如：小学三年级的?搭配?问题1、某女士外出旅行时带了 2件不同颜色的上衣和 3条不同颜色的裙子,问：共有 多少种不同的搭配方法？教师鼓励学生用“实验的方法去解决问题：学生拿出了纸和笔,开始在纸上“实际地 画出各种可能的组合. 实验说明,大多数学生都可以凭借自己的努力,单独或合作地得出正确答案.进而,教师又要求学生对自己的结论的正确性作出“说明一一当然,并 非严格的论证,而主要是一种朴素的说明.作为“问题解决的一次实践活

7、动,该节课 较好地表达了 “学数学就是做数学这样一个思想,更使学生实际地体会到了 “实验在数学发现中的作用. 然而,我们都这一教学活动进行反思,学生通过这一活动学到了说明？他表示,我们能否认为学生已经掌握了相关的数学知识？因此,作为一种较好的检验方法,可以要求学生进一步解决类似的问题：1、某男士外出旅行时带了 2件不套不同的西装和 3条不同颜色的领带,问：共有多少 种不同的搭配方法？2、有2个军官和3个士兵.现由1个军官和1个士兵组成巡逻队,问：共有多少种不 同的组成方式？再例如：1、某女士外出旅行时带了 3件不同颜色的上衣和 4条不同颜色的裙子,问：共有多少种不 同的搭配方法？2、有4个军官

8、和5个士兵.现由1个军官和1个士兵组成巡逻队,问：共有多少种不同的 组成方式？显然,在此还是允许学生继续采取“实验方法,但是,如果某个学生始终停留在“实验和归纳的水平,我们就不能认为这个学生已经掌握了相应的数学知识.由于,数学是模式的科学.与上面的教学实例十分相似,就数学在古埃及、巴比伦等地的早期开展而言,人们主要通过 观察或实验以及对于经验事实的简单归纳获得了关于真实事物或现象量性属性的某些知识,但从现今的观点看,这只能说是经验的知识而不能被看成真正的数学知识,由于,真正的数学知识是关于抽象的数学对象的研究,而非对于真实事物或现象量性属性的直接研究.例如,就几何的研究而言,这也就是指,“三角形具有什么性质？ “圆具有什么性质？而不是指,某些“三角形的事物具有什么性质？某些“圆形的事物具有什么性质？从历史的角度