经典：等比数列的性质及应用-dab

1、2021/8/61等比数列的性质及应用2021/8/62定义定义通项通项1(nnaad d为常数）1(0)nnaq qa1(1)naand11nnaa q()manm dn mma qncq等差数列等差数列等比数列等比数列一、概念与公式一、概念与公式复习回顾复习回顾常数常数2021/8/631. 在等比数列在等比数列 an 中，中，a8=9，a10=18，则，则q= ，2. 在数列在数列 an 中，中，a3=3，an =-3an+1，则，则a8= .2 811 3. 在等比数列在等比数列 an 中，中，an=3 2n，则，则a1= ，q= .4. 在等比数列在等比数列 an 中，中，an=22

2、n-1，则，则a1= ，q= .6224复习练习复习练习45. 等比数列中，首项为等比数列中，首项为 ，末项为，末项为 ，公比为，公比为 ， 则项数则项数n =_8931322021/8/64一、概念与公式一、概念与公式 等比中项等比中项 如果在两个数如果在两个数 a、b 中中间插入一个数间插入一个数 G, 使使 a、G、b 成等比数列成等比数列, 则则 G 叫做叫做 a 与与 b 的等比中项的等比中项. 等差中项等差中项baG 如果在两个数如果在两个数 a、b 中中间插入一个数间插入一个数 A, 使使 a、 A 、b 成等差数列成等差数列, 则则 A叫做叫做 a 与与 b 的等差中项的等差中

3、项.2baA112nnnaaa211nnnaaa2021/8/65 若三个数为若三个数为x, 2x+2, 3x+3成等比数列成等比数列, 则则x= .课内练习一课内练习一-42021/8/66等比数列的图象（1）数列：）数列：123456789101234567891001118 , 4 , 2 , 1,2484)21(xy41)21()21(8nnna通项通项nan2021/8/67等比数列的图象（2）数列：）数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，12345678910123456789100nan1) 1(1nna通项通项2021/8/68若数列若数列an的首项是的首项是a1=1,公比公

4、比q=2,则用通项公式表示是：则用通项公式表示是：an= 2n-1可见，表示这个等比数列可见，表示这个等比数列的各点都在函数的各点都在函数 的图象上，如右图所示。的图象上，如右图所示。 0 1 2 3 4 nan87654321 na结论:等比数列的图象是其对应的函数的图象上一些孤立的点12xy等比数列的图象2021/8/69 已知无穷等比数列已知无穷等比数列an, 首项为首项为a1，公比为，公比为q .（）依次取出数列（）依次取出数列an中的所有奇数项，组成中的所有奇数项，组成 一个新数列，这个数列还是等比数列吗？一个新数列，这个数列还是等比数列吗？ 如果是，它的首项和公比是多少？如果是，它

5、的首项和公比是多少？（）数列（）数列Can （其中常数（其中常数C）是等比数列）是等比数列 吗？如果是，它的首项和公比是多少？吗？如果是，它的首项和公比是多少？问 题2021/8/610 判断等比数列的方法判断等比数列的方法1. 用定义用定义:3. 用通项公式用通项公式:2.用等比中项用等比中项:1(0)nnaq qa11nnaa q211nnnaaa (an 0)2021/8/611. , ,:, 2222也成等比数列试证明成等比数列若cbbcabbacba211nnnaaa (an 0)可证关系式可证关系式 判断等比数列的方法判断等比数列的方法2021/8/612 （）在等比数列（）在等比

6、数列an中，是否有中，是否有 an2an-1an+1 （n）？）？ （）如果数列（）如果数列an中，对于任意的正整数中，对于任意的正整数n （n），都有），都有an2an-1an+1 ， 那么，那么， an一定是等比数列吗？一定是等比数列吗？课本课本 例例3.2021/8/613212.|nannnnn设 a是等比数列，有下列四个命题：. a是等比数列； . a是等比数列；1.是等比数列； .lg|a是等比数列.a其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是_. 课内练习二课内练习二2021/8/614问题探究问题探究 |(2).lg.nsnnnnannnnnnasarkaarababa bnnn

7、2.已知a 、b是等比数列，s、r、k是非0常数，问下列数列哪些还是等比数列？(1).a； 课内练习二课内练习二2021/8/615 已知已知 an 为等比数列，则在下列数列中仍是等为等比数列，则在下列数列中仍是等比数列的是比数列的是 . 2an； nan； |an|； an+an+1+an+2；anan+1； lgan； ； an+an+3+an+65na 课内练习二课内练习二2021/8/6162021/8/6171. 在在243和和3中间插入中间插入3个数个数, 使这使这5个数成等比数个数成等比数 列列. 求这三个数求这三个数. 二. 插入的数是否唯一2. 在等比数列在等比数列an中，中

8、，（1）若）若a4=5, a8=6, a6=_（2）若）若a7 7a11=2，则，则 a9=_3434:,a ,a ,3., 3=243.,81,27,9,-81,27,-9.a a225-1解设插入的三个数为a由题意得 243,a成等比数列设公比为q 则q1解得 q=3因此所求三个数为或2021/8/618 二. 插入的数是否唯一P49 32021/8/619 . , 8, 7 , . 1321321nnaaaaaaaa求若已知等比数列 三. 等比数列的运算常用“比”P49 1 (4)2021/8/620 2446371 04 0 .1.nnaaaaaaaa 已 知 等 比 数 列中 ，求

9、数 列的 通 项 公 式 ；2求与的 等 比 中 项2. 三. 等比数列的运算常用“比”2021/8/621 重要性质重要性质 2.首尾项性质首尾项性质: 有穷等比数列中有穷等比数列中, 与首末两项距与首末两项距 离相等的两项积相等离相等的两项积相等, 即即:特别地特别地, 若项数为奇数若项数为奇数, 还等于中间项的平方还等于中间项的平方, 即即:a1an=a2an- -1=a3an- -2= . a1an=a2an- -1=a3an- -2= =a中中2 . 特别地特别地, 若若 m+n=2p, 则则1. 若若 m+n=p+q ( (m、n、p、qN*) ), 则则aman=ap2 aman

10、=apaq2021/8/622 1. 在等比数列在等比数列an中，中，（1）若）若a4=5, a8=6, 则则a2a10=_，a6=_（2）若）若a1a9=64，且，且a3+a7=20，则，则a11=_（3）若）若a7a11=2，则，则a6a7a8a9a10a11a12=_ 课内练习三课内练习三 2. 已知已知an是等比数列，是等比数列，an0且且 a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么，那么a3+a5的值等于（的值等于（ ） A.5 B.10 C.15 D.20303028A30方法方法2021/8/623 3. 若数列若数列 an 是等比数列是等比数列, m, p, n 成等差数列成等

11、差数列, 则则 am , ap , an 成等比数列成等比数列. 4. 若数列若数列 an, bn 是等比数列是等比数列, 则数列则数列 anbn, 也是等比数列也是等比数列.anbn 重要性质重要性质2021/8/6242021/8/62516132021/8/6265.单调性单调性a10, q1, a10, 0q0, 0q1, a11, an 是是递减数列递减数列; q=1 an 是是q0.后三数成等比数列后三数成等比数列, 其最后一个数是其最后一个数是 25, 解得解得: a=16, d=4.故所求四数分别为故所求四数分别为 12, 16, 20, 25.a- -d+a+a+d=48,

12、且且 (a+d)2=25a. a- -d=12, a+d=20. 2021/8/631等差等比小综合等差等比小综合2021/8/6322021/8/633 137520083.,3nnnmnadaaabbqbamab例 已知等差数列的公差 不为零且 ， ， 是等比数列的前 项.(1)求等比数列的公比 ；(2)若，求 的大小；(3)问是否是中的项?并说明理由.4.等差等比小综合等差等比小综合2021/8/634 5. 三个数成等比数列三个数成等比数列, 若将第三项减去若将第三项减去 32, 则成则成 等差数列等差数列, 再将此等差数列的第二项减去再将此等差数列的第二项减去 4, 又又 成等比数列

13、成等比数列, 求原来的三个数求原来的三个数. 解：解： 设三数为设三数为 a, b, c, 得得 b=2+4a, c=7a+36. 2, 10, 50 或或 , , . 9 338 92629等差等比小综合等差等比小综合2021/8/6352021/8/636思考题思考题：2021/8/6372021/8/6382021/8/6392021/8/6402021/8/6411. 已知某市已知某市 2007年底人口数为年底人口数为 100万，人均住房万，人均住房面积为面积为 40平方米，如果该市每年人口平均增长平方米，如果该市每年人口平均增长率为率为 2%，每年平均新建住房面积为，每年平均新建住房

14、面积为 20 万平方万平方米，米， 试问到试问到 2011 年底，年底， 该市人均住房面积为该市人均住房面积为多少平方米？多少平方米？ （精确到（精确到 1平方米，参考数据：平方米，参考数据： 1.023=1.06 ，1.024=1.08 ，1.025=1.10 ） 五五. 数列的实际应用数列的实际应用2021/8/642【解】【解】2007年底住房总面积为年底住房总面积为40100=4000 万平方米万平方米. 由题意可知，该市每年年底人口数构成等比数列由题意可知，该市每年年底人口数构成等比数列an ， 其中其中 a1=100 ， q=1.02 ； 该市每年年底住房总面积构成该市每年年底住房

15、总面积构成 等差数列等差数列bn ，其中，其中 b1=4000 ，d=20 . 则到则到 2011 年底人年底人口数为口数为 a5=1001.024 ，住房总面积为，住房总面积为 b5=4000+420 . 所以，所以，2011年底人均住房面积为年底人均住房面积为 （平方米）（平方米）. 2021/8/643 2. 某城镇现有住房某城镇现有住房1000 万万m2 ,预计以后的预计以后的10年中年中, 人口的年增长率为人口的年增长率为 1%，要想，要想 10年后人均住房面年后人均住房面 积达到现有的积达到现有的1.5倍，试问这倍，试问这10 年中年中,平均每年新平均每年新 建住房多少万建住房多少

16、万 m2 ？ （参考数据：（参考数据： 1.019 =1.094 ，1.0110=1.105 ， 1.01 11 =1.116 ) 五五. 数列的实际应用数列的实际应用2021/8/6442021/8/6453. 图图(1)是一个边长为的正三角形，将每边是一个边长为的正三角形，将每边 三等分三等分, 以中间一段为边向形外作正三角形以中间一段为边向形外作正三角形 , 并擦去中间一段，得图并擦去中间一段，得图(2), 如此继续下去如此继续下去, 得得 图图(3)试求第试求第n个图形的边长和周长个图形的边长和周长 课内练习课内练习2021/8/646 3已知已知a1，a2，a3 , , an是公比为是公比为q 的等比数的等比数 列，新数列列，新数列an ，an-1 , , a2 , a1 也是等比数列也是等比数列 吗？如果是，公比是多少？吗？如果是，公比是多少？2021/8/647 观察下列等比数列的递变规律观察下列等比数列的递变规律,试进行分类，试进行分类， 并说出分类的依据并说出分类的依据. -2、-2、-2、-2 1、2、4、8、16、32 -1、-1/2、-1/4、-1/8、-1/16 -1、-3、-9、-27、-81 1、1/3、1/9、