克莱姆法则ppt课件

1、 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组设线性方程组,21不不全全为为零零若若常常数数项项nbbb则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;,21全全为为零零若若常常数数项项nbbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.如果线性方程组如果线性方程组11112211211222221122(1.11)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112

2、11 0 .,332211DDxDDxDDxDDxnn其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为 1.11证明证明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111 12,1.11,jjnjDjAAAn

3、用用 中中第第 列列元元素素的的代代数数余余子子式式依依次次乘乘方方程程组组的的 个个方方程程 得得在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得n,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知, ., 2 , 1njDDxjj .DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211,Dxj的的系系数数等等于于上上式式中中 ; 0的的系系数数均均为为而而其其余余jixi .jD又又等等式式右右端端为为于是于是 *当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解0 D *由于方程组由于方程组 与方程组与方程组

4、等价等价, 1.11故故.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211也是方程组的也是方程组的 解解. 1.11二、齐次线性方程组的相关定理二、齐次线性方程组的相关定理 111122121122221122001.140nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x 定理定理1.4.2 1.4.2 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 仅有零解仅有零解. .0 D 1.14 1.14推论推论1.4.11.4.1如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 1.14 有非零解有非零解, ,则它则它的系数行列式必为零

5、的系数行列式必为零. . 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解有非零解. .系数行列式系数行列式0 D例例1 用克莱姆法则解方程组用克莱姆法则解方程组 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 6

6、0412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx例例2 2 用克莱姆法则解方程组用克莱姆法则解方程组 .6523,611, 443, 325343214321424321xxxxxxxxxxxxxx解解2311111140301253 D67 , 0 23165111611403412531 D,367 23651116111404012332 D, 0 26511161111443013533 D,267 65311611111403032534

7、 D,67 ,DDx316736711 ,DDx067022 ,DDx216726733 . 1676744 DDx231121314231222324231323334231424344, ,1,2,3,4, 1111ijaai jxa xa xa xxa xa xa xxa xa xa xxa xa xa x 例例3 3 设设 求求解解方方程程组组 112423123222314333234411011Tijj iaaaaaaDDaaaaaaaa 所所以以方方程程组组有有唯唯一一解解。 11242312322123143332344110;11ijj iaaaaaaDDaaaaaaaa 1

8、124232322342333234123411110,011111,0(aaaaDDDaaaaxxxx 得得本本题题利利用用了了范范得得德德蒙蒙行行列列式式） 1231231231240,230,10,xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？解解 111132421D 101112431 31214313 312123 齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则0 D所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.20 ,3 1. 1. 用克莱姆法法则解方程组的两个条件用克莱姆法法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数; ;(2)(2)系数行

9、列式不等于零系数行列式不等于零. .2.2.克莱姆克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系. .它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导. .思考题思考题当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克莱姆能否用克莱姆法则解方程组法则解方程组?为什么为什么?此时方程组的解为何此时方程组的解为何?思考题解答思考题解答不能不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解此时方程组的解为无解或有无穷多解. ,aabbccAxyBxyCxy111()()()222ABCADFCCFEBABDESSSSAD CFDFB

10、ECFEFADBEDE 111222111222111 .21accabcbcabbaabbaaccabccbaabbccyyxxyyxxyyxxx yx yx yx yx yx yxyxyxy D,.ababDcdcd 其其中中 二二阶阶行行列列式式令令0,0aDabDabb 矩矩 形形 的的 面面 积积 . ., , k 和和假设假设 的倍数，否则面积是的倍数，否则面积是0，以以 所确定的二个平等四边形，所确定的二个平等四边形，其中，向量其中，向量 是公共底边，高也相等，因而面积也是公共底边，高也相等，因而面积也相等相等. 不不是是,k 与与，2628.28.51DD 1112132122

11、23313233,aaaDaaaaaa 设设有有三三阶阶行行列列式式111213212223313233,aaaaaaaaa 令令， D 则则向向量量组组 ， ， 称称为为三三阶阶行行列列式式 的的列列向向量量组组。D 1 02,124,7 1 0TTT 以以 ， ， 为为列列构构造造三三阶阶行行列列式式11702122,22.240DD 所所求求的的平平行行六六面面体体体体积积 1122,A x yB x y例例4 4. .用用行行列列式式表表示示通通过过平平面面上上点点的的直直线线方方程程221212xxyyxxyy 证证：由由二二点点式式我我们们知知道道直直线线方方程程12122 11

12、21111112222220111010.111xyxyx y x y x yx yxyyxxyxyxyyxxyxy 上上式式二二边边展展开开移移项项得得111111122222221333333:0:00.:0la xb ycabcla xb ycabcla xb ycabc 充充要要条条件件1122331101xyxyxy111222333110 .11xyzxyzxyzxyz 11223322221111222222223333,110.11AxyBxyCxyxyxyxyxyxyxyxyxy 例例 5 5： 通通 过过 平平 面面 上上 三三 点点的的 圆圆 的的 方方 程程 ： 220 ,.Axy