2016-2017学年广东省广州市越秀区执信中学高一(上)期末数学试卷

1、A.若 m? B, a，B,贝 c.若 an 丫 =m Bn 丫4. ( 5分)已知函数._则有(A. f(a)vf(b)vf(c)(a) D. f (b)v f (a)v f (c)5.(5分)将正方体(如图B. f (a)vf (c)vf(b) C.V f ( c)v f1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体,则该几何体的左视图为（2016-2017学年广东省广州市越秀区执信中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选 项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置）1. (5 分)已知集合 M=x? Z|x(x 3)W0

2、, N=x|lnxv 1,则 M n N=()A. 1, 2 B. 2, 3 C. 0, 1, 2 D. 1, 2, 32. （5分）函数f （x） =lnx-L的零点所在的大致区间是（）xA.: B. （1,2） C. （2, 3） D. （e, +Q、巳3. （5分）若m, n是两条不同的直线，a, B, 丫是三个不同的平面，下些说法 正确的是（）U m _L a B.若 m _L B, m / a,则B,则丫，B=n m / n,贝 U a/ B D.若久，Y，设-1 : :丁 b=lo6 . （5分）一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB,然后每3分钟自身复制一次，复制后所

3、占内存是原来的 2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210KB）,则开机后经过（）分钟.A. 45 B. 44 C. 46 D . 477 .(5分)若当x? R时，函数f(x) =/力始终满足Ov| f(x) | < 1,则函数y=loga| - | 的图象大致为()I"/ I II_ I/X/>iq FC"*-io| /1* oA.B.Cni ID.I8. f 5分）在平面直角坐标系中，下列四个结论：每一条直线都有点斜式和斜截式方程； 倾斜角是钝角的直线，斜率为负数； 方程一二与方程y+1=k （x-2）可表示同一直线；x-2 直线l过点P （X0, y

4、。），倾斜角为90°则其方程为x=x其中正确的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. （5分）如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R,把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切,然后将球取出，此时容器中水的深度是（A. 2R B. C. D.'33310. （5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m）,则该棱锥的全面积是（单位：m2 ）.（第3页（共20页）B.好京，1C. 匚 D. in-: ;7A.11.（5分）如图，正方体 AG的棱长为1,过点A作平面AiBD的垂线，垂足为 点H,则以下命题中，错误的命题是（B-BC'A.点H是A

5、AiBD的垂心 B. AH垂直平面 CBDiC. AH的延长线经过点C D.直线AH和BBi所成角为4512.（5分）已知函数y=f （x）是定义域为R的偶函数.当x>0时，f （x）-A-xZ (0<r<2) =r 有6邰 1 (i>2) l也若关于x的方程f （x）2+af (x) +b=0, a, b? R 有且仅个不同实数根，则实数a的取值范围是（A.:二上 B?:-二C. . ,I:D.:填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分若案填在答卷上.）13.10£ 2（5分）计算的结果是14.（5分）已知4a=2lgx=a,贝U x=15.分)过点（

6、1, 2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程的体积与三棱锥P-ABQ体积之比是16. (5分)已知：在三棱锥 P- ABQ中，D, C, E, F分别是AQ, BQ, AP, BP的中点，PD与EQ交于点G, PC与FQ交于点H,连接GH,则多面体ADGE- BCHF第3页(共20页)第11页(共 20 页)三、解答题：(本大题共6小题，共70分喇答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤，并写在答题卷相应位置.)17. (10分)如图，在平行四边形 OABC中，点C (1, 3).(1)求OC所在直线的斜率；(2)过点C作CD，AB于点D ,求CD所在直线的方程.c/DClo18.(12.VA

7、图,正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于 CD, AE，平面 CDE 且 AE=1 , AB=2.(I)求证：AB，平面ADE(U)求凸多面体ABCDE的体积.19. (12分)已知函数，？一 一 L为奇函数，3X+1(1)求a的值；(2)当OWx< 1时，关于x的方程f (x) +1=t有解，求实数t的取值范围;的体积与三棱锥P- ABQ 体积之比是(3) 解关于 x 的不等式f (x2- mx)> f (2x- 2m).20. ( 12 分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f (x)与投资金额x的关系是f (x) =k

8、ix, ( f (x)的部分 图象如图1);投资股票等风险型产品 B的收益g (x)与投资金额x的关系是打工* £, (g (x)的部分图象如图2);(收益与投资金额单位：万元)FLSSi(1)根据图1、图2分别求出f (X)、 g (X)的解析式；(2)该家庭现有10万兀资金，并全部投资债券等稳键型产品 A及股票等风险型 产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？21. (12 分)如图，直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，AC ± BC, AC=BC=C(=2 , M , N 分 别为AC, B1C1的中点.求线段MN的

9、长；(U)求证：MN 平面 ABB1A1；(JII)线段CC上是否存在点Q,使AiB,平面MNQ?说明理由.22. (12分)已知函数 f (x) =ax，bx+c (a, b, c? R). 若av 0, b> 0, c=0,且f (x)在0, 2上的最大值为，最小值为-2,8试求a, b的值；(2)若c=1, 0vav 1,且二| <2对任意x? 1, 2恒成立，求b的取值范 x围.(用a来表示)2016-2017 学年广东省广州市越秀区执信中学高一 ( 上 ) 期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题： ( 本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个

10、选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置)1. (5 分) 已知集合 M=x? Z|x(x 3)W0 , N=x|lnx v 1，则M n N=()A. 1, 2 B. 2, 3 C. 0, 1, 2 D. 1, 2, 3【解答】 解：集合 M=x? Z|x (x3)< 0=x? Z| 0<x<3=0, 1, 2, 3,N=x| Inx v 1 =x| 0 vxv e,则 M n N=1 , 2.故选： A.2. (5 分) 函数f (x) =lnx-' 的零点所在的大致区间是 ()xA. ?: B. (1, 2) C. (2, 3) D. (e, +Q

11、e【解答】解：函数-? - 二z? ( 2) =ln2- 1 v0, f (3) =ln3-彳 >0,故有 f (2) f (3)v 0,根据函数零点的判定定理可得函数一二的零点所在的大致区间为(2, 3),x故选： C.3. ( 5 分)若 m, n 是两条不同的直线， a, B, 丫是三个不同的平面，下些说法 正确的 是( )A.若 m? B, a± B,贝 U m± aB.5m± B, m II a，贝 U a± BC.若 aGy=m BGY =n m II n，贝 U a/BD.若a± Y a±B,贝 U 江B【解答】解

12、：若m? B , a± B，则m与a平行、相交或m? a，故A不正确;第8页（共 20 页）若 m，a, m II B,贝 U a ± B,因为mIB根据线面平行的性质在B内至少存在一条直线与 m平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故B正确；若a I 丫 =mB I Y,=nm n,贝U all B或a与B相交，故C不正确；若a，Y, a, B,则丫与B相交或平行，故D不正确.故选B.r4. （5分）已知函数一丁 -' :' ,设则有()A. f (a)vf (b)vf (c) B. f (a)vf (c

13、)vf (b) C. f (b)v f ( c)v f(a) D. f (b)< f (a)v f (c)【解答】解：由复合函数的单调性可得函数f (x)在(-1, +x)上单调递增,不 i .-. .一1 ,因此 b >c>a, .? f(b)> f (c)> f (a).故选：B.5. （5分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图 2所示的几何体, 则该几何体的左视图为（A 1 BA 2 B【解答】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD i在右侧的射影是正方形的对角BC在右侧的射影也是

14、对角线是虚线如图B.故选B.6. (5分)一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB,然后每3分 钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，若该病毒占据64MB内存(1MB=210KB),则开机后经过()分钟.A. 45 B. 44 C 46 D . 47【解答】解：因为开机时占据内存 2KB,然后每3分钟自身复制一次，复制后所 占 内存是原来的2倍，所以3分钟后占据内存22KB,两个3分钟后占据内存23KB,三个3分钟后占据 内存24KB,故n个3分钟后，所占内存是原来的2n,1倍，则应有 2n+1=64X 210=216，二 n=15, 15X 3=45,故选：A.7(5分)若当

15、x? R时，函数f(x) =a凶始终满足Ov| f(x) | < 1,则函数y=logaI的图象大致为()【解答】解：？?当 x? R时，函数f(x)=孑凶始终满足Ov|f (x) | < 1 .因此，必有Ov av 1.先画出函数y=loga|x|的图象：黑颜色的图象.而函数y=loga|=-loga| x|,其图象如红颜色的图象.X故选B.8. (5分)在平面直角坐标系中，下列四个结论:每一条直线都有点斜式和斜截式方程; 倾斜角是钝角的直线，斜率为负数； 方程？与方程y+仁k (x- 2)可表示同一直线；x-2 直线l过点P (Xo, yo),倾斜角为90°则其方程为

16、x=x其中正确的个数为()A. 1 B. 2 C. 3 D . 4【解答】解：对于，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确;对于，方程-一 (XM2)与方程y+仁k (x- 2)(x? R)不表示同一直线,故错；对于，直线l过点P (xo, yo),倾斜角为90°则其方程为x=xo,正确;故选：B.9. (5分)如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R,把球放在在圆柱第15页(共20页)里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（第 # 页（共 20 页）第23页（共20页）【解答】

17、解：由题意，水的体积二二，.0 ± F h II, 3 abtTR?容器中水的深度h= = I-,7TR 上 3故选：C.10. （5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位m）,则该棱锥的 全面积【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为 2,底面边长为 2,故它们的面积皆为_丁 2,由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的 长度相等，为壮,将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为，同2监理可求出侧面底边长为_,可求得此两侧面的面积皆为

18、 唧二，故此三棱锥的全面积为2+2+ : +二一：，故选A.11.（5分）如图，正方体 ACi的棱长为1,过点A作平面ABD的垂线，垂足为 点H,则以下命题中，错误的命题是（）AD若关于x的方程f (x) 2+afW 1 (Q2)个不同实数根，则实数a的取值范围是（QQ 、T) D.【解答】解：依题意f （乂）在（-X,- 2）和 +x）上递减，当x二支时，函数取得极大值' 当x=0时，取得极小值0.要使关于x的方程f(x) +b=0, a, b? R 有且仅有 6)(0, 2)上递增，在(-2, 0)和(2,(x) 2+af (x) +b=0, a, b ? RA.点H是公AiBD的

19、垂心 B. AH垂直平面 CBDiC. AH的延长线经过点C D.直线AH和BB所成角为45【解答】解：因为三棱锥 A-AiBD是正三棱锥，所以顶点 A在底面的射影H是底面 中心，所以选项A正确；易证面AiBD面CBDi,而AH垂直平面AiBD,所以AH垂直平面CBDi,所以选项B 正确；连接正方体的体对角线 AG,贝尼在各面上的射影分别垂直于 BD、AiB、AiD等，所 以ACi，平面AiBD,则直线AC与AH重合，所以选项C正确；故选D.i2.（5分）已知函数y=f （x）是定义域为 R的偶函数.当x>0时，f （x）有且只有6个不同实数根,设t=f （ x）,则则有两种情况符合题意

20、:（1，且-?二此日a=ti+t2,贝 U (2) ti?(0'此时同理可得.综上可得 ,的范围是 故选答案C.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分若案填在答卷上.）口log 2_113. （5分）计算-一'I'，一.-一厂的结果是2 .【解答】 解：运算=1_ .厂;+ +lg2+lg5=1 - 0.4+0.4+1=2 .5故答案为2.14. （5 分）已知 4a=2, lgx=a，则 x=i【解答】解：V 4a=2,即 2a=1解得a， rTilgx=a,? x=-;,故答案为：.不15. （5分）过点（1, 2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程2

21、x- y=0或x+y - 3=0【解答】解：当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为 x+y=a,把（1, 2）代入所设的方程得：a=3,则所求直线的方程为x+y=3即x+y - 3=0;当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx,把（1, 2）代入所求的方程得：k=2,则所求直线的方程为y=2x即2x- y=0.综上，所求直线的方程为：2x- y=0或x+y - 3=0.故答案为：2x- y=0或x+y - 3=016. （5分）已知：在三棱锥 P- ABQ中，D, C, E, F分别是AQ, BQ, AP, BP的中 点，PD与EQ交于点G, PC与FQ交于

22、点H,连接GH,则多面体ADGE- BCHF的体积 与三棱锥P- ABQ体积之比是一.【解答】解 D, C, E, F 分别是 AQ, BQ, AP, BP 的中点,? EF/ AB, DC/ ABEF/ DC,又 EF?平面 PCD, DC?平面 PCD,二 EF/ 平面 PCD又 EF?平面 EFQ 平面 EFQH 平面 PCD=GH 二 EF/ GH,设三棱锥P-ABQ体积为V ,则Vp-dccfJ, , 丁 J ,5 三51 , 1?”?多面体ADGE- BCHF勺体积与三棱锥P-ABQ体积之比是匚故答案为：、三、解答题：(本大题共6小题，共70分喇答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

23、，并写在答题卷相应位置.)17. (10分)如图，在平行四边形 OABC中，点C (1, 3).(1)求OC所在直线的斜率；(2)过点C作CD，AB于点D,求CD所在直线的方程.9 C B4 ,Jr4 $ >0A x【解答】解：(1)v点O (0, 0),点C (1, 3),? 0的在直线的斜率为：.二-?g 1 "0(2)在平行四边形 OABC中，AB/ 0C,TCD ± AB)? CD± 0C.二CD所在直线的斜率为:.|?I CD所在直线方程为.,即 x+3y- 10=0.第27页(共20页)所在平面与三角形 CDE所在平面相交于CD, AE18. (

24、12分)如图，正方形ABCD，平面 CDE 且 AE=1 , AB=2.(I)求证：AB，平面ADE(U)求凸多面体ABCDE的体积.【解答】 证明：（I） : AE"面CDE CD?平面CDE ? AE ± CD,又在正方形 ABCD中，CD LAD, AEG AD=A? CD±¥面 ADE,又在正方形 ABCD 中，AB / CD,? AE!±¥面 ADE. ?（6分）解：（U）连接BD,设B到平面CDE的距离为h, : AB/ CD, CD?平面 CDE ? AB/评 面CDE,又AE，平面CDE?h =AE=t 又. ii &

25、quot;I：?凸多面体ABCDE的体积 V=Vb-(12分)+V19. (12分)已知函数为奇函数cX / 3+1(1)求a的值；(2)当OW x< 1时，关于x的方程f (x) +1=t有解，求实数t的取值范围;(3)解关于 x 的不等式 f (x2- mx)> f (2x- 2m).【解答】解：(1)v x? R,. ? .f (0) =0,.? .a=- 1 . (3 分)(2) v-? | . , ? < x< 1)A 2< 3X+1W 4 ；(5分)3Z+13X+1得<f(x)+l<l(7 分(8 分)(3) .|在R上单调递减，.(9分)

26、3s+1 22f (x - mx)> f (2x- 2m ) x - mx< 2x- 2m- . ( 10 分)x1 2-( m+2) x+2m<0 (x- 2) ( x- m)< 0- -. (11 分) 当m>2时，不等式的解集是x| 2<x< m当m=2时，不等式的解集是x| x=2 当mv 2时，不等式的解集是x|mw x<2- -.( 14分)20. (12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f (x)与投资金额x的关系是f (x) =kx, (f (x)的部分 图象如图1); 投资股票等风

27、险型产品 B的收益g (x)与投资金额x的关系是-:.-,:,(g (X)的部分图象如图2);(收益与投资金额单位：万元)r21 根据图1、图2分别求出f (x)、g (x)的解析式；2 该家庭现有10万兀资金，并全部投资债券等稳键型产品 A及股票等风险型 产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其 最大收 益为多少万元？【解答】解：(1)设投资为x万元，由题意，知 f (1.8) =0.45, g (4) =2.5;解得 kh, L, ? X x) = x, x>0. g (x)=工，x>0;（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品

28、 A投资（10 - x）万元,x> 0.记家庭进行理财投资获取的收益为 y万元，则y二：，设 =t,贝U x=t2, 0< t< -1-x/_1 ,5、2 , 65?-y=-n=,当t=,也即x=时，y取最大值二.2416答：对股票等风险型产品B投资 万元，对债券等稳键型产品 A投资一万元时,44可获最大收益H万元.1621. （12 分）如图，直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，AC ± BC, AC=BC=C （=2, M,分 别为AC, B1C1的中点.（I）求线段MN的长；（U）求证：MN 平面 ABB1A1；（川）线段CG上是否存在点Q,使A1B,平面M

29、NQ?说明理由.AJi【解答】解：（1）连接CN,因为ABC-AiBiCi是直三棱柱所以CG，平面ABC所以AC ± CG,（2分）因为AC，BC,所以AC，平面BCCB1.? （ 3分）因为 MC=1, CN=二,所以 MN=J . ;? - （4 分）（U）证明：取AB中点D,连接DM , DBi（5分）在公ABC中，因为 M为AC中点，所以DM / BC, DM=. BC.2在矩形B1BCC 中，因为N 为 B1C1 中点，所以B1N / BC, B1N= BC.第 19 页（共 20 页）所以DM / BiN , DM=BiN ?所以四边形 MDBiN为平行四边形，所以 MN / DBi.? （7 分）因为MN?平面ABBAi, DD?平面ABBAi 一 （8分）所以MN /平面ABBAi.（9分）（E）解：线段CG上存在点Q,且Q为CC中点时，有 AB,平面MNQ.- （ii分）