初等几何第四章妙趣横生的几何变换

1、第四章第四章 妙趣横生的几何变换妙趣横生的几何变换 早在1872年M.克莱因（Morris Kline，19081992）教授就在他的论文“关于近代几何研究的比较观察”中，把几何定义为在某种变化群下，研究图形的不变性与不变量的学科正是因为图形的不变性，才使图形变换在绘图、力学、机械结构的设计、航空摄影测量、电路网络以及日常生活中得到广泛应用.时至今日，几何变换的思想已经渗透到了中学的几何课程之中.应用几何变换的观点、思想与方法有效处理中学几何中的问题已成为了当今数学课程改革的一个新思路 4.1 图形的相等或合同图形的相等或合同 如果两个图形F和F的点之间具有一一对应关系，并且F上任意两点所确定

2、的线段与F上与之对应的两点所确定的线段总相等，那么图形F和图形F称为相等或合同 显然，图形的相等具有反身性，对称性和传递性 定理定理1 在相等的图形中，与共线点对应的仍是共线点 推论推论 直线的相等图形是直线 定理定理2 相等图形的对应角相等 图形的相等有两种情况. 在平面几何中，两个相等的图形F和F，对于F上不共线的任意三点A、B、C和F上三个对应点 A、B、C，如果我们让两双对应点重合，则第三双对应点或者重合，或者对称于重合直线 如果重合，两图形F和F 称为全(相)等，这时两图形的转向相同,如图 (1) 如果对称于重合直线 ，则称F和F 镜照相等，这时两图形的转向相反,如图(2)（1）（2

3、）两个全相等的平面图形，只要有两对对应点叠合，便完全叠合了两个镜照相等的平面图形，若不将其中一个离开平面，就无法叠合4. 2 平移和旋转变换平移和旋转变换 4.2.1 运动运动 所谓运动就是一个变换，把图形F的点变换为图形F的点，使任意两点间的距离(从而使角度)总保持不变，转向也保持不变 两个全等图形可用运动而叠合 将一图形变换为其自身使其每一点都不动的运动称为幺变换记作I. 设图形F经运动f变换为图形F ，则写作f(F)F 因为两个图形的运动是可逆的，所以称F到F的变换为f的逆(变换)，记作Ff -1(F ) 如果一个平面图形经过f1与f2两次一一变换，所得到的像与经过一一变换f3所得到的像

4、完全相同，我们就说f3是f1与f2的积，记作f3f2f1 这里，值得注意的是运动的先后顺序跟书写的先后顺序相反. 经过一个变换，没有变动位置的点和直线，称为这个变换的二重点(或不变点)和二重线(或不变直线)4.2.2 平移变换平移变换 设a是已知向量，T是平面上的变换如果对于任一对对应点P、P，通过变换 T总有 ， 那么T叫做平移变换，记为 T(a) , 其中a的方向叫做平移方向，|a|叫做平移距离. 由定义可知，平移变换由一向量或一对对应点唯一确定. 恒等变换可以看成是平移变换，其平移向量是零向量，即I=T(0). 在T(a)变换下，点A变为A，图形F变为F，可表示为PPa ()( ),TT

5、AA FF aa 平移变换具有下列性质： 性质性质1 平移是运动. 性质性质2 平移的逆是平移. 性质性质3 两平移变换的乘积仍是一个平移. 性质性质4 在平移变换下，直线l变为直线l，并且ll或者l与l重合 性质性质5 非恒等变换的平移没有不变点，但有无数条不变直线，它们都平行于平移方向.4.2.3 旋转变换旋转变换 设O为平面上一定点，为一个有向角，R是平面上的变换如果对于任一对对应点P、P，通过变换R总有OP=OP，POP=那么变换R叫做以O为旋转中心，为旋转角的旋转变换，记为R(O, ). 显然，旋转变换由旋转中心与旋转角唯一确定. 旋转中心相同，旋转角相差2的整数倍的旋转变换被认为是

6、相同的. 旋转角为零的旋转变换是恒等变换. 在旋转变换R(O, )下，点A变为A，图形F变为F，可表示为.(, )(, ),R OR OAA FF 旋转变换具有下列性质： 性质性质1 当旋转角180时，直线与其对应直线的交角等于 性质性质2关于同一旋转中心的两个旋转变换的乘积仍是一个旋转 性质性质3旋转变换的逆变换仍是一个旋转变换 性质性质4非恒等的旋转变换只有一个不变点旋转中心，当旋转角180时，旋转变换没有不变直线 特别地，旋转角为180的旋转变换称为中心对称变换或点反射，其旋转中心叫做对称中心 综上可知，平面上的运动有平移、旋转、以及它们的乘积4. 2.4平移和旋转变换的应用平移和旋转变

7、换的应用 根据已知图形的特点，对图形中部分元素施行某种变换，构成新图形，使得在新图形中容易发现已知元素与未知元素的关系.这里运用变换思想，实际上就是启发我们如何添置辅助线，以达到快捷解题的目的.例例1 P为平行四边形ABCD内一点，试证以PA,PB,PC,PD为边，可以构成一个凸四边形，其面积恰为平行四边形ABCD面积的二分之一P例例2有一条河，两岸有A、B两地，要设计一条道路，并垂直于河岸架一座桥.如何设计才能使A、B路线最短？ n 河 流 A B mEFA例例3 点P在正方形ABCD内，若PA:PB:PC=1:2:3，求APB的度数.例例4在ABC内有一点P，满足条件APB=BPC=CPA

8、 =120求证P是到三顶点距离之和最小的点 注注本例称为三角形的费尔马问题费尔马问题此题有多种证法，比较简洁的方法是运用旋转变换，将从一点出发的三线段适当变位，使它们首尾相连，处于同一条直线（或折线）上，再进行比较4.3 轴反射或轴对称变换轴反射或轴对称变换 4.3.1轴反射变换的性质轴反射变换的性质 l是平面上的定直线，S是平面上的变换，P，P是一对对应点如果线段PP被直线l垂直平分，那么S叫做平面上的轴反射或轴对称变换，记为S(l)，l叫做反射轴. 轴反射变换由反射轴和一对对应点唯一确定. 在轴反射变换S(l)作用下，点A变为点A，图形F变为图形F，可表示为:( )( ),S lS lAA

9、 FF 轴反射变换具有下列性质： 性质性质1 具有同一条反射轴的两个轴反射的乘积是恒等变换 注注 具有不同反射轴的两个轴反射的乘积不一定是轴反射变换 性质性质2 在轴反射S(l)变换下，反射轴l是不动点的集合，垂直于反射轴的直线是不变直线 性质性质3 设P为反射轴l上一点，A、A是一对对应点，则APA被l所平分.4.3.2 轴反射变换的运用轴反射变换的运用 例例1 (蝴蝶定理蝴蝶定理) 如图，AB是 O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q.求证求证 MP=QM例例2 A、B在直线l的同侧，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？

10、 A B l P Q4. 4平移、旋转、轴反射之间的关系平移、旋转、轴反射之间的关系 两个平移变换的乘积仍然是平移变换，两个同中心的旋转变换的乘积仍然是旋转变换，具有同一反射轴的两个轴反射变换的乘积是恒等变换. 问：具有不同反射轴的两个轴反射的乘积是什么变换？两个不同中心的旋转变换的乘积是什么变换？ 定理定理1 设 S(l1)、S(l2)是两个轴反射变换 (1) 如果l1l2，那么S(l2) S(l1)是一个平移变换； (2) 如果l1与l2相交，那么S(l2) S(l1)是一个旋转变换 定理1的逆命题也成立即 定理定理2 任何一个平移变换可以表示为两个反射轴平行的轴反射变换的乘积；任何一个旋

11、转变换可以表示为两个反射轴相交的轴反射变换的乘积 值得注意的是，由于第一条轴可以任意取，所以定理2中的分解方法并不唯一定理定理3 对于两个不同中心的旋转变换R(O1，1)、R(O2，2)，如果1+22k(kZ)，则R(O2，2） R ( O1， 1） 是 个 旋 转 变 换 ； 如 果 1+2=2k(kZ)，则R(O2，2)R(O1，1)是个平移变换 推论及例题自学。4.5 相似变换相似变换 4.5.1相似变换的性质相似变换的性质 一个平面图形到自身的变换 ，如果对于任意两点A、B，以及对应点A、B，总有 AB=kAB（k为正实数），那么，这个变换叫做相似变换，实数k叫做相似比相似比为k的相似

12、变换常记为H(k) 显然，当k1时，H(k)就是合同变换 在相似变换下，点 A变为点A ，图形F变为图形F，可表示为 此时，称F、F是相似图形，记为FF( )( ),H kH kAA FF 与合同图形类似，如果在两个相似图形上，每两个对应三角形沿周界环绕方向相同，则称这两个图形真正相似；如果对应三角形沿周界环绕方向相反，那么称这两个图形镜像相似 相似变换具有下列性质： 性质性质1相似变换的乘积仍然是相似变换 性质性质2相似变换的逆变换仍然是相似变换 性质性质3相似变换保持点与直线的结合关系，以及点在直线上的顺序关系不变 性质性质4在相似变换下，三点 所确定的线段之比保持不变 相似变换的其它不变

13、量还有：两直线间夹角的大小，两平面图形的面积之比，等等4. 5 .2 位似变换的性质位似变换的性质 位似变换是最简单、最基本的相似变换 O是平面上一定点，H是平面上的变换若对于任一对对应点P、P，都有 (k为非零实数)，则称H为位似变换，记为H(O,k)，O叫做位似中心，k叫做位似比OPkOP 由定义可知： (1) O，P，P共线； (2)OP=|k| OP； (3) 当k0时，P，P在点O同侧(此时O叫做外位似中心)；当k0时，P，P在点O异侧(此时O叫做内位似中心) 显然，位似变换H(O,1)就是恒等变换，而位似变换H(O,-1)是以点O为中心的中心对称变换 由于位似变换是相似变换，所以位似变换具有相似变换的所有性质.除此，位似变换还具有下列性质： 性质性质1 具有相同位似中心的两个位似变换的乘积，仍为位似变换 性质性质2 位似变换的逆变换仍为位似变换 性质性质3 在位似变换下，位似中心是不变点，过位似中心的直线是不变直线 性质性质4 在位似变换下，对应线段之比相等，对应角相等且转向相同，不过中心的对应直线平行(当k0时，同向平行；当k0时，反向平行) 性质性质5 两个不同中心的位似变换的乘积或者是位似变换(此时三个位似中心共线)；或者是平移变换(平移方向平行于两中心所在直线) 图（1）图（2） 4. 5.3 相似变换和位似变