(完整版)集合问题中常见易错点归类分析答案与解析

1、集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变？初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解.本文就常见易错点归纳如下：1 ?代表元素意义不清致误例 1 设集合 A= ( X, y)l X + 2 y= 5,B= ( X, y)l X 2 y=- 3,求 Al B .错解:x + 2y = 5由丿丫x 2y = 3x =1得丿y = 2从而 AIB=1 , 2.分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A、B中元素为点集，所以 A B= (1 , 2)例 2 设集合 A= y I y = x2 + 1, X ? R , B= x

2、 I y= ?. x + 2，求 APB.错解： 显然 A= y I ylB= x I y2.所以 AP B=B.分析错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y,从而A= yI y 1，但集合B中的元素为x,所以B= x I x 0，故AP B=A .变式：已知集合 A = y I y = x 2 1，集合B = y | x二y2，求A B解：A 二 y | y = x 21 = y | y _ 1 , B 二y|x 二 y2=RA B =y |y _1、 2 2例3设集合A=xx-6 = 0, B=x|xX-6=0，判断A与B的关系错解：A 二 B 二-2,3分析：某些指定的对

3、象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。元素的属性A中的元素属性是方程，集)A与B，集合A的元可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合合B中的元素属性是数，故A与B不具包含关系。例4设B= 1,2 , A= x|x? B，则A与B的关系是(A. A? B B . B? A C. A? B D . B? A 错解：B分析：选 D. ?/ B 的子集为1, 2, 1,2 , ?,? A x|x ? B = 1, 2, 1,2, ? ，从集合与集合的角度来看待素属性是集合，集合 B的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B与A,. B? A.评注：集合中

4、的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错.2忽视集合中元素的互异性致错例 5 已知集合 A=1, 3, a, B= 1, a2 a + 1 ，且 A=B, 求 a 的值.错解：经过分析知，若a2 a A3,则a2 -a-2=0,即a-1或a = 2 .若a2 -a ? 1 二 a,则 a2 -2a 7=0,即 a =1 .从而 a =1, 1, 2.分析 当a =1时，A中有两个相同的元素 1，与元素的互异性矛盾，应舍去，故1,2.R,求A中所有元素之和例 6 设 A=xl X + (b + 2)x + b+1 = 0,b错解：由 x2 +(b + 2)x +

5、 b+1 = 0 得(x+1) (x + b + 1)=0(1) 当b = 0时，x i = X2 - 1,此时A中的元素之和为一 2.(2) 当 b =0 时，x i + X2 =b 2.分析 上述解法错在(1)上，当b = 0时，方程有二重根一 1,集合A= 1,故元素之和为一 1,犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”.因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。3 .忽视空集

6、的特殊性致误例 7 若集合 A= x|x2+ x 6 = 0, B=x|mx+ 1= 0，且 B A,求实数 m 的值.错解：A= x|x + x 6= 0 = 3,2.? E=A,(1) B=好m灶1 = 0的解为一 3,1由 m- ( 3) + 1 = 0,得 m= 3 ;(2) B 二2m灶1 = 0的解为2,1由 nr 2+ 1 = 0,得 m= $;11综上所述，m =-或m =-32分析：空集是任何集合的子集，此题忽略了B =的情况。_ 2正解：A= x| x + x 6= 0 = 3,2.?/ BAA,(1) B =，此时方程 mx ? 1 = 0无解，.m = 0(2) B =

7、 -3m灶1 = 0的解为一 3,1由 m- ( 3) + 1 = 0,得 m= 3 ; B=2m灶1 = 0的解为2,1由 m- 2 + 1 = 0,得 m=;综上所述,2例 8 已知 A =x | x2 4x = 0 , B =x I x2 a的取值范2(a1)x a -1=0,若 BA，求围。解：A =x| x 24x =0二 4,0(1) B = ,: :=4(a 亠 1) -4(a -1) 8(a 亠 1) : :0，即 a : :-1 B = /，方程 x2 - 2(a - 1)x ? a21 二 0 有两等根一43 = 016 -8(a +1) +a 2 1 =0a = 1 得丿

8、a =1 或 7，所以无解A = 0a =由丿2得丿1，所以a = 1a 仁0 a= 1J(4) B = -4,0，方程 x22(a - 1)x ? a2 -1 = 0 有两不等根4,0 0|a -1由 4 +0 = 2(a +1)得4 , B=x|2a兰x兰a+3，若B匚A，求a的取值范围。解：(1) B = -, 2a a 3 得 a 3B =，则严3或? +3 c 1a乞3a 4得a 一 4或2 : a込3综上所述 a : :-4或a - 2例 10已知集合 A 二x| x ： -1 或 x 4 , B =x| 1 - a _ x _ 1 ? a，若 A B二：，求a的取值范围。解:(1

9、) B = :J，则a : 0，符合题意a 0(2) BH，则“ 一 a兰一 1= 0兰a兰2J + a v4综上所述，a空2变式：已知集合 A二x|x : a的取值范围。解：当B =：时，a乞2所以当A B “：时，a 2-1 或 x 4 , B =x|1 - a 岂 xA1 a，若 AB ?，求评注：对于任何集合 A,皆有A : = , AOAAAv的特殊性不容忽视.尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能 是空集这 种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘 了这个集合，导致 解题错误或是解题不全面。4?忽视端点值能

10、否取得致误例 11 已知集合 A= xlx4，或 xV 5 , B=xl a +14，解得 a w8,或 a 3.分析：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当a =-8时，不符合题意；当 a = 3时，符合题意，故正确结果应为a v8，或a 3.评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误.5?忽视隐含条件致误例 12 设全集 U= 2, 3, a2 + 2 a 3 , A= 12 a II, 2 , Cu A = 5,求实数a的值.错解：tCu A =5,. 5 S 且 5 A 从而，a +2 a 一 3 = 5,解得 a = 2,或 a

11、 =4.分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为u是全集，所以Au.当a =2时，12 a 11=3- S,符合题意；当 a =一 4时，12 a 1仁9一 S,不符合题意；故a = 2.评注：在解有关含参数的集合时，需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件6、忽视补集的含义致错1例13已知全集I二R，集合M二x|x2-x : : 0，集合N二x I丄空1，则下列关 x糸止确的是()A.B.C. M = 0AD. OiMIJN = R11错解：N =x| 1的补集为C|N =x| 冷，故选xx剖析：本题错误地认为A二x|f(x)空0的补集为C| A 二x| f(x) .0。事实上对

12、 于全集|=R，由补集的定义有AYCIA = R，但临缅U何兔)亦x| f(x)乞 0 TX| f (x) 0 =x| 使 f (x)有意义，x R，即为 f (x)的定义域。所以只有当f(x)的定义域为R时才有A二x|f(x)乞0的补集为CI A=:x|f(x)0，否则先求A,再求C| A。1X 1正解：N =x |1=x|0 =x |x ：0 或 x _ 1,所以 C| N =x I 0 _x :1,xx而M :=x|0 :x 1，应选A7、考虑问题不周导致错误例14已知集合A Mx|ax 2 4x A0,A R, a ? R只有一个元素，求 a的值和这个元 素。解：（1）a =0，由4x

13、 ? 4 =0得x - -1，此时A =-1符合题意a式0（2） 丿得a=1，此时A =-2符合题意也=16 16a = 0综上所述，a=0或a =1一、对代表元素理解不清致错。2 _ 2 例 1已知集合 A=y|y=x 2x,x? R, B=y |y =x +6x+16,xAR，求 a i B。错解 1:令 x2 -2x =x2 ? 6x 16,得 x - -2，所以 y =8,A B 二8。错解 2 :令 x2 -2x =x2 ? 6x 16，得 x 2，所以 y = 8，A B 二-2,8。剖析：用描述法表示的集合x|x p中，x表示元素的形式，X，p表示元素所具有的 性质，集合 （ x

14、,y） |y =f （x）,x ? R表示函数f （x）的图象上全体点组成的集合，而本题y|y=f（x）,x? R表示函数f （x）的值域，因此求 A . B实际上是求两个函数值域的交集。正解：由 A 二y |y =x 2 -2x,x R =y |y =（ x -1）2 -1二y|y 一 -1,B 二y |y =X2 6x 16, x R二y |y =（ x 3）27 =y |y _7,得 A . B =y|y _7。二、遗漏空集致错。例2.已知集合A =x I -2 _x _ 5， B =x | m ? 1 _x _ 2m - 1，若A = B，求实数 m的 取值范 围。错解：解不等式-2，

15、仁亦-仁5,得2乞m乞3。剖析：空集是特殊集合，它有很多特殊性质，如A二A,空集是任何 一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。本题错解是因考虚不周遗漏了空集，故研 究A = B时，首先要考虑 B=叮的情况。正解：若 B = : ?：，时，贝U m 1 2m _1,即m :2_2 兰 m +1,若B学时,贝【Jm+1A2m 1,即m兰2。由一1兰5得一3兰m兰3。所以2兰m兰 3。由知m的取值范围是(-二，3】。三、忽视元素的互异性致错。例 3.已知集合x,xy,lg(xy) =O,|x|,y,求 x y 的值。错解：由Xy 0，根据集合的相等，只有lg(xyA o, xy -1。所以可得

16、1 x = 1或|y 1 O殳=1=1X=-1, y=1所以 x y =2 或 x - y 二一21,这与集合中元素的互异剖析：当x =y二1时，题中的两个集合均有两个相等的元素性相悖。其实，当xy i时，集合x，1,0 =0，|x|，y，这时容易求解了。正解：舍去x =y二1，故x ? y _ -2。四、混淆相关概念致错。2 _ 2 2 例 4.已知全集 U=R 集合 A=x|x +4ax 4a+3 =0,x E R, B =x |x (a 1)x+a=0,x? R, C = x |x Zx-2a = 0,x ? R，若A B、C中至少有一个不是空集，求实数 a的取值范围。231错解：对于集

17、合A,当=(4a) 4(4a 3)-,得a或；2时，A不是空同理当时，B不是空集；当a -2或a 0时，C不是空集。求得不等式解集的交集是空集，知a的取值范围为门。剖析：题中“ AB、C中至少有一个不是空集”的意义是“A不是空集或B不是空集或C不是空集”，故应求不等式解集的并集，得五、忽视补集的含义致错。2N例5.已知全集I =R，集合M = x |x -X询,集合1 .=x 1 x 1,则下列关系正确的A M =CINB.C M =C |ND.N = x | 丄 1 GN =x I11错解：x 的补集为x，故选CO是(剖析：本题错误地认为A珂x |f (x)岂0的补集为C I A 二x|f (x) .0 O事实上对于全集I=R，由补集的定义有 ATC ia二R,但x|f(xW x|f(x) .0 = x|使f(x)有意义，R，即为f(x)的定义域。所以只有当f(x)的定义域为R时才有A二x|f(x)岂6的补集为 ci A 二x |f(x)否则先求A,再求CIA1X 1，所以 C| N 二 x | 空 x :1N =x | _0 =x | x c0 或 x 臭 1正解:xxM