概率统计课程第次作业参考解答

1、概率统计课程第次作业参考解 答作者:日期:第六次作业 参考解答 习题 2.1 P.75-77.15.设随机变量X的分布函数为0, x < 0;F(x) = < Ax2,0 < x < 1;L x> 1.试求：系数A；(2) X落在区间(03,0.7)的概率；(3) X的密度函数.解依题设可知，X为连续型随机变量.(1)连续型随机变量X的分布函数在(-8,+8)上 点点连续，有F(l-0) = F(l) = l,即Axl2=l,所以，A = l.(2)利用X的分布函数尸(x)得所求概率为P(0.3 <X< 0.7) = P(0.3 <X< 0

2、.7)二尸(0.7) 尸(0.3)= 0.72-0.32 =0.4.(3)由于在尸(x)的可导点处有：p(x) = Ff(x),i)当x v。或x > 1时、p(x) = F(x) =0；)当0 vx v 1 时，p(x) = Fr(x) =，)' = 2x ；/)当x = O或1时，尸不可导，但可不妨取p(0) = p(l) = 0 ,所以X的密度函数为p(x) =2x,0 < x <0,其他1;1316.学生完成一道作业的时间X是一个随机变量,单位为小时，它的密度函数为2(%) 二ex1 + x,0 <x< 0.5;0,其他(3)确定常数写出X的分布函

3、数;试求在20分钟内完成一道作业的概率;试求10分钟以上完成一道作业的概率.(1)由密度函数的正则性，得c 1=124 8 'f05 Z 2 , x J3 | 12x0.5J。(ex + x)dx = (x + x )所以。= 21.(2)由FOO=J：P力，得i)当x v。时，产(尤)=f p(t)dt - f Qdt - 0. J-XJ-X9z7)当v0.5时，产(x) =1p力 J-x=+ (21/ + t)dt = 7x3+jx2.Hi)当x»0.5时，F(x) = P p力J-xrOf0.5 cf+x= j0Jr + £ (21r2+06/f + 

4、3;_0Jr = l所以，X的分布函数0, % < 0;F(x) = < 7/ + 0.5x2,0 < x < 0.5;1, x > 0.5.(3)由X的分布函数/(x),得P(在20min内完成一道作业=P(0 < X < -)-F(1)-F(O)1754 :(4)由X的分布函数尸(x),得P(10min以上完成一道作业)=P(X > -) 6= 1-(71、H )216 72103而.习题 2.2 P.84-86.1.设离散型随机变量X的分布列为X202P0.40.30.3试求石X和E(3X+5).解由已知分布和期望定义，得 EX =-2x0

5、4 + 0x0.3 + 2x0.3 = -0.2.由随机变量函数期望的计算方法，得E(3X+5)=3x(-2)+5x0.4+(3x0+5)x0.3+(3x2+5)x0.3=4.4.或者，由期望的性质，得E(3X + 5) = 3EY + 5 = 3 x (-0.2) + 5 = 4.4.9.（此为思考题，同样提供参考解答）某人想用 10000元投资某个股票，该股票当前的价格是每股2 元，假设一年后该股票等可能的为每股1元和每股4 元。而理财顾问给他的建议是：若期望一年后所拥有 的股票市值达到最大，则现在就购买；若期望一年后 拥有的股票数量最大，则一年以后购买.试问理财顾问 的建议是否正确？为什

6、么？解本问题的判断依据是：用10000元投资购买该股票，通过比较今年买入和一年后买入两种买法的 相关指标的大小来判定理财顾问建议的正确性.从股票市值的期望值指标来看：投资10000元今年买入，得到5000股，记X二“今年买入，一年后这5000股的股票市值数”, 则X为离散型随机变量，且由于股票一年后的价格可 能是1元或4元，所以X的可能值为5000元，20000 元.并且X的分布列为X 500020000于是EX = 5000x1 + 20000x = 12500 （元）又如果是，不考虑原来的10000元的增值，一年 后投资10000元买入该股票，无论到时股票的价格是 1元或4元，买入后股票市

7、值都是10000元.再从股票数量指标来看：投资10000元今年买入，得到5000股.如果是，不考虑原来的10000元的增值，一年后 投资10000元买入该股票，记X二“一年后投资10000元买入该股票能买入的 股数”, 则X为离散型随机变量，且由于股票一年后的价格可 能是1元或4元，所以X的可能值为2500股，10000 股.并且X的分布列为X 2500 1OOOO于是EX = 2500x- + lOOOOx- = 6250 （股）根据以上数据，可判定理财顾问的建议是正确的.14.设随机变量X的密度函数为2记0 < x < 2; p(x) = J 8。，其他1 试求产的数学期望.解

8、记y=g(x)4,A1则广的数学期望为 AE(*) = EY = £g(X) = g(x)p(x)dx=5x |/dx=；习题 2.3 P.91-92.2.假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，如为不 合格品，则扔掉重新任取一只，如仍为不合格品则扔 掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合 格品只数的方差.解记X= "在取到合格品之前，已取出的不合格品只数”, 则X为离散型随机变量，其可能值为0, 1, 2.而利用 概率的古典方法和乘法公式容易求得X的分布列为X 01236454545由此，得EX = 0x + 145x45+

9、 2xE(X2) = O2454514x=45 15-于是，在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的方差为DX = E(X2)-(EX)2=-(1)2 =88405 6.(此为思考题，这里提供参考解答)试证：对 任意常数cwEX,有DX=E(X-EX)2 <E(X-c)Proof 由于£(X-E¥)2-£(X-c)2 =EX2 -2EX -X -(EX)2-E(X2 -2cX +c2)= E(X1)-2EX -EX +(EX)2 -E(X2) + 2cEX -c2= -(c-EX)2可见当CW EX时、E(X-EX)2 -E(X -c)2 =-(c-EX)2

10、 <0 ,即DX=E(X-EX)2 <E(X-c)2.12.设双的为随机变量X取值集合上的恒正不减函数，且£(g(O)存在，证明：对任意的£>。，有P(x>£)<£("(v) gProof先就离散型随机变量证明如下：设X的分布列为P(x =%,) = /?,/= 1,2, 则由已知，对£>。，当王>£>。时、有 g(%j)-g(£)>0.于是p(x>£)= £pi&ZXj>£Xi>£PiI -WO

11、-gM£(g(x)g再就连续型随机变量证明如下：设X的密度函数为，(X),则由已知，对£>0,当X>£>0时、有g(x)Ng(£)>。.于是/-Hof+xP(X > £)=p(x)dx < p(x)dx bJ£ gLg(x)p(xgE(g(X)g证毕.习题 2.4 P.104-106.3.某优秀射手命中10环的概率为0.7,命中9环 的概率为0.3.试求该射手三次射击所得的环数不少于 29环的概率.解记X= “该射手三次射击所得10环的次数”， 则由已知得X仅307),于是尸(该射手三次射击所得的环

12、数不少于29环)=P(X > 2)=P(x = 2)4- P(X = 3)= Cx0.72x0.3 + Cx0.73= 0.784.6.设随机变量X伏2,p),而随机变量yQ仅4,p）,若P（X21） = §,试求产（屋1）.Q解由X仇2,p）及P（XM = 6,得 y!=i-p（x=o）=i-（i-p）解之得,24p=1或p=3（不合，舍去）.2于是y仇4,1,从而p（y>i）=i-p（y=o）=i-c：（|）°（i-j）4=7. 一批产品的不合格品率为0.02,现从中任取40 件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收 这批产品.分别用以下方法求拒收的概

13、率：（1）用二项分 布作精确计算;（2）用泊松分布作近似计算.X = “从这批产品任取40件进行检查发现的次品数”,则X仅40,0.。2）,于是（1）用二项分布作精确计算，得P （拒收这批产品）=P（X > 2）= l_p（x=o）_p（x = l）= l-CjoxO.O2°x(l-O,O2)40 - x 0,02 1x(l-0.02)39= 0.1905.用泊松分布作近似计算：由于X6(40,0.02),这其中二40较大，p=0.02也较小，所以X近似服从人叩二 0.8的泊松分布，作近似 计算，得P （拒收这批产品）= P（X2 2）1-±k=O08»k=

14、 0.1912 (查表).9.（此为思考题，这里提供参考解答）已知某商场一天来的顾客数X服从参数7为的泊松分布，而每 个来到商场的顾客购物的概率为P,证明：此商场 天内购物的顾客数服从参数为沏的泊松分布.证明记Y= "此商场一天内购物的顾客数”, 则由全概率公式，有+OCP(Y = k) = £p(x = i)P(Y = kx = i) i=k(")攵宁口(1 Mlk e h D!= (We-A(l-p)k=平6一即，左=0,1,2, .可见,y尸（斗）.15.（此为思考题，这里提供参考解答）某产品的不合格品率为0J，每次随机抽取10件进行检验，若 发现其中不合格品数多于1,就