牛顿莱布尼兹公式

1、18.2 牛顿莱布尼兹公式若用定积分定义求badxxf)(，一般来说是比较困难的。是否有较简便的方法求badxxf)(？下面介绍的牛顿莱布尼兹公式不仅为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。证成：莱布尼茨公式，它常写称为牛顿上可积，且：在则即上连续，且存在原函数在若函数定理).()()()().()()(,),()(),(,1 . 9aFbFxFdxxfaFbFdxxfbafbaxxfxFxFbafbababa2公式使用说明：便是多余的条件。的假设定理中对存在原函数的定理后，）、在学习连续函数必则公式仍成立。续，且除有限个点外有上连在上可积，在同时减弱为：与

2、）、若定理中的公式仍成立。，这时上可积（不一定连续）的要求可减弱为：在）、对不影响定理的证明。）内可导，且：上连续，在（的要求可减弱为：在）、对弱，如：定理的条件还可适当减、求出。可由的原函数失效。即公式求数，否则使用的原函数必须是初等函时，在应用公式求、FxfxFbaFbaffFbafxfxFbabaFdxxfxFxfdxxfxfdxxfbaba4),()(,3,2).()(,12)()()()()()(13dxxxxdxbadxxdxeNndxxbabaxban202024)5,sin)4).01)3,)2),(11、（、）、积分莱布尼茨公式求下列定利用牛顿、例 利用定积分的定义可求某些数

3、列的极限：若待求极限的数列通过适当的变形，能化成某一函数在某一区间上关于某一特定分割的积分和时，则可用定积分的定义来求数列的极限。解用定积分的定义求极限、例nnnn212111lim243 可积条件一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节所要讨论的的主要问题。一、可积的必要条件界的。时，总是假设函数是有以下讨论函数的可积性可积的充分条件二、充分。可积的必要条件，但不由此可见，有界是函数上有界，但不可积。，在，）（狄利克雷函数定可积。如：注意，有界函数却不一数一定是有界的，但要定理指出，任何可积函证上一定有界。在上可积，则在若函数定理 10, 01,2 . 9QRxQxxDbafbaf5

4、1.1. 思路与方案思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无关的条件 。Ti 方案: 定义上和 和下和 ，研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 2.2. 达布和达布和: 1,2, , , sup( ),inf( ),1,2, .iiiiiixxTina bfa bMf xmf xin 设为对的任一分割，由 在上有界，它在每一个上存在上、下确界：)(TS)(Ts611(),()nniiiiS TMs TmfT作和分别称为 关于分割

5、的上和与下和（或称为达布上和与达布下和，统称为达布和）由达布和定义可知，达布和未必是积分和 .但达布 和由分法 唯一确定. 则显然有：1( )( )( )(1)0 , 231236niiis TfxS TTfa bP由此可见，只要通过上、下和当时的极限就揭示 在上是否可积了。所以可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的。（有关上、下和性质的详细讨论参见课本）7119.3 ( , 0( ).,( ),9.3 , 0.iiiiniiiniiifa bTS Ts TMmfS Ts Txfa bTx定理可积准则）函数 在上可积的充分条件是：任给，总相应的一个分割 ，使得：（ ）设称为在上的振幅，这样

6、 （ ）因此可积准则改写为：定理函数 在上可积任给，总相应的一个分割 ，使得：证上必可积。在上的单调函数，则是区间若定理证上必可积。在有界函数，则上只有有限个间断点的是区间若定理证上必可积。在上连续，则在若定理的函数必是可积的。可以证明下面三种类型根据可积的准则，我们可积函数类三、较方便。证明有界函数的可积性常用定理了。可积性来说，简单得多极限来判定有界函数的是否存在无关，这相对于用讨论而与复杂的，与上的可积性，只依赖于函数在由定理可知，讨论有界,6.9,5.9,4.93.9)(lim)()()(,101bafbafbafbafbafbafxfxfTsTSbainiiTinii8证上必可积。在

7、上的单调函数，则是区间若定理证上必可积。在有界函数，则上只有有限个间断点的是区间若定理证上必可积。在上连续，则在若定理的函数必是可积的。可以证明下面三种类型根据可积的准则，我们可积函数类三、较方便。证明有界函数的可积性常用定理了。可积性来说，简单得多极限来判定有界函数的是否存在无关，这相对于用讨论而与复杂的，与上的可积性，只依赖于函数在由定理可知，讨论有界,6.9,5.9,4.93.9)(lim)()()(,101bafbafbafbafbafbafxfxfTsTSbainiiTinii9定理9.6说明，单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性。思考题：1、闭区间上仅有一个间断点的函数是否必可积 ？2、闭区间上有无穷多个间断点的函数是否必不可积 ？3、闭区间上的单调函数是否必可积 ？例2 上可积。，在证明： 1