中考圆专题复习研究

1、2011中考复习圆知识及典型题归纳、【知识要求】内容子维度能力维度了解理解掌握灵活运用圆的有美概念圆的有美性质V弧、弦、圆心角、圆周角的关系V点与圆的位置关系V直线与圆的位置关系V圆与圆的位置关系V圆的切线的性质及证明V弧长、扇形面积、圆锥侧面积V、【内容分析】1、圆是对初中几何的综合和提升，历年来圆都在中考中占有很大的比例，虽然近几年对圆的考 查要求有所降低，但仍有一定难度；2、掌握垂径定理、圆周角定理及推论，解决与圆有关的线段、角度的计算；3、识别和判断与圆有关的位置关系；4、弧长、扇形面积、圆锥侧面积的计算；5、掌握切线的证明方法，在复杂的几何图形中寻找出基本几何图形，结合全等、勾股定理

2、、相 似、三角函数等知识进行相应的计算 .三、【考点解读】1、与圆有关位置关系的判定；2、与圆有关的计算，重点是考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理，并能综合运用勾股定理、 三角函数、全等、相似等知识；3、与圆有关的证明，重点是切线的证明，注意与圆有关的角的转化；注意在图中去发现寻找基 本图；4、圆常见辅助线的作法：（1）作弦心距；（2）直径所对圆周角；（3）连接圆心和切点四、【试题分布】1、圆中角度、线段计算、位置关系的判定多以选择题出现2、圆的证明与综合计算分布在第22题.五、【例题分析】（一）与圆有关位置关系的判定例1、如图，是一个五环图案，它由五个圆组成.下排的两个圆的位置关系是（）（

3、A）内含.（B）外切.（C）相交.（D）外离.例2、。1和。O2的半径分别为3、r,两圆的圆心距 d = 8,若。Oi 和OO2外离，则r满足（）（A） r>5（B） 0<r< 8（C） r = 5（D） 0vrv5【评析】：主要考查与圆有关位置关系：（1）点与圆；（2）直线与圆；（3）圆与圆.判断方法：利用距离与半径的大小关系；也可通过观察公共点的个数来判断（二）与圆有关角度、线段计算例1、如图1 ,在。中，弦BE与CD相交于点F, CB、ED的延长线相交于点 A ,若 /A = 30°, / CFE = 70°,则/ CDE 的度数为（）A. 20&#

4、176; B. 40° C, 50° D. 60°例2、如图2,点D是线段AB、BC的垂直平分线的交点，若/ ABC =50°,则/ ADC的度数是（）A . 100° B. 115° C. 130° D, 150°例3、如图3,以正方形ABCD的AB边为直径作。O,过点C作直线切。于F,交AD于E,若4CDE的周长为12,则直角梯形 ABCE的周长为（）A. 12 B. 13 C. 14 D. 15例4、如图4, ABC的外接圆。的半径为1, D、E分别为AR AC的中点，则sin / BAC的值等于线 段（）A

5、 . BC的长 B. DE的长C. AD的长 D. AE的长例5、如图5,已知。的半径为1,锐角 ABC内接于。O, BDLAC于点D, OMLAB于点M,则 sin / CBD的值等于（）A. OM的长B.2OM的长C.CD的长 D.2CD的长.【评析】：（图4）（图5）（1）圆中角度计算问题主要考查圆周角定理及其推论，注意在圆中转化角的基本方法：由角到弧，由弧到角；（2）圆中线段计算问题主要考查垂径定理，注意通过弦、弦心距、半径或直径所对圆周角构造直角三角形，以及解直角三角形等知识解决问题;(3)圆与三角函数的结合，主要借助圆将相应的角度、线段加以转化和集中，常借助直径所对圆周角，垂直弦于

6、半径构造直角三角形，从而解决角的三角函数问题，综合性较强(三)面积、弧长计算例1、圆锥的底面半径为 3cm,母线为9cm,则圆锥的侧面积为()A. 6 jcm2B. 9 xm2 C. 12 元m2D. 27 jcm2例2、如图，梯形ABCD中，AD / BC, Z D = 90°,以AB为直径的。O 切CD于E点，交BC于F,若AB =4cm, AD = 1cm,则图中阴 影部分的面积是cm2.【评析(1)主要考查学生对圆中弧长公式，面积公式，圆锥侧面展开图面积的运用;(2) 一般涉及与圆在关的面积问题时需将阴影部分中的弧转化到其所在的扇形中解决(四)切线的证明与计算EB例1、如图，

7、RtAABC中，/ ABC =90°,以AB为直径作。交AC边于点D, E是边BC的中点，连接DE.(1)求证：直线DE是。O的切线；(2)连接OC交DE于点F,若OF = CF,求tanZ ACO的值.A例2、如图，已知 ABC,以边BC为直径的圆与边 AB交于点D,点E为BD 的中点，AF为4ABC的角平分线，且 AFXECo(1)求证AC与。相切；(2)若 AC = 6, BC = 8,求 EC 的长。【评析】：(1)切线的证明作为圆中一个最重要也是最基本的证明，是中考的传统保留题，从近几年中考来看,切线的证明难度不大.已知直线与圆公共点类：连圆心与公共点，证明半径与直线垂直；

8、不知直线与圆公共点类：过圆心作直线的垂线，证垂线段等于半径(2)在切线的证明中，应多注意圆中角的方法：半径所对圆周角；同弧所对圆周角与圆心角间的转化；利用平行线、全等三角形等知识构造角度的关系;.主要考查学生的化(3)在计算中，一般涉及求具体线段长，线段比值，图形面积，锐角三角函数归思想、方程思想；而问题往往需由半径解决,可结合全等三角形，相似三角形，解直角三角如图1,若P是圆内接正三角形如图2,若P是圆内接正四边形如图3,若P是圆内接正五边形若P是圆内接正n边形AiA2A33人的外接圆的A2A3上一点，请问PA2PA与PA又有怎样的数量关系，写出结论，不要求证明形等知识构造出含半径的直角三角

9、形解决问题；同时要掌握一些基本图形的转化方法(五)圆中的综合证明 例1、盼盼同学在学习正多边形时，发现了以下一组有趣的结论:ABC的外接圆的弧 BC上一点，则 PB PC PA;ABCD的外接圆的弧 BC上一点，则 PB PD /2PA ;ABCDE的外接圆的弧BC上一点，请问PB PE与PA有怎样的数量关系，写出结论，并加以证明;综合运用圆的相关性质、定理以及全等、相似、图形的变换等知识解决较为复杂的几何问题；将圆与正多边形、动态几何问题结合于在体，重在考查学生综合运用的能力，类比分析能力，以及由 特殊到一般的思想方法.六.【习题归类强化训练】圆的基本性质、点与圆的位置关系1 .决定圆的大小

10、的是圆;决定圆位置的是.2 .在RtAABC中/ C=90O,AC=4,OC=3,E、F分别为AO AC的中点，以O为圆心、OC为半径作圆，点E 在。的圆，点F在。的圆.3 .如图;AB、CD是。O的两条直径,AE / CD,BE与CD相交于P点,贝U OP : AE=4 .经过A、B两点的圆的圆心在 ，这样的圆有 个.5 .如图;AB 是直径,AO=2.5,AC=1.CD LAB,则 CD=.6 . 一已知点到圆周上的点的最大距离为m最小距离为n则此圆白半径 .7 .有个长、宽分别为 4和3的矩形ABCD现以点A为圆心，若B、C D至少有一个点在圆内，且至少 有一个点在圆外，则。A半径r的范

11、围是.8 .。的半径为15厘米，点O到直线l的距离OH=9厘米,P,Q,R为l上的三个点，PH=9厘米,QH=12厘 米,RH=15厘米，则P,Q,R与。的位置关系分别为 .9 .若点A(a,-27)在以点B(-35,-27) 为圆心，37为半径的圆上,a=.10 .在矩形ABCD43 ,AB=8,AD=6,以点A为圆心作圆，若B,C,D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点 在圆外，则。A的半径R的取值范围是11 .在直角坐标系中，。的半径为5厘米，圆心。的坐标为(-1,-4),点P(3,-1)与圆O的位置关系是.12 .如图。是是等腰三角形 ABC的外接圆，AB=AC,D是弧AC的中点，已

12、知/ EAD=11，求/ CA疏度数。13 .已知。的直径为16厘米，点E是。内任意一点，(1)作出过点E的最短 的弦；(2)若OE=4厘米，则最短弦在长度是多少？14 .如图7-4,已知在 ABC中，/ CAB=90 , AB=3厘米，AC=4厘米，以点 A为 圆心、AC长为半径画弧交 CB的延长线于点D.求CD的长。任意四边形各外角在15 .试问：任意四边形的四个内角的平分线相交的四个点在同一个圆上吗？又问:平分线所相交在四边形在同一圆上吗？为什么？16 .如图7-6, AB是。的直径，弦 CDLAB于点P, (1)已知 CD=8厘米，AP:PB=1:4，求。的半径; (2)如果弦 AE交

13、CD于点F。求证：AC2=AF?AE.图7-617 .已知四边形 ABC虚菱形，设点E、F、G H是各边的中点，试判断点E、F、G H是否在同一个圆上，为什么？又自 AG BD的交点O向菱形各边作垂线，垂足分别为 M N、P、Q点，问：这四点在 同一个圆上吗？为什么？18 .。中有n条等弦AB、AR、？?？AnBn,它们的中点分别是 R、P、？?？Pn,试问：P、P2、？?？注这n 个点在同一个圆上吗？请证明你的判断。又若。上有一点A自点A引n条弦AB1、AB、？AnBn,若它们的中点分别为 Q、Q、？Q,试问：Q、Q、？Q,这n个点在同一圆上吗？请证明你的 判断。二、垂径定理19 .。中等于

14、1200劣弧所对的弦是12 的厘米，则。的半径是厘米.20 .过。o上一点A,作弦AR AG分别等于该圆的半径 R,连结BG则点。到BC的距离=,BC=_>21 .如图7-7,在。中，弦AB=2a,点C是弧AB的中点，CDL AB,CD=b，则。的半径R=22 .如图7-8 , ABC皿。的内接矩形，边 AB平行y轴，且AB： BC=3： 4,已知。O的半径为5,圆 心O的坐标是(10, 10),矩形四个顶点 A B、C D的坐标是 A;B;C;D.23 .在OO中，弦AB=40厘米，CD=48厘米，且AB/ CD,AB与CD距离是22厘米，则圆的半径为 厘米24 .四边形ABCD。的内

15、接梯形，AB/ BC,对角线AG BD相交于点E.求证：OE平分/ BEC.AE BF25 .如图 7-9,在。中，已待 AC=BD求证：（1） OC=OD;（2）图7*926 . OQ与。Q相交于点A、B,过点B作CD/OQ，分别交两圆于点C、D.求证:CD=2OQ27 .如图7-10, OO> OQ是两个等圆，点 P是OQ的中点，过点 P的直线交。O、。Q于点A、B、C D=求证：AB=CD.图 7-1028 .如图7-11 ,。的半径为5, P是圆外一点，PO=8 /OPA=30,求AR PB的长。29 .如图7-12,圆管内，原有积水平面宽CD=10厘米，水深 GF=1厘米，后水

16、面上升 1厘米（即EG=1厘米），问：些时水面宽 AB为多少？S 7-1230 .在。的弦AB上取AC=BD过点 C D分别作 AB的垂线 CE DF交圆于点 E、F,并使E、F在AB 的同旁。求证： CE=DF.31 .如图7-13 ,在。O的直径 MN上任取一点巳过点P作弦AG BD,使/ APN=Z BPN.求证：PA=PB.B图M332 .AB、CD是。的两条相交于点 P的弦，且 AB=CD又点E、F分别是 AR CD的中点，求证：PEF 是等腰三角形。33 .如图7-14, AB是半圆。的直径，CD是弦，AE± CD,BF± CD,点E、F是垂足，若 BF交半圆于

17、点 G,求证：(1) EC=FD;(2) AC DG34 .如图7-15,在 ABC中，AB=AC以点A为圆心、小于 AB长的线段为半径作圆交 BC于0 E两点 (但半径必须大于 BC边上的高)。求证：BD=EC.35.如图7-16 ,已知在。中，ab cd , BA DC延长后相交于点 E,求证：(1 )OE平分/ BED;(2)EA=EC.36.如图7-17, AB是。的直径，割线l交。于点M和N, AC! l ,且交。O于点E, BDL l，点C D是垂足。(1)求证：OC=OD(2)若AB=10厘米，AC=7厘米，BD=1厘米，求OC的长。37 .点P是。外一点，PAB PC皿别交。于

18、点A、B和点 C D,求证：(1)若AB=CD则PA=PC (2) 若 PA=PC 贝U AB=CD.38 .如图 7-18, AB为。的弦，取 AG=BH/DGBh FHA,求证：CD=EF.39 .如图7-19,。半径为10厘米，G是直径AB上一点，弦 CD经过G点，CD=16厘米，过点 A和点B分别向CDI垂线段AE和BF.问：AE-BF是多少？40.AB为。的弦，C、D在AB上，且AC=CD=DB,OCT OD的延长线分别交。于点E、F.求证：(1)/AOCh BOF; (2) /COD* AOC; (3)八匚 DCAE BFEF41.如图7-20 ,点B C三等分半圆直径 EF,点A

19、在这个半圆上。求证:42.如图7-21 ,已知。内两条弦 AR DC的延长相交于点 P,且/ P=90O求证:图 7-20Saoae=Saobc图 7-21三、圆心角、圆周角43.如图7-22 ,设。的半径的为 R,且AB=AC=RM/ BAC=图 7-2344.如图7-23, AB为。的弦，/ OAB=75 ,则此弦所对的优弧是圆周的 47.如图7-26 ,点。是 ABC的外心,已知/ACB=106 ,则劣弧AB所对白V AOB=度。48.如图 7-27 , AB是。的直径，Cg AB相交于点 E, / ACD=60 , / ADC=50,贝U/ AEC=度。A=32018，以点C为圆心、B

20、C为半径作圆，交 AB于点D,交AC于点E,则BD的度数是46.如图7-25,在 ABC中，/ C是直角，/图 7-2345.如图 7-24 , (1) /图 7-24图 7-2749.如图7-28,以等腰 ABC的边AB为直径的半圆，分别交 AC BC于点D> E,若AB=10, /OAE=3(O, 贝U DE=A O 3图7350 .在锐角 ABC中，/ A=50O ,若点。为外心，则/ BOC=若点I为内心，则/ BIC=;若 点H为垂心，则/ BHC=.51 .若 ABC内接于。O, Z A=nO ,则/ BOC=.52.如图7-29 ,已知AB和CD是。O相交的两条直径，连AQ

21、CB那么 和的关系是(B)(C)(D)=2(A)53.如图7-30 ,在。O中，弦AG BD交于点E,且AB,若/ BEC=130,贝U/ ACD勺度数为BC CD图 7-30O (C)80 O(D)105 OCD! AD,若 CD=2,AD=3,求 AB的长。54.如图7-31 , AB为半圆的直径， ADLAB,点C为半圆上一点,55.如图7-32 , AOL BO,AO交O O于点D, AB交。O于点C, / A=27O ,试用多种方法求 Dc、Bc的度56 .求证：如果 AB和CD为。内互相垂直的两条弦，那么/ AOC/ BOM补。57 .如图7-33,设AB是。的任意直径，取 AO上

22、一点C,若以点C为圆心，OC为半径的圆与。O相交于点D,DC的延长线与。O相交于点E,求证：BE 3ADffi 7-1358 .如图7-34 , AB为。的直径，OCL AB,过点C任引弦CDCE分别交AB于点F、G。求证：CEN CFG.图 7-3459 .如图7-35,设点P是。O的直径AB上的一点，在 AB的同侧由点P到圆上作两条线段 PQ PR若 ZAPQ=Z BPR求证： AP6 RPB.图 7-3560.如图7-36,在 ABC的外接圆中，若/ B、/ C所对弧的中点分别为点 P、Q.求证：直线PQ与AR AC相交成等腰 ADE若4ADE为等边三角形，求证：弧Bc的长等于该圆周长的

23、三分之一。图 7-3661.如图7-37, AB是。的直径，CDLAB,AD DB是方程x2-5x+4=0的两个根，求 CD的长。图 7-3762.已知 A B、C为圆上三点， ab ： bc ： ca =3 : 2 ： 1,BC=5厘米，求弦 AR AC的长。63.已知AB是。的直径，C为半圆上一点，连 CA CB,M为AB上的点，且 MB=3,过点M作MNL AB,交BC于点N,MN=73 ,BC=7 J3 ,求。的半径。AD2=CD?DE; (2)若64.如图7-38, AB是。的直径，D是AB的中点，CD交AB于点E, (!)求证:AC=J6 ,BC=V3，求 BE 的长。D图 7-3

24、865.如图7-39, 4ABC的高AD BE交于点 M延长 AR交 ABC外接圆于点 G,求证：D为GM的中点。图 7-3966.如图7-40 ,以AB为直径的半圆上任取两点M和C,过点M作MNL AB,交AC延长线于点E,交BC于点F.求证：MN是NF和NE的比例中项。力 耳B图 7-4067 .如图7-41 , ABC为圆内接三角形，AP为直径，H为垂心，求证：/ BHC= / BPC.68 . 4ABC内接于。O, AHL BC,垂足为H,AD平分/ BAC D在圆上，求证： AD平分/ HAO.69 .AB、AG AD是同一圆O的三条弦，且 AC平分/ BAD,自点C向A®

25、 AD作垂线，垂足分别为 E、F. 求证：DF=BE.70 .已知AB是。的直径，OC是垂直于AB的半径，过 Ac上一点P作弦PE,分别交OC Be于点口E,若 PO=PD#证：/ AOP=1 Z BOE.371 .C是。O的直径AB上的一点，过点 C作弦DE,使CD=CO<证：BE 3AD72 .已知AB是O O的直径，P是OAJ一点，C是。O上一点，求证：PA<PC<PB.73 .如图7-42,在。O中，AR CD互相垂直的两条直径，过点C任作两条弦CF、CE,交AB于点HCFEFCGGHG求证:ffi 7-4；74 .如图7-43 ,在 ABC中，/ A=90O,AD，

26、BC,BE平分/ ABC,由A D E三点确定的圆，交 BE于点 M, 求证：BM=MD=FM.75 .如图7-44,已知。O与。相交于点 A B,点P是。O上的一点，引割线 PAG PBR交于点 C D,连结CD> (1)作PEI CD,求证：PE必过。O的圆心 Q (2)连结PQ 求证：PO必垂直于 CD.图 7*4476 .如图7-45,两圆相交于点 A、B,过点A引割线ACD交一圆于点 C,另一圆于点D,又点G为CD的 中点，直线GB义两圆于点E、F.求证：四边形 EDFB平行四边形。图 7-4577 .如图7-46,设AB是。上的两定点，且不是直径的两端点，若过点 A的任意弦A

27、C与过A B O 三点的圆相交于点 P.求证：PB=PC.图 7-4678 .设16为90O的弧，点B、C将前5三等分，连AD与半径OB OC分别交于点E、F.求证：AE=DF=BC79 .证明下列各题：(1)已知 ABC内接于。O, AD± BD于点D, AE是直径，求证： AB?AC=ADAE;(2) 已知 ABC内接于。0, / BAC的平分线交 BC于点D,交。于点E,求证：AB?AC=AD?AE;(3) 已知 ABC内接于。0, AB=AC过点A的任一弦 AE交BC于点D,求证：AB ?AC=ADAE80 .设锐角 ABC的各顶点向对边作垂线AD BE、CF,垂足分别为点

28、H E、F,并延长AD BE CF各 ABC的外接圆分别交于点 P、Q R.求证： ABC的垂心是 PQR勺内心。81 .在 ABC中，AB=AC,过A点直线与 ABC外接圆交于点E,与BC的延长线交于点 D。求证：AD-AC2=AC?ED82 .如图7-47,已知。O的直径AB垂直弦CD,垂足为G,F为CD延长线上的一点， AF交。O于点E。求 证：AC2=AE?AF83 .如图7-48, AB是。的直径，半径 OCLAB,D为4C上任一点，E为BD弦上一点，且 AD=BE求证: CDE为等腰直角三角形。84 .如图7-49,等边 ABC的外接圆日匚上任一点P, CP的延长和AB的延长线交于

29、点 D,求证：(1) / D=Z CBP; (2)AC 2=CP?CD85 .。的直径BE与弦AC互相垂直，垂足为点 F,延长AB到点D,使BD=AB,已知BE=20厘米，AB=11 厘米，求CD的长。86 .如图7-50,四边形 ABCg接于。O, ACL BD,垂足为点E, 靛：阮；二3 ： 1 ,DF 交 AC于点 G,且 AF?AB=AGAE,BE=2,ED=3,(1)求证： AF® DFB;(2)求：S四边形 abcd的值；(3) 求sin / ADC的值87 .点P为正方形ABCDB勺外接圆上的任意一点，连结 PA PBk PC.求证：PA PC的值为常数。 PB88 .

30、如图7-51 ,六边形 AGBHCKJ接于。0, O I内切于 ABC；点D E、F为。I与 ABC各边相切的 切点，若/ EDF=65O, /DEF=6CO,求/ G / H、/ K 的度数。H 7*5189 .如图7-52, ABC内接于。O, / BADhCAD,DE/ AB,DE交AC于点P。求证：(1) OD垂直平分 BC; (2)AC=DE; (3)PO 平分/ APD.图7d总90 .AB是。的直径，CD是此圆内长度一定的动弦，自点A、B分别向CD所在的直线作垂线 AH BKH K为垂足。（1）若点C、D在AB的同旁，问：AH + BK的值会变化吗？为什么？ （2）若C、D在AB

31、的两侧，问： AH BK的值也会变化吗？并证明你的结论。91 .已知以AB为直径的半圆上有 C、D两点，/ DCB=120, Z ADC=105O,CD=1.试求四边形 ABCD勺面积。92 .已知AR CD为圆O的两条互相垂直的直径，P为半圆 面上的一点，求证：c_1灯S 四边形ADPCAP2四、圆的内接四边形93 .圆上四点，A B C、D分圆周为四段弧， 诵：正：而：加=123:4,则圆内接四边形的最大内角为94 .在锐角 ABC中，三条高AR BE、CF相交于点H,在该图中，四点共圆共有 组。95 .如图7-53,四边形 ABCD正方形，点 P是AC上的任一点，过点 P作EF/ BC,

32、交AR CD于点E、 F,过点P作GH/ AB,交BG AD于点 G H.在该图中，四点共圆共有 组。国 7*5396 .如图 7-54,在梯形 ABCD43, AB/ DC,AD=DC=BC/ADC=138O，比梯形外一点，若点 E在梯形 ABCD 的外接圆上，则/ AEB=£.ACr *c图74497 .如图7-55,在梯形 ABCM, AD/ BC,过B、C两点作一圆，AR CD的延长线交该圆于点 E、F。求 证：A D、E、F四点共圆。图 7-5598 .在 ABC中，Z A=6CO, BD CE是/ ABC / ACB的平分线，它彳门相交于点 I。求证：A E、I、D四 点

33、共圆。99 .在梯形ABCD43, DC/ AB,过DC作圆，交BC于点E,交AD于点F,求证：A、B E、F四点共圆。1CC.如图7-56 ,在 ABC中，AD=AE,BE与C法于点P,DP=EP,求证：B、C E、D四点共圆。101 .从圆内接四边形 ABCM顶点C,作对角线BD的平行线，交AD的延长线于点E,求证：DE?AB=BCCD.102 .证明：钝角三角形三边中点与夹钝角一边上的高的垂足共圆。103 .如图 7-57 ,在 ABC中，AB=AC,ADL BC, / 1 = /2=/3,CE 交 AB于点 G,连 GF.求证：（1） G F、 C B 四点共圆；（2） GF/ BE.

34、图 7-57104 .如图7-58,在 ABC中，/ C=90O,BD是/ CBA的平分线，BE为 ABD外接圆的直径，求证:CD BDDA BE图 7-5B105 .在 ABC中，AD)± BC,点。在AD上，以点。为圆心、OA为半径白圆交 AR AC于点F、E.求证：F、 B C、E四点共圆。106 .在四边形 ABCN, ACL BD,AC与 BD相交于 O,OML AB,ON BC,OP5± DC,OQLAD 求证：M N. P、Q四点共圆。107 .如图7-59 ,在。ABCD43, E是对角线 BD上的一点，EC! BC,EF± AB,又FG交DC的延

35、长线于点H.求证：E、G H、D四点在同一个圆上。108 .如图7-60,已知 ABC AR AC的垂直平分线交 AG AB的延长线于点 F、E。 求证：E、F、C、B四点共圆。109 .如图7-61 ,在。中，AB/ CD,点P是AB的中点，CP的延长线交。于点F,又点E为日口上任上点，连EF交AB于点G.求证：P、G E、D四点共圆。图 7-61110 .如图7-62,在 ABC中，/ BAC为直角，AB=AC,BM=MCJ M C任作一圆，与 AC交于点E, BE与 圆交于F点，求证：AF± BE.111 .如图7 63,在|口ABCD勺对角线上，任取一点 P,过点P作AR C

36、D的公垂线 EG 又作 AR BC 的公垂线 FM 求证：EF/GM.112 .如图7 64, PA ABC外接圆一任意一点， 点P到 ABC三边的垂足分别为 D E、F三点成一直线。113 .如图7-65,在二ABCD43,过D、B两点作一圆，交平行四边形四条边（或它们的延长线）于点E、F、G H.求证：EF/GH.114 .如图7-66,四边形ABC0是。的内接四边形，DEL AG AF± BD,点E、F是垂足.求证：EF/BC.115 .如图7-67, AB为半圆的直径，弦 AC BD相交于点 H, HP!AB.求证：/ 1 = 7 2.116 .在锐角 ABC中，三条高 AD

37、 BE、CF相交于点 H.求证：点 H是 DEF的内心。117 .如图7 68,四边形 ABC皿正方形，点 E为BC上的任一点，AE± EF, EF交/BCD的外角平分 线于点F.求证：EA=EF.0,连结0A求证：0A平分118 .在 ABC中，/ BAC= 900,又四边形 BCDE正方形，它的中心为点ZBAC1119 .四边形 ABCg接于。0, AC! BD,点M是月BC的中点.求证： 0阵 -AD.2120 .圆内接四边形 ABC曲一组对边 AR DC的延长线相交于点 P,求证：（1）PB?AC= PC?BD;（2）点P到AD的距离与点P到BC的距离之比等于 AD:BC.1

38、21 .如图7-69 ,已知AB为半圆0的直径，C、D为半圆上的两点，CEL AB于点E, DF± AB于点F,DG± 0C 于点Go求证：CE=GF.图 7-69122 .。0中弦AB/CD, M为CD中点，BM延长相交。0于点E.求证：A、E、M 0四点共圆。123 .四边形ABCErt接于圆，AR BC的延长线相交于点 E, BA CD的延长线相交于点 F, / E、/ F的 平分线交 AB CD BG AD于点G M H、N,连结GH HM MN NG.求证：四边形GHM谑菱形。124 .如图7 70, AB是。的直径，弦 BD CA的延长线相交于点 E, EF垂直

39、BA的延长线于点 F。求 证：（1） A、D、E、F 四点共圆；（2） A=BE?BD-AE?AC.7-T0125 .四边形 ABC*接于圆 0,AB=4,CD=2,且 / A= 900, /B=600 求：（1） AD 及 BC 的长；（2）四边形 ABCM面积。126 .如图7-71 , ABC内接于圆 O, AB=AC, / A=30Q圆。的半径为10厘米，又弦 KN/BC,交AR AC于点L、M 且KL=LM=MIN弦KN的长。图 7-7直线和圆的位置关系五、直线和圆的位置关系：127 .在直角 ABO43, / AOB=90O OCLAB,垂足为点 C,已知OA= 4通,OB=2x/

40、6 ,那么以点。为圆心、4为半径的圆与AB这条直线的位置关系是 .128 .在 RtABC中，/ C=90O,AC=5,AB=13.(1) 以点A为圆心、4为半径的圆A与直线BC的位置关系是 ;(2) 以点B为圆心、以AB的长为半径的圆 B与直线AC的位置关系是 ;(3) 以点C为圆心，当半径为 时，圆C与直线AB相切。129 .。的半径是6,。的一条弦AB长为6J3,以3为半径的同心圆，与AB的位置关系是 .130 . OO的直径是8,直线l和。O相交，圆心 O到直线l的距离是d,则d应满足. 右 131 . OO的半径为r,。的一条弦AB长也等于r,则以O为圆心、 3r为半径的圆与 AB的

41、位置关玄旦不 TH.132 .如图 772,在 4ABC 中，/ C=90O, / A=30O,点 O 为 AB 上的一点，BO=m, OO，一-1的半径r为一，当m在什么范围内取值时，BC与O O相离？相切？相交？2图 7-72133 .已知/ BAC= 30O,点D是AC边上的一点，AD=5,则以点D为圆心，且与射线 AB相交两点的圆半 径R的取值范围怎样？134 .在 ABC中，AB=4厘米，AC=3厘米，/ BAC= 600, AD为/ BAC的平分线，试问：以点 D为圆心、 R为半径的圆，当 R满足什么条件时，O D与AB相交？相切？相离？此时。 D与边AC又有怎样 的位置关系？13

42、5 .已知。0外一点 巳 若。的半径为 R, PO=2R又过点P作一射线 PA,且/ APO=3(°,则PA与。O 的位置关系怎样？为什么？136 .已知某圆的半径等于 5厘米，圆心到三条直线的距离分别是3厘米、5厘米和7厘米，那么这三条直线与该圆的交点一共有多少个？为什么？六、圆的切线137.如图773,在。中，AO为半径，AB为弦，BC为切线，且 OA= AB=BC则弧BD的度数为 弧DE的度数为.138.如图7 74, PA PB切O。于点A、B,BD± AP,BD交弧AB于点C, / CAD=25,则/ P的度数为 139.如图 775, AB为。的直径，/ PAB

43、=4§, / ABC=75,TC 为。的切线，则/ TCP=，弧 AP： 弧 PC=.140.如图 7-76 ,直线 MNWO O于点 T, AB/MN,弧 AT=2弧 AB,则/ MTB= / ATB=.141.如图7-77,在 RtABC中，/ C= 90O ,AC=3,BC=5,以点 A为圆心、1为半径作。A,又BD切。A 于点D,则切线BD的长是.142.如图778, PA、PR DE分别切。于点A、B C,若PO=13厘米，O O的半径r=5厘米，则4 PDE 周长为;若/ APB=5(O,则/ DOE=.图 7-78143 .如图779,直线AB切。于点C, DE是。的直

44、径，EHAB,垂足为F, DC的延长线与 EG的延 长线交于点 G若G G= 560,则/ E=.图749144 .在 ABC中，/ C= 900,半圆直径 MN在AB上，半圆分别与 AC切于点 D,与BC切于点E,已知 AC= 12厘米，BC=16厘米，则半圆的直径 MN145 .如图780,在0O中，过弦AB的端点A和B分别作。切线AP和BQ,在弧AB上取一点M,作MC/AP, 交AB于点C,MD/BQ,交AB于点D,若AC=4厘米，BD=5厘米，则 MC=.E 7的146 .如图781,。的直径等于 8, OAL OB,OC AB边上的高，。人二代写,OB=2 J5 .求证：AB与。O相

45、切。图 7-81147 .在 ABC中，AD是底边BC上的高，且等于 BC的一半，求证：以中位线EF为直径作半圆，必与BC相同。148 .已知A是O。外的一点，OA交O。于点C,过。O上一点P作弦PE± OA,垂足为E,且/ EPCW CPA. 求证：PA是。的切线。149 .已知AB是。的弦，BF与。相切于点B, OEL AB,E是垂足，延长OE交FB的延长线于M点， 连结AM求证：MA是O O的切线。150 .圆。的半径为4厘米，圆O2的半径为3厘米，这两个圆相交于 A、B两点，且圆心距为 5厘米。 求证：过A点与圆。相切的直线必经过 Q点。151 .如图 782,在 RtABC

46、中，Z ACB= 900, AC= BC,点 D是三角形内一点， 且/ ADC= 1350 求证:AB 是 ADC外接圆的切线。BO图 7-82OB OP152 .PA切半圆于点 A,割线PBC过圆心O,ADL BC,垂足为点 D.求证： CD CP .153 .在4ABC中，AB=28,BC=26,CA=30，半圆。切AG BC于点D、E,点0在AB上。求半圆的半径 r.3 一154 .如图783, DA!AB,AB是半圆的直径， E是AD的中点，BD交半圆于点 Co若CE= 13 ,BC=4,2求OE的长。B 7-83155 .AB是半圆 O的直径，点 C是AB延长线上一点，CD切半圆于点

47、14_,、 BE=AB,AE= AB,CD=2,求 BC的长。D, DEL AB,点E是垂足。已知156 .如图7 84,过 ABC的两顶点 B C的圆与AB AC分别交于点 点 Ao 求证：EF/MN.1 AM N,又EF切ABC的外接圆于图 7-84157 .如图7 85,。和。相交于点 A B两点，且/ ABC= /ABD 线。aB"=BC?BD.求证：AC是。的切n图 7-85158 .如图786,在等腰直角 ABC中，Z ABC= 90°, AB= BC,沿/ C的平分线 CF对称，使点 B落在 AC边上的E点。求证：以 EF为直径的圆必与 AC相切于点E.159

48、 .如图787,在RtAOB中，/ AOB=90,AO=BO,点D在AB上，且 BD=BO又点M是AB的中点，以 点O为圆心，。泌半径作。Q交OA于点E.求证：AB和DE都是。的切线。图 7-87160 .如图788, ABC内接于。O,点P为弧BC的中点，AP交BC于点D,EF切。O于点A,BE/PA i 交EF于点E,连结ED）求证：/ ABC=/ AED.图 7-88161 .如图7 89,在 ABC中/ A的内、外角平分线 AE AF分别交直线 BC及延长于点E、F,又过点 A作 ABC的外接圆 O的切线，交 BC于点D.求证：DF=DE. 7-89162 .PA、PB是。的切线，AC

49、是。的直径，OP交AB于点D,且AC= 4, PD=3.求BC的长。163 .如图790, 4AO呢直角三角形，/ AOB=90,以点O为圆心作圆，切斜边 AB于点C,又AR BE 是。的切线，切。O于点D、E。求证：H。E三点在一条直线上。AB是。的直径，C是圆上一点，过 C点的切线与过 A B两点的切线分别交于 E、 BE相交于P点。求证：CP/AE.164.如图 791,F两点，AF、AB是。的直径，BP切。于点B,。的弦AC平行于OR165.如图 7-92,求证：PC是。的切线；(2)如果切线PC和BA的延长线相交于点 D,且DA等于O。的半径,AB=AC,DEL AC,连 BE交。O

50、于点 F。求证:166.如图793, AB是。的直径, (2)AE?EC=BE?EF.(1)DE为。O的切线; PB AC求证： DP OP -167.如图 794, AT切。O于点 T, CB为。O直径，/ BCT=30O,CT= J3 ,求 BG AC $ abt7-95,已知在 ABC中，D作。的切线交AB于点168.如图过点AB= AC,以AC为直径的。O交BC于点D,交AB于点E,连结CE, M.求证：(1)DM/CE; (2) DC 2=AC?BM.演"或169 .如图796,。的半径为5, OP 10,PM为。的切线，切点为 Ml求 切点M的坐标；（2）MA的长。170

51、 .O是正方形 ABCT边BC的中点，AP与以点。为圆心、OB为半径的半圆切于 T点，求AT： TP的 值。171 .在4ABC中，/ C= 90°,。分别切 AG BC于点 M N,圆心 O在AB上，且 AO= 15厘米，BO=20 厘米，求。的面积。172 .如图7 97, ABC内接于。O, AB=AC过点B作。的切线交 AC的延长于点 D,又D已AB于点 E。求证：CD=2BE.173 .如图798, AB是。O的直径，点 C是BA延长线上白一点， CD切。O于点D, / BCD勺平分线交 BD于点E,又CA= 1, CD是。O半径的 J3倍，求DE和EB的长。图 7-981

52、74 .如图799, CD切。O于点D, CA是过圆心 O的割线，过点B作。的切线交 CD于点E,DE=- EC.2求证：CA=.3CD.175 .如图7-100, 4ABC是。的内接三角形， AD是/A的平分线，AD的延长线交。于点M 过点M作PQ/BC,分别交AB AC的延长线于点 P、Q.求证：（1）PQ是。的切线;PM(2)PBQMQC图 7-103176 .如图7101, OO在/ACB内部，且切 CA于点T, OHL CB,点H为垂足，又 HP切。于点P。求 证：CT2=CH+HP图 7-101177 .如图7102, PR PC切。于点B、C,作直径BA并延长与PC的延长线相交于

53、点 D,若弧BC为 1200,求证：（1）AC=AD; （2）PO 等于。的直径。图 7-102178 .AB为半圆。的直径，DAL AB,CB± AB,垂足为点 A、B, DC切。于点E,又点F是DC的中点，如 果AD= 13厘米，BC=25厘米，求 EF和ABR长度。179 .如图7103, BQ CE分另1J是 ABC两边AG AB上的高，。是 ABC的外心，求证： OAL DE.180 .如图7104,弦CD平行于直径 AB, BE切。于点B,交AD的延长线于点 E, EF，AC,F为垂足。求证：FC=AC.国 7-108图 7-104181 .如图：7105,直线 AF切4

54、ABC外接圆。于点A,交 ABC的高CE的延长线于点 F, BD±AC.求 证：AD： DC=EF： EC.图 7-105182 .如图7106,由正方形 ABCD勺顶点A引一条直线，与 BD CD及BC的延长线分别交于点 E、F、 G 求证：CEA CGFW外接圆 O相切。4 D图 7-106183.如图7107,直线DF平分 ABC中/ A的外角，交 ABC7卜接圆于点 E, FB为 ABC外接圆的切 线。求证：AD?EF=BF?DC.184.如图7108, AB为。的直径，AD是切线，FB和DB是害U线。求证：BE?BF=CB?DB185.如图7109, C是。直径AB上一点，D在。O上，DCLAB,DF切。于点 D, CHDF于点 E,求证：AB?CE=AC?BC + DC2 .图 7T09186 .在RtABC中，/ A= 90°,以AB为直径作半圆交 BC于点D,过点D作半圆的切线交 AC于点E。求证：（1）AE=CE; （2） CD?CB=4DE 2.187.PA为。的切线，A是切点，PBa割线，E是AB的中点，PE的延长线交AC于点F.求证