因式分解(提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法)

1、因式分解因式分解的方法提公因式法四填空（1）3x2+6= （2）7x2-21x= （3）8a3b2-12ab2c+ab= （4）-24x3-12x2+28x= （5）（6）-5ab2+20a2b-15ab3= （7）am-am-1=（ ）（a-1） 3（x2+2）7x（x-3）ab（8a2b-12bc+1）-4x（6x2+3x-7）-5ab（b-4a+3b2）am-1ababba212122(a+2b)注意：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数。在提出“-”号时，多项式的各项都要变号！)(3)(2cbcba 分析：(b+c)是这两个式子的公因式,可以直

2、接提出.)(3)(2cbcba解：)32)(acb例例 2 分解因式分解因式.讨论5：公因式是多项式时，如何提公因式？公因式是多项式时，如何提公因式？提公因式法提公因式法-因式分解因式分解：(1)24x3y18x2y ； (2)7ma+14ma2 ；(3)16x4+32x356x2 ；(4) 7ab14abx+49aby ；(5)2a(yz)3b(yz) ；(6)p(a2+b2)q(a2+b2).1.20042+2004能被2005整除吗? . 3, 5)7(3)7(4. 22xa，xxa其中先分解因式，再求值32322002220022000200220022003六利用分解因式计算： （1

3、）-4.23.14-3.53.14+17.73.14 (2) 30.5768.3-768.320.5 解：原式=-3.14 (4.2+3.5-17.7)=-3.14(-10)=-31.4解:原式=768.3(30.5-20.5)=768.310=7683拓展与探究1. 已知n为非零的自然数,先将2n+4-2n分解因式,再说明2n+4-2 n能否被30整除. . 2. 若a=-2，a+b+c=-2.8，求a2（-b-c）-3.2a（c+b）的值。 解: 因为n是非零自然数,所以2n+4-2n=2n(24-1)=2n 15=2n-1 30 ，所以, 2n+4-2n能被30整除。解: 因为a=-2，

4、a+b+c=-2.8,所以-2+b+c=-2.8, 解得 b+c=-2.8+2=-0.8 原式=-a(b+c)(a+3.2)=2(-0.8)1.2=-1.92专项训练一：确定下列各多项式的公因式。专项训练一：确定下列各多项式的公因式。22129xyzx y3()()abc mnab mn专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。专项训练三、在下列各式左边的括号前填专项训练三、在下列各式左边的括号前填上上“+”或或“”，使等式成立。，使等式成立。_()xyxy_()baab_()zyyz 22_()yxxy33()_()yxxy44()_()xyyx22()

5、_() ()nnabban为自然数2121()_()()nnabban为自然数1(2)_(1)(2)xyx y1(2)_(1)(2)xyxy23() ()_()abbaab246() ()_()abbaab公式法 (1) 平方差公式：平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 完全平方公式完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2平方差公式反平方差公式反过来就是说：过来就是说：两个数的平方两个数的平方差，等于这两差，等于这两个数的和与这个数的和与这两个数的差的两个数的差的积积a - b = (a+b)(a-b)因式分解因式分解平方差公式：平方差公

6、式：(a+b)(a-b) = a - b整式乘法整式乘法下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？（1）（2）22xy22xy（3）22xy（4）22xy（5）22x 分解因式分解因式(1)a2 b2; (2)9a24b2;(3) x2y4y ; (4) a4 +16.我优秀将下面的多项式分解因式将下面的多项式分解因式1) m - 16 2) 4x - 9ym - 16= m - 4 =( m + 4)( m - 4) a - b = ( a + b)( a - b )4x - 9y=(2x)-(3y)=(2x+3y)(2x-3y)例例1.把下列各式分解因式把下列各式分解因式（1）16a-

7、 1 ( 2 ) 4x- mn ( 3 ) x - y 925116( 4 ) 9x + 4解：解：1）16a-1=(4a) - 1 =(4a+1)(4a-1)解：解：2） 4x- mn =(2x) - (mn) =（2x+mn)(2x-mn)例例2.把下列各式因式分解把下列各式因式分解1)( x + z )- ( y + z )2)4( a + b) - 25(a - c)3)4a - 4a4)(x + y + z) - (x y z )5)a - 212解：解：1.原式原式=(x+z)+(y+z)(x+z)-(y+z) =(x+y+2z)(x-y)解：解：2.原式原式=2(a+b)-5(a

8、-c) =2(a+b)+ 5(a-c)2(a+b)- 5(a-c) =(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c)解：解：3.原式原式=4a(a-1)=4a(a+1)(a-1)解：解：4.原式原式=(x+y+z)+(x-y-z) (x+y+z)- (x-y-z) =2 x ( 2 y + 2 z) =4 x ( y + z ) 思维延伸思维延伸2. 对于任意的自然数对于任意的自然数n，(n+7)2 (n5)2能被能被24整除吗整除吗? 为什么为什么?巩固练习：巩固练习：1.选择题：选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）A. 4X+y B. 4 x

9、- (-y) C. -4 X-y D. - X+ y2) -4a +1分解因式的结果应是分解因式的结果应是 （ ）A. -(4a+1)(4a-1) B. -( 2a 1)(2a 1)C. -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)2. 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：1）18-2b 2) x4 1 DD1)原式原式=2（3+b)(3-b)2)原式原式=(x+1)(x+1)(x-1)2a b2a b222aab b222aab b完全平方公式完全平方公式2a b2a b222aab b222aab b现在我们把这个公式反过来现在我们把这个公式反过来很显然，我们可以运

10、用以上这很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把个公式来分解因式了，我们把它称为它称为“完全平方公式完全平方公式”我们把以上两个式子我们把以上两个式子叫做叫做完全平方式完全平方式222aab b222aab b“头头” 平方平方, “尾尾” 平方平方, “头头” “尾尾”两倍中间放两倍中间放.判别下列各式是不是判别下列各式是不是完全平方式完全平方式 2222222224232221乙乙甲甲BABAyxyx是是是是是是是是完全平方式的特点完全平方式的特点：1、必须是三项式22 2首首 尾 尾2、有两个平方的“项”3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍222aab b222aab b下

11、列各式是不是下列各式是不是完全平方式完全平方式 22222222222122234446154624aba bx yxyxx yyaa bbxxaa bb是是是是是是否否是是否否请补上一项，使下列多项式请补上一项，使下列多项式成为成为完全平方式完全平方式 222222224221_2 49_3_414_452_xyabxyabxx y2xy12ab4xyab4y2a b2a b222aab b222aab b我们可以通过以上公式把我们可以通过以上公式把“完全平方式完全平方式”分解因式分解因式我们称之为：我们称之为：运用完全平运用完全平方公式分解因式方公式分解因式例题：把下列式子分解因式例题：把

12、下列式子分解因式4x4x2 2+12xy+9y+12xy+9y2 2 2233222yyxx223xy22 2首首 尾尾=(首首尾尾)2a2 +2ab+b2(a+b)2请运用完全平方公式把下请运用完全平方公式把下列各式分解因式：列各式分解因式： 22222222144269344149615464129xxaaaamm nnxxaabb22x原式23x原式221a原式23mn原式212x原式223ab原式2132xy5 5、把、把 分解因式得分解因式得 （ ）A A、 B B、6 6、把、把 分解因式得分解因式得 （ ）A A、 B B、221394xxyy2134xy224493xyxy22

13、3xy243xyBA7 7、如果、如果100 x100 x2 2+kxy+y+kxy+y2 2可以分解为可以分解为（10 x-y)10 x-y)2 2, ,那么那么k k的值是（的值是（ ）A A、20 20 B B、-20 -20 C C、10 D10 D、-10-108 8、如果、如果x x2 2+mxy+9y+mxy+9y2 2是一个完全平方式，是一个完全平方式，那么那么m m的值为（的值为（ ）A A、6 6 B B、6 6 C C、3 D3 D、3 3 BB思考题思考题: :1 1、多项式、多项式: :(x+y)(x+y)2 2-2(x-2(x2 2-y-y2 2)+(x-y)+(x

14、-y)2 2能能用完全平方公式分解吗用完全平方公式分解吗? ?2 2、在括号内补上一项，使多项、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：式成为完全平方式：X X4 4+4x+4x2 2+( )+( )小结：小结：1、是一个二次三项式、是一个二次三项式2、有两个、有两个“项项”平方平方,而且有这而且有这两两“项项”的的积的两倍或负两倍积的两倍或负两倍3、我们可以利用、我们可以利用完全平方公完全平方公式式来进行因式分解来进行因式分解完全平方式具有：完全平方式具有：1.1.利用因式分解计算：利用因式分解计算：1001002 2-99-992 2+98+982 2-97-972 2+96+962 2

15、-95-952 2+ + +2+22 2-1-12 2【解析解析】原原式式= =（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97100+99)(100-99)+(98+97)(98-97）+ +(+(2+1)(2-1)2+1)(2-1) = =199+195+191 +199+195+191 + +3+3 = =505050501616、（、（20052005年浙江省）在日常生活中如上网等年浙江省）在日常生活中如上网等都需要密码，有一种因式分解法产生的密码方都需要密码，有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译。便记忆又不易破译。例如例如用多项式用多项式x x4 4-y-y4 4

16、因式分解的结果因式分解的结果（x-y)(x+y)(xx-y)(x+y)(x2 2+y+y2 2) )来设置密码，当取来设置密码，当取x=9,y=9x=9,y=9时，可得时，可得一一个六位数的密码个六位数的密码“018162018162”。你知。你知道这是怎么来的吗道这是怎么来的吗? ?小明选用多项式小明选用多项式4x4x3 3-xy-xy2 2，取，取x=10,y=10 x=10,y=10时。用时。用上述方法产生的密码是什么上述方法产生的密码是什么? ?( (写出一个即可写出一个即可) )2 2、计算、计算： 25 25 265 2652 21351352 2 25 25选做题：选做题：1、分

17、解因式：、分解因式：22cbacba4 4、已知、已知x+y=7,x-y=5,x+y=7,x-y=5,求代数式求代数式 x x2 2-y-y2 2-2y+2x-2y+2x的值的值. .5 5、若、若n n是整数是整数, ,证明证明(2n+1)(2n+1)2 2-(2n-1)-(2n-1)2 2是是8 8的倍数的倍数. .3、1993-199能被能被200整除吗整除吗?还能被哪些整数整除还能被哪些整数整除?6 6、英国数学家狄摩根在青年时代、英国数学家狄摩根在青年时代, ,曾有人问他曾有人问他: :“今今年多大年龄？年多大年龄？”狄摩根想了想说：狄摩根想了想说：“今年，我的年今年，我的年龄和我弟

18、弟年龄的平方差是龄和我弟弟年龄的平方差是141141，你能算出我的年龄，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为假设狄摩根的年龄为x x岁，他岁，他弟弟的年龄为弟弟的年龄为 y y岁，你能算出他们的年龄吗？岁，你能算出他们的年龄吗？十字相乘法十字相乘法 因式分解之 二次三项式二次三项式 (1)(1) (x+3)(x+4) (x+3)(x+4) (2)(2) (x+3)(x-4) (x+3)(x-4)(3) (x-3)(x+4)(3) (x-3)(x+4)(4) (x-3)(x-4)(4) (x-3)(x-4)整式乘法中，有整式乘法中，有(x+(x+a a)(x+

19、)(x+b b)=x)=x2 2+(+(a+ba+b)x+)x+abababxbax)(2qpxx2qp=bapabq, 如果二次三项式如果二次三项式x2+px+q中的常数项系中的常数项系数数q能分解成两个因数能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系的积，而且一次项系数数p又恰好是又恰好是a+b，那，那么么x2+px+q就可以进行就可以进行如上的因式分解。如上的因式分解。762xx) 1)(7(xxxx7171步骤：步骤：xxx67 1582xx) 3)(5(xxxx35xxx8)5()3(qpxx2(x + a )(x + b)学以致用1276522xxxx103622xxxx 试将试将16

20、62xx1662xx28xx1662xx 1522 xx1832yy42132aa练习：将下列各式分解因式练习：将下列各式分解因式1、 7x 13x622、 y 4y1223、 15x 7xy4y224、 10(x 2) 29(x2) 102答案答案(7x6)(x1)5、 x (a1) xa2答案答案 (y6)(y2)答案答案 (3xy)(5x4y)答案答案 (2x1)(5x8)答案答案 (x1)(xa) 1.1.十字相乘法分解因式的公式：十字相乘法分解因式的公式：x x2 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)3.3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。2.2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的特点：系数的特点：常数项能分解成