第十章2二重积分的计算法

1、如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx x型型)(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba二重积分的计算法二重积分的计算法(1)一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分为曲顶的柱体的体积为曲顶的柱体的体积为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzddyxfd 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,a0 xbzyx)(2xy)(1xy),( yxfz)(0 xa得得.),(),()(

2、)(21 dbaxxdyyxfdxdyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy y型型)(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx d.),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf x型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，则必须分割则必须分割.在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域

3、上分别使用积分公式使用积分公式.321 dddd3d2d1d注注）二重积分化累次积分的步骤）二重积分化累次积分的步骤画域，画域，选序，选序，定限定限）累次积分中积分的上限不小于）累次积分中积分的上限不小于 下限下限）二重积分化累次积分定限是关键，积分限）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，区域的草图，画好围成画好围成d的几条边界线，的几条边界线，若是若是x型，型， 就先就先 y 后后 x若是若是y型，就先型，就先 x 后后 y ，注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层注意内层积分限是外层积分变量的函数

4、，外层积分限是常数。积分限是常数。例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.解解积分区域如图积分区域如图xy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(. 例例 2 2 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.解解积分区域如图积分区域如图xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy.例例3 计算计算 ddxdyxy2d2,xyxy 102xxyx解一解一d：x型型d 10631022401)(312dxxxxdyydxdxdyxydxx解二解二d 10yyxyy型型 10221024

5、01)(21dyyyydxxydyiyy例例4 计算计算 dxyyxyddxdyxy1, 2,:,22解解d 211yyxyy型型i = 21122yydxxydy 若先若先 y 后后 x 由于由于d的下边界曲线在的下边界曲线在 x 的不同范的不同范围内有不同的表达式，围内有不同的表达式， 须分片积分，计算较麻烦。须分片积分，计算较麻烦。 213249)(dyyyy212121 由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单特点来

6、确定，在积分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。例例5 计算计算 dxyxyyxxddxdyye1, 2, 2, 1:,解解d是是x型区域型区域 2121xxydyyedxi要分部积分，不易计算要分部积分，不易计算若先若先 x 后后 y 则须分片则须分片 21211021dxyedydxyedyixyyxy易见尽管须分片积分，但易见尽管须分片积分，但由于被

7、积函数的特点，积由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。分相对而言也较方便。例例6 6 改改变变积积分分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的的次次序序. 解解axy2 22xaxy 22yaax d原式原式= ayaaaydxyxfdy02222),( aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdya2aa2a例例 7 7 求求 ddxdyyx)(2，其中，其中d是由抛物线是由抛物线2xy 和和2yx 所围平面闭区域所围平面闭区域. 解解两两 曲曲 线线 的的 交交 点点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy2xy 2yx dd

8、xdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 例例8 求求 dydxdyex22，其中，其中 d 是以是以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(为顶点的三角形为顶点的三角形. 解解 dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数表示 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例 9 9 计计算算积积分分 yxydxedyi212141 yyxydxedy121. 解解 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积

9、积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxi22112xy xy 121)(dxeexx.2183ee 例例 1010 求由下列曲面所围成的立体体积，求由下列曲面所围成的立体体积，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y. 解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.所所围围立立体体在在xoy面面上上的的投投影影是是, 10 yx,xyyx 所求体积所求体积 ddxyyxv )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 例例12 计算计算 dxyxyddxdyxxy2,:,1) 1sin(2解解根据积分区域的特点根据积分区域的特点14-12应先对应先对 x

10、 后对后对 y 积分积分dxxxydyiyy 21221) 1sin(但由于但由于 1) 1sin( xx对对 x 的积分求不出，无法计算，的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。须改变积分次序。先先 x 后后 y 有有dyxxydxxx 4121) 1sin(dxxxxx1)1sin()2(210241 dxxxxx 4121)1sin()45(21 41)1sin()4(21dxxx)3sin3(21 dyxxydxixx 101) 1sin(奇函数奇函数 化二重积分为累次积分时选择积分次序的化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程重要性，有些题目两种

11、积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来却积不出来 另外交换累次积分的次序：先由累次积分另外交换累次积分的次序：先由累次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。以上各例说明以上各例说明二、小结二、小结二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdy

12、xf .),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf x型型y型型（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）思考题思考题设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，并并设设adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考题解答思考题解答 1)(xdyyf不能直接积出不能直接积出,改改变变积积分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxi,则原式则原式 ydxyfxfdy010)()( ,)()(010 xdyyfdxxf故故 110)()(2xdyyfdxxfi)()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010adyyfdxx

13、f 练练 习习 题题一一、填填空空题题: : 1 1、 ddyyxx )3(323_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .其其中中 . 10 , 10: yxd 2 2、 ddyxx )cos(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .其其中中d是是顶顶 点点分分别别为为 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的的三三角角形形闭闭区区域域 . . 3 3、将将二二重重积积分分 ddyxf ),(, ,其其中中d是是由由x轴轴及及半半圆圆周周 )0(222 yryx所所围围成成的的闭闭区区域域, ,化化为为先先对对y 后后对对x的的二二次

14、次积积分分, ,应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 4 4、将二重积分、将二重积分 ddyxf ),(, ,其中其中d是由直线是由直线 2, xxy及双曲线及双曲线)0(1 xxy所围成的闭区所围成的闭区 域域, ,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分, ,应为应为 _. _. 5 5、将将二二次次积积分分 22221),(xxxdyyxfdx改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、将将二二次次积积分

15、分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、将将二二次次积积分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、画画出出积积分分区区域域, ,并并计计算算下下列列二二重重积积分分: : 1 1、 dyxde , ,其其中中d是是由由1 yx所所确确定定的的闭闭区区域域. . 2 2、 ddxyx )(22其其中中d是是由由直直线线 xyxyy2, 2 及及所所围围成成的的闭闭区区域域. . 3 3、 xddyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。 4 4、,2 ddxdyxy其中其中d: : 20 , 11 yx. .三、设平面薄片所占的闭区域三、设平面薄片所占的闭区域d由直线由直线, 2 yxxy 和和x轴所围成轴所围成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求该求该薄片的质量薄片的质量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所围成的所围成的立体的体积立体的体积 . .练