江苏省南通市2020届高三数学第一次模拟考试试题

1、2020届高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V柱体= Sh,其中S为柱体的底面积，h为高.一、 填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.1 .已知集合 A= 1 , 3, B= 0, 1,则集合 AU B=.2 .已知复数z=12-r-3i (i为虚数单位)，则复数z的模为.3 .某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下:次数2345人数2015105京一I则平均每人参加活动的次数为 .4 .如图是一个算法流程图，则输出的b的值为.5 .有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参

2、加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 .6 .已知正四棱柱的底面边长是3 cm侧面的对角线长是 33 则这个正四棱柱的体积为 cm.7 .若实数x, y满足xw yw 2x+3,则x + y的最小值为 28 .在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l ,直线l与双曲线、y2= 1的两条渐近线分别交于A, B两点，AB= 6,则p的值为.9 .在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 y = 3x + t与曲线y= asin x+bcosx(a, b, tCR)相切于点(0, 1),则(a+b)t的值为。10 .已知数列an是等比数列，有下列四个命题： 数

3、列|a n|是等比数列； 数列anan+1是等比数列； 数列1是等比数列； 数列lg a 2是等比数列.an其中正确的命题有 个.11 .已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x+2) = f(x).当0<xW1时，f(x)=x3 ax +1,则实数a的值为.12 .在平面四边形 ABCD中，AB= 1, DA= DB, Ab- Ac= 3, Ao- AD= 2,则 |启 + 2而 的 最小值为.13 .在平面直角坐标系 xOy中，圆Ox2+y2=1,圆C： (x 4) 2+y2 = 4.若存在过点P(m, 0)的直线l ,直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是 .14

4、 .已知函数 f(x) =(2x + a)(|x a| + |x + 2a|)(a<0). 若 f(1) + f(2) + f(3) + f(672) = 0,则满足f(x) =2 019的x的值为.二、 解答题：本大题共 6小题，共1t 90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图，在四棱锥 PABC砰，M, N分别为棱PA PD的中点.已知侧面PADL底面ABCD底 面ABCD矩形，DA= DP.求证：(1) MN /平面 PBC(2) MD，平面 PAB.16 .(本小题满分14分)在 ABC中，a, b, c分别为角 A, B, C所对边的长，

5、acos B=42bcos A, cos A = g求角B的值；(2)若a=/6,求 ABC的面积.17 .(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系2xOy中，椭圆 十2yb2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B.(1)已知椭圆的离心率为J,线段AF中点的横坐标为 呼,求椭圆的标准方程;(2)已知 ABF的外接圆的圆心在直线 y= x上，求椭圆的离心率 e的值.18 .(本小题满分16分)如图1, 一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD AB, AD的长分别为 邓 m和4 m一口,，k2 支上部是圆心为 O的劣弧 CD / COD=.3(1)求图1中拱门最高

6、点到地面的距离；(2)现欲以点B为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形 ABC所在的平面始终与地面垂直， 如图2、图3、图4所示.设BC与地面水平线l所成的角为。.记拱门上的点到地面的最大距 离为h,试用0的函数表示h,并求出h的最大值.19 .(本小题满分16分)已知函数 f(x) =a+ln x(a R). xx1 , x2.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设函数f(x)的导函数为f' (x),若函数f(x)有两个不相同的零点求实数a的取值范围； 证明：xif ' (xi)+x2f(x2)>2ln a+2.20 .(本小题满分16分)已知等差数列an满足a4=4,前8

7、项和$=36.21 )求数列a n的通项公式；(2) 若数列bn满足n(bka2n+12k) + 2an=3(2n 1)(n C N*).k= 1证明：bn为等比数列； 求集合 (mi p) |am= 3ap, rn pCN* .bm bp2020届高三年级第一次模拟考试数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）21.【选做题】本题包括A B、C三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选彳4-2:矩阵与变换（本小题满分10分）a b1 0已知矩阵 M=, N=1 ,且（MN1cd0 -2选彳4-4 :坐标系与参数方程

8、（本小题满分10分）x= t ,在平面直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程是2 （t为参数）.以原点O为极点，xy=t轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是 p sin 04 =42.求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长.C.选彳4-5:不等式选讲（本小题满分10分）_9222111已知实数 a, b, c满足a+b+cw1,求证： 孑有十3（+cT7）【必做题】 第 22 题、第 23 题 ， 每小题 10 分 ， 共计 20 分 . 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .22. ( 本小题满分10 分 )“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样

9、的正整数，如22， 121 ， 3 553 等 . 显然 2位“回文数”共9个：11, 22, 33,，99.现从9个不同的2位“回文数”中任取 1个乘以 4,其结果记为X;从9个不同的2位“回文数”中任取 2个相加，其Z果记为 Y.(1) 求 X 为“回文数”的概率；(2)设随机变量E表示X, Y两数中“回文数”的个数，求 E的概率分布和数学期望 E(E).23. ( 本小题满分10 分)设集合B是集合A = 1 , 2, 3,，3n 2, 3n-1, 3n , nCN*的子集.记集合B中所有 元素的和为S(规定：集合B为空集时，S= 0).若S为3的整数倍，则称B为A的“和谐子集”. 求：

10、(1) 集合A1 的“和谐子集”的个数；(2) 集合An 的“和谐子集”的个数.2020 届高三年级第一次模拟考试 ( 南通 )1.0, 1, 37. 6 8.数学参考答案22. 5 3. 3 4. 7 5. 3 6. 5413. -4,14. 3379. 4 10. 3 11. 2 12. 2 515. （1） 在四棱锥 PABC砰，M, N分别为棱 PA, PD的中点，所以MM AD.（2分）又底面ABCD矩形，所以 BC/ AD.所以MM BC.（4分）又BC?平面PBC MN?平面PBC所以MM平面PBC.（6分）（2）因为底面ABC虚矩形，所以AB± AD.又侧面 PADL

11、底面 ABCD侧面PADA底面 ABCD= AD, AB?底面ABCD所以ABL侧面PAD.（8分）又MD7侧面PAD所以 AB± MD.（10 分）因为DA= DP；又M为AP的中点，从而 MDL PA.（12 分）又 PA, AB在平面 PAB内,PAH AB= A,所以 MDL平面 PAB.（14分）16. （1） 在 ABC中，因为 cosA= £ 0<A<n , 3所以 sin A= 一 cos2A= .（2 分）因为 acosB= 2bcosA, a b由正弦定理-得 sin AcosB= J2sin BcosA. sin A sin B所以 cos

12、B= sin B.（4 分）若 cosB= 0,则 sin B= 0,与 sin 2B+ cos2B= 1 矛盾，故 cosBw 0.于是tanB=犯1=1. cosB又因为0<B<n , 汽所以B= .（7分）4（2）因为 a=6, sin A=半，由（1）及正弦定理 一*=%,得半=4, sin A sin B 62V 2所以b= -2.（9分）又 sin C= sin (n一A B)=sin (A + B)=sin AcosB+ cosAsin BYH+F .考花(12分)113J2 2J3+V6 6+3J2所以的面而为S= 2absin5Xmx±x' =

13、T。4为x2 y24,117. (1) 因为椭圆 孑+b2= 1(a>b>0)的离心率为2,所以c=；,则a= 2c.a 2因为线段AF中点的横坐标为乎，所W.所以 c= 212,则 a2 = 8, b2= a2 c2= 6. 22所以椭圆的标准方程为"8 + (= 1.(4分)(2)因为点 A(a, 0),点 F(-c, 0),ac所以线段AF的中垂线方程为x =一万一.又因为 ABF的外接圆的圆心 C在直线y=x上,a ca c所以点C-2-, - .(6分)因为点 A(a, 0)，点 B(0, b)所以线段AB的中垂线方程为:b a a y2=bx2.由点C在线段A

14、B的中垂线上,a c 得一-2-b a 2=ba c2整理得，b(a - c) + b2= ac, (10 分) 即(b c)(a + b) = 0.因为a+b>0,所以b= c.(12 分)c所以椭圆的离心率e=-ac 二b2+ c22.(14 分)18. (1)如图1,过点。作与地面垂直的直线交AB,CD于点OQ,交劣弧CD于点巳OP的长即为拱门最高点到地面的距离在 RtQOC中，/ Q=；，CO=#, 所以OO= 1,圆的半径 R= OC= 2.所以 OP= F OO = R+ OQ OO= 5.故拱门最高点到地面的距离为5m(4分)(2)在拱门放倒过程中，过点。作与地面垂直的直线

15、与 当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离 面距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离由 知，在 RtOOB 中，OB= .OO+ OB2 =243.以B为坐标原点，地面所在的直线为x轴，建立如图“拱门外框上沿”相交于点P.h等于圆。的半径长与圆心。到地h等于点D到地面的距离.2所示的坐标系. .一. 支汽当点P在劣弧CD上时，-6<0 < -2.由/ OBx= 0 + -6, OB= 2 3,由三角函数定义，得点 O 2，3cos 0 + -6- , 2，3sin 0 + -6-, 则 h= 2+2小sin 0 + -6- .（8 分）所以当7t兀TT

16、.。十刀=彳即天时，h取得最大值6232+2®10 分）_ , ._.，一一. ,兀如图3,当点P在线段AD上时，0< 0 < .设/ CBD=（）,在 RtA BCD中，DB= .bC+cD =252.32142 7sin2v 7，Cos3 277= 7 .由/ DBx= 0 + <f）,得点 D（2寸cos（ 0 +（） , 2/7sin （。+。）.所以 h= 2/sin （。+ 4 ） = 4sin 0 + 23cos0 .（14 分）又当 0< 0 <-6-时，hz = 4cos0 - 2/3sin 0 >4cos-6- 2J3sin -

17、6- = 3>0.所以 h= 4sin 0 + 243cos。在 0, "6"上递增.汽所以当0=或时，h取得最大值5.6因为2+2m>5,所以h的最大值为4sin 0 + 2Z3cos 0 ,0<故h =2+2小0 忘 65,2+ 2/3sin0 + -6 ,TtTt否<0w万.（2 + 2J3）m（16 分）艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为19. (1) 函数f(x)的定义域为(0, +8),且(a ，x a(x) = -xx当aw。时，f' (x)>0成立，所以函数f(x)在(0 , +°°

18、;)为增函数；(2分)当a>0时，(i )当x>a时，f' (x)>0 ,所以函数 f(x)在(a, +°° )上为增函数;(ii)当0<x<a时，f ' (x)<0 ,所以函数 f(x)在(0 , a)上为减函数.(4分)(2)由(1)知，当aw。时，函数f(x)至多一个零点，不合题意；当a>0时，f(x)的最小值为f(a),1依题意知 f(a) =1 + lna<0,解得 0<a<e.(6 分)一方面，由于1>a, f(1) =a>0,函数f(x)在(a, +°°

19、)为增函数，且函数 f(x)的图象在 1)上不间断.所以函数f(x)在(a, +8)上有唯一的一个零点.另一方面，因为 0<a<1,所以0<a2<a<1. ee12 2a-1f(a 2) =； +In a2=： +2ln a,令 g(a) =1+2lna,当 o<a<e时，g' (a) =- 7+a= -a<0,所以 f(a 2) =g(a) =+2In a>g=e2>0. ae 又f(a)<0 ,函数f(x)在(0 , a)为减函数，且函数 f(x)的图象在(a2, a)上不间断, 所以函数f(x)在(0 , a)有唯

20、一的一个零点.综上，实数a的取值范围是0, 1.(10分)e设 p= Xif (Xi)+X2(x 2) = 1F1= 2 十 一.Xix2xix2In xi+；= 0,xi又则 p= 2+In (x ix2).(i2 分)In x2+ = 0,x2下面证明xix2>a2.不妨设xi<x2,由知0<xi<a<x2.2要证 xix2>a： 即证 xi>.x22 a因为xi, xC(0, a),函数f(x)在(0 , a)上为减函数,2所以只要证f a >f(x i).x22又 f(x i) = f(x 2) = 0,即证 f - >f(x 2)

21、.(i4 分)x22设函数 F(x) = f f(x) = - - - 2ln x+ 2ln a(x>a). xa x(x-a) 2所以 F'(x)=F>0,所以函数F(x)在(a , +°°)上为增函数.所以 F(x 2)>F(a) =0,2 a 所以f x； >f(x 2)成立.从而xix2>a2成立.所以 p= 2+ In (x ix2)>2 In a+ 2,即 xif' (x i) + x2f' (x 2)>2 In a+ 2 成立.(i6 分)20. (i)设等差数列an的公差为d.因为等差数列an

22、满足a4=4,前8项和&=36,ai+3d=4,ai = i, 所以 8X 7 解得8ai + 2-d = 36,d= i.所以数列an的通项公式为an=n.(3分)(2)设数列b n的前n项和为Bn.IT由(1)及七(叫做“+1 也>+2” = 3<2" 1) (w 6、*)得.V3(才一1=一A - 1(Eq%- n )+2%I3(2" 1-1) =(跖匕_131)+2(刀1)02).*-i由一得3(2 1) 3(2 1) = (b 1 a2n 1 + b2 a2n 3+ + bn ia3+ bnai + 2n) (b ia2n 3+ b2a2n5+

23、 ,，+bn- iai + 2n 2) = b 1(a 2n 3 + 2) + b2(a 2n-5 + 2) + bn i(ai+2) + bnai + 2n (b ia2n-3+ b2a2n 5+ + bn iai + 2n 2)=2(bi+b2+ bn i)+bn+2=2(Bn bn) + bn+ 2.n 1*所以 3 2= 2Bn-bn+2(n >2, nCN),又3(21 1) = biai + 2,所以bi = 1,满足上式.所以 2R b+2=3 2 nT(nC N*),(6分)当 n>2 时，2B-1bn-1 + 2 = 3 2 n2,由一得，bn+bn 1=3- 2

24、 n 2.(8 分)bn-2nT= - (bn 1-2n 2)= -= (-1)n1(bi-20) =0,所以 bn=2nT, F =2,bn所以数列b是首项为1,公比为2的等比数列.（10分）彳年即3m记cn咕由得，an ncn=二，Cn+1n+1一，-,所以=n7<1,所以Cn>Cn+1(当且仅当n= 1时等号成立).Cn2nam 3ap由bmr K,倚 Cm= 3Cp>Cp,所以n<p.(12分)设 t = p mm! p, t C N),2”Y得"为当t = 1时，m= 3,不合题意；当t = 2时，m= 6,此时p=8符合题意;当t = 3时，m=

25、9,不合题意；5当t = 4时，m= 7；<1,不合题意. 一一 .一*、. rU卜面证明当t>4, tCN时，m= 233<1.不妨设 f(x) = 2x-3x-3(x>4), 贝U f ' (x) = 2xln2 -3>0,所以函数f(x)在4, +8)上是单调增函数，所以 f(x)>f (4) =1>0,* ,3t.所以当t>4, tCN时，mr2<1,不合题意分)am 3 ap综上,所求集合（ m P）l bm= TP m pC N=（6 ,盼（161 021A由题意知（MN-= 40 2则 MN=1 .（4 分）0 2因为

26、N=所以矩阵M=100202 .（6 分）4 0n d .（10 分）0 1B. （1） 直线l的极坐标方程可化为7t7tr-P （sin 0 cos-4" cos 8 sin _4） ="2, 即 p sin 8 一P cos 8 = 2.又 x= p cos 0 , y= p sin 0 ,所以直线l的直角坐标方程为xy+2 = 0.（4分）x = t ,2(2)曲线C 2 (t为参数)的普通方程为x2=y. y=tx = y,2由得 xx 2=0,x-y+2= 0所以直线l与曲线C的交点A(-1, 1) , R2, 4).(8分)所以直线l被曲线C截得的线段长为 AB

27、=d (12) 2+ (1 4) 2=372.(10分) C.由柯西不等式，得a2+ 1 + b2+ 1+ c2+ 1（a2+1） + （b2+1） + （c2+1）（ + Vc2+1 c、）2=9, （5 分）,111999 八所以 a2+ 1 + b2+ 1 + c2+ 1 >a2+b2+c2+3> 13 = 4.（10 分 ）22. (1)记“X是回文数”为事件 A.9个不同的2位“回文数”乘以 4的值依次为44, 88, 132, 176, 220, 264, 308, 352, 396,其中“回文数”有 44, 88.所以事件A的概率P(A)=2.(3分)9(2)根据条件知，随机变量 E的所有可能取值为0, 1, 2.由(1)得 P(A)=2.(5 分)9设“Y是回文数”为事件 B,则事件A, B相互独立.20 5根据已知条件得，P(B)=9.P(- 0)=P(A)P(B) =(1 2)X(1 5)=28； 998 125 2543P(E= 1)=P(A)P(B) +P(A)P(B) =(1 -9) X9 + gX 1-g =而；2 5 10 八P(E= 2)=P(A)P(B) =