两个平面垂直的判定和性质教案

1、两个平面垂直的判定和性质教案教学目的（1）使学生掌握两个平面垂直的判定定理、性质定理及它们的证明，并学会加以初 步运用.（2）通过本节内容的引入与命题的构造、完善、论证过程，对学生进行观察、实践、 猜测、联想、分析、论证等思维能力的培养.教具制作用两个矩形铁丝框架焊制成两个互相垂直的平面的模型（如图1）,并在两个平面的 交线CD上取点B，在点B处焊上两个用铁皮卷成的插孔BM、BN；再备两个可以插 入插孔的粗铁丝段，使插入以后可以表示二面角aCD-3的平面角.教学过程、引入新课师：前一节课，我们学习了二面角、直二面角、两个平面垂直等概念（为了本节课“引入”的需要，特地把“a丄卩”的概念移至上节课

2、），今天我们学习“两个平面垂直的判定和性质”.（板书课题后，随即出示小黑板，引入命题.）存直线誦口半面 J 甘可以有以下三料关al aca, alp,如果任意取其中两个作前提，另一个作结论构造命题，能构成几个命题，并判断其真假.提出问题，引起思维.学生画图形，搭模型一一用课本、桌面作平面，铅笔作直线，积极思考，相互议 论；教师巡视，及时给予以个别启发、指导.估计学生能构成三个不同的命题：0二丄B ： （2）“日匚a J是真命题，（2）、（可均是假命题.教师可鼓励学生大胆猜想与判断对于学生回答不完善时，教师给予及时引导，点拨、证明定理（教师针对学生的回答先板书，再演示教具，印证“猜测”.）师：对

3、于命题（1）.欲证a丄卩，须判断二面角aCD-3为直二面角，为此须 作出其平面角（图2）.（在教具模型上，再插入线段EM,即在3内作BE丄CD.）这样, 得到二面角aCD3的平面角/ABE，从而由/ABE=90。证明了a丄3.把问题交给学生，让学生在对模型进行观察、分析后提出猜想，并在议论和印证 中发现了两个平面垂直的判定定理（暂且还未揭示）的内容及其证明方法，从而增强学生 学习中的发现因素和探索机会，有利于培养学生的思维能力和探索精神.二玄匚。这三个命接着，在学生思考探究的基础上，让学生通过模型，考察命题（2）.师：（指着模型）现在让我们来考察、探究命题（2）的真假（图3）.（学生摆弄手中自

4、搭的模型，观察思考着“由a丄卩，a内的直线a能与平面卩垂直吗？”）生甲：“不能！”生乙：“不一定能！”教师肯定了后者，a不一定垂直于 卩，如图3中直线a,故命题（2）不真接着, 激励学生进一步探究.师：对于命题，談否在口丄p ,。的条件下”再増加某些条件，使沁P的结论成立呢?（学生在各自的桌面上用书本、铅笔构造模型，摆弄 讨论并提出猜想.）生：增加a丄CD的限制条件后，即能判定a丄卩即alp1a1 B = a a cci al CDJ=al P (21)师：现在，我们给出命题（2的证明.师生共同活动完成证明过程再次结合教具，插入线段AN（图2）,表示a丄CD,a在a内的各种位置后，进行厦12为

5、利用aCD卩为直二面角的条件，从而添置辅助线，插入线段EM图2）,即在 卩内作EB丄CD，一方面AB丄OD，另一方面由/ABE=90。，得到AB丄BE,从而a丄卩.这里揭示了命题（2的形成过程：在处于命题（2）的阶段是初露端倪，经过分析、对 比、猜想、抽象、印证，形成了命题（2这个过程，有利于发展学生的数学思维，如果 不讲过程，不讲背景，容易使学生的思维呆板此外，启发学生学习的主动性与创造性 的关键不在于频繁的提问，而在于“创造问题的情境”，如本段教学中出现了命题（2）不真的矛盾，如何使其“真”，并再证明其真，这就创造出一种使学生能够积极思维的 环境.有了完善命题（2）的经验和乐趣，学生带着浓

6、厚的兴趣投入完善命题（3）的实践中.师：由摆弄模型（包括学生自搭的）可知，由a丄卩，a丄卩，显然a不一定在a内, 如图4中直线a.为了达到a二a的结论，需要增加什么条件？生：a须经过a内的一点P（图4）.（教师板书.）Q1P1a ?PEa卜= 日匸a(31)Pc aJ师：对于命题（3的证明，先请同学们回忆一下，证明直线在平面内常用什么方法?（估计学生会回答：“同一法”或“反证法”.）师：我们不妨用同一法试试.（教师简述“同一法”证题的三个步骤：符合结论的作图，图形符合条件的证明， 唯一性”的说明.接着启发、诱导.）师：如何就本题的条件证明“a二a”的结论呢？证：PAC所在的平面垂直于PBC所在

7、的平面.（学生思考、议论后回答.）生：在平面a内过点P作b垂直于平面a、卩的交线C,由命题（2判断b丄卩.（教师肯定并鼓励学生的严密思考，继续允许学生再发表意见，并启发学生另一种 证法：在a内过啡b丄c,:曰丄B cc Palc在a内.过一点H乍直线的垂线的唯一性卜=弘b重合.）师：从不同的“唯一性”为出发点，证明了命题（3至于“反证法”的证明，同学们课外去思考.“同一法”的三个步骤由教师扼要表述，这是教师给予学生在知识上的必要的铺 垫，以减少思维障碍，使学生的议论、猜想、证明得以顺利的进行.师：（画龙点睛地）通过构造命题，探索真伪，猜想论证，得到了三个正确的命题. 其 中命题（1）用来判断a

8、丄卩，故称它为两个平面垂直的判定定理；命题（2、（3称为两个 平面垂直的性质定理现在请同学们完整而确切地表述刚才获得的三个定理.（学生表述，教师点拨，接着要求学生打开课本，阅读两个平面垂直的判定和性质 定理.）充分发挥课本作用，引导学生看书、消化、回味、思考，有利于学生基础知识的 学习与巩固.三、巩固练习师：现在请同学们思考解答课本中总复习参考题A的第2题：“如图5,AB是OO的直径，PA垂直于OO所在的平面，C是圆周上的任意点.求要证明平面PBC丄平面PAC，应该找线面垂直关系.（让学生思索、议论启发学生找出一条在平面PBC内的直线BC且与平面PAC垂直在学生的回答基础上，教师边复述，边写出

9、证明过程.）师：还有其他证法吗？生甲：可以通过两个平面垂直的定义证明二面角BPCA的平面角是直角，从而证明它们互相垂直.因为/ACB=90。，而它又是这二面角的平面角，所以平面PAC丄平面PBC.（教师板书此学生的想法，然后让大家议论这证法有否问题.）生乙：这里/ACB不是这二面角的平面角， 因为PC不垂直于AC,所以这证法不 对.师：对，不过这个问题是肯定可以用定义证明的，关键是APCB的平面角如何作，同学们课后研究解决.留有悬念，并把课内引向课外.（小结、作业均略.）教案说明（1）课本中“两个平面垂直的判定和性质”一节教材仍按人民教育出版社的教学 参考资料的参考意见安排三课时，但在内容上作这样安排：第一课时即本课授课内容； 第二课时以课本习题为依据进行判定定理、性质定理的应用训练；第三课时进行淀靈的綜皆训臨臥矗公式临F二何荷7丙云爲盯凹的运臥（2）本课的结构为：“创设问题一一模型实践一一猜想探究一一指导论证一一归纳 升华一一应用实践示意图如下：(3)本课教学在“三论”(即信息论、系统论与控制论)的指导下，