高中数学-概率(高考真题+模拟新题)(文科)

1、高中数学-概率（高考真题+模拟新题）（文科）K1随事件的概率12. K1浙江卷从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可 能）取两点，则该两点间的距离为 岑的概率是.212.2 解析从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机选取两点，5共有10种取法，该两点间的距离为 乎的有4种，所求事件的概率为42P P 10 5.K2古典概型15. K2 重庆卷某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门 文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 网数字作答）.115.5 解析6节课共有A6=720种排法，相邻两节文化课间至少间隔1节5艺术课排

2、法有A3A4=144种排法，所以相邻两节文化课间至少间隔1节艺术课的概率为740=5.18. K2江西卷如图 16,从 A1（1,0,0）, A2（2,0,0）, B1（0,1,0）, B2（0,2,0）, C1（0,0,1）, C2（0, 0,2）这6个点中随机选取3个点.（1）求这3点与原点。恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；（2）求这3点与原点O共面的概率.计Ci*B! ft；18.解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取 2 个点的有 A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,AiA2c2,共 4 种；y 轴上取 2 个点的有 B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,

3、B1B2C2,共 4 种；z轴上取 2 个点的有 C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共 4 种；所选取的3个点在不同坐标轴上有 A1B1C1, A1B1C2, A1B2C1, A1B2C2, A2B1C1, A2B1C2, A2B2C1, A2B2c2,共8种.因此，从这个6个点中随机选取3个点的所 有可能结果共20种.(1)选取白这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有： A1B1C1, A2B2c2,共2种，因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点 ，一 21的概率为p=20= 10.选取白这3个点与原点。共面的所有可能结果有：A1A2B1,A1

4、A2B2,A1A2C1, A1A2c2, B1B2A1, B1B2A2, B1B2C1, B1B2c2, C1C2A1, C1C2A2, C1C2B1, C1C2B2, 共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P = 12 = 3.20 510. K2安徽卷袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、 2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()A.5B.53c.54D.510. B 解析用列举法可得：从袋中任取两球有 15种取法，其中一白一 黑共有6种取法，由等可能事件的概率公式可得 p = 3 = 2.15 515. 11、K2 天津卷某地区有小学21所

5、，中学14所，大学7所，现采用 分层抽样的方法从这些学校中抽取 6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，列出所有可能的抽取结果；求抽取的2所学校均为小学的概率.15.解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.（2）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为Ai,A2, A3,2所中学分别记 为A4, A5,大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为Ai, A2, Ai, A3, Ai, A4, Ai, A5, Ai, A6, A2, A3, A2, A4 , A2, A5 , A

6、2, A6 , A3, A4, A3, A5 , A3, A6, A4, A5, A4, A6 , A5, A6,共 15 种.从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B）的所有可能结果为 Ai, A2, Ai, A3, A2, A3,共 3 种.一3 1所以 P（B）= 15= 1.18. K2、B10、I2课标全国卷某花店每天以每枝5元的价格从农场购进 若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花 作垃圾处理.（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：枝，nCN）的函数解析式；（2）花店记录了 100大玫瑰花的日需求

7、量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位: 元）的平均数；若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需 求量发生的概率，求当天的利润不少于 75元的概率.18.解：（1）当日需求量 17时,利润y= 85.当日需求量n<17时，禾I润y=10n85.所以y关于n的函数解析式为10n-85, n<17, 85, n>17(n N).（2）这100天中有10天的日禾I润为55元，20天的日禾I润为65元，16天 的日利润为75元，5

8、4天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1," C、八标(55X 10+ 65 X 20 + 75X 16 + 85X 54)= 76.4.利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为p = 0.16+ 0.16+0.15+ 0.13+0.1 = 0.7.17. 12、K2 广东卷某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图 如图 14 所示，其中成绩分组区间是：50,60), 60,70), 70,80), 80,90), 90,100.(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这1

9、00名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的 人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在50,90)之外的人数.分数段50,60)60,70)70,80)80,90)x : y1 ： 12 ： 13 : 44 : 517.解：(1)由频率分布直方图可知(0.04+ 0.03+ 0.02+ 2a) X 10 = 1.所以 a= 0.005.(2)该100名学生的语文成绩的平均分约为7 = 0.05X 55+ 0.4 X 65+ 0.3X 75+0.2 X 85+ 0.05X 95= 73.(3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数 比，可得下表：分数段50

10、,60)60,70)70,80)80,90)x5403020x : y1 : 12 ： 13 : 44 : 5y5204025于是数学成绩在50,90)之外的人数为100- (5+20+40+25)=10.17. D2、D3、K2福建卷在等差数列an和等比数列bn中，a=b1 = 1, b4=8, an的前 10 项和 S10 = 55.(1)求 an和 bn；(2)现分别从an和bn的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件， 并求这两项的值相等的概率.17.解：(1)设an的公差为d, bn的公比为q.依题意得10X93 -Sio= 10+ 2 d=55, b4=q =8,解彳# d =

11、 1, q= 2,所以 an=n, bn= 2n 1.(2)分别从an, bn的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有 9个： (1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4).符合题意的基本事件有2个：(1,1), (2,2).2故所求的概率P=-93一 56. K2江苏卷现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的 等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于 8的概率是.解析本题考查等比数列的通项公式的运用以及古典概型的求解.解 题突破口为等比数列通项公式的运用.由通项公式an=ix( 3)n1得，满

12、足条件的数有1, 3, 33, -35, 37, 39,共6个，从而所求概率为P=3.519. 14、K2辽宁卷电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100名观众进行调查，其中女性有 55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.(1)根据已知条件完成下面的 2X2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?非体育迷体育迷合计男女合计(2)将日均收看该体育节目不低于 50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级

13、体育迷”中任意选取 2人，求至少有1名女性观众的概率.附：2 =2 n niin22n12n21n1+n2+n+1n+2 'P（百 k）0.050.01k3.8416.63519.解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的 100人中，“体育迷”为25 人，从而完成2X2列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将2X2列联表中的数据代入公式计算，得22n niin22n12n21100X 30X10 45X 15100= =ni+n2+n+in+275X 25X45X5533= 3.030.因为3.030<3.841,所以我们没有理由认为 “体育

14、迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5个，从而一切可能结果所 组成的基本事件空间为Q= (a1，a2), (a1, a3), (a2, a3), (a1，b1), (a1，b2), (a2, b1)，(a2, b2), (a3, b1), (a3, b2), (b1, b2).其中ai表小男性，i= 1,2,3, bj表小女性，j=1,2.。由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的.用 A表示 “任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A=(a1，b1), (a1，b2), (a2, b1), (a2, b2), (a3, b1)，(a3, b2), (

15、b1, b2),事件A由7个基本事件组成，因而P(A)=18. K2山东卷袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为 0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求 这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4的概率.18.解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为 A, B, C,标号为1,2的 两张蓝色卡片分别记为D, E.从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (B, C), (B,

16、D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E).共10种.由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A, D), (A, E), (B, D),共 3种. 3所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为定.(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,D), (A, E),(A,F), (B, C), (B, D), (B,E), (B,F), (C,D),(C,E),(C,F), (D, E),(D,F), (

17、E, F),共 15 种.由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这此基本事件的出现是等可能的.从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A, D), (A, E), (B, D), (A, F), (B, F), (C, F), (D, F), (E, F), 共8种.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为捺.19. 12、K2陕西卷假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取 100个进 行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产

18、品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率.5+20 119.解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为 丁b = 4,用频率估计 一一，1概率，所以，甲品牌产品寿命小于 200小时的概率为4.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75+ 70= 145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于 200小时的产品是甲品牌的频率是杂=15,用频率估计概率，所以已使用了 200小时的该产品是甲品 145 29牌的概率为15. 29K3几何概型11. K3辽宁卷在长为12 cm的线段AB上任取一点C,现作一矩形，邻 边长分别等于线段AC, CB的长，则该矩形面积大于20

19、 cm2的概率为()A.6 B.3 C.3 D.511. c 解析本小题主要考查几何概型.解题的突破口为弄清是长度之比、 面积之比还是体积之比.令 AC=x, CB=12x,这时的面积为 S= x(12x),根据条件 S= x(12x)>20102 2 ? x2-12x+ 20<0? 2<x<10,矩形面积大于20 cm2的概率P = F=% 故而答 123案为C.10. K3湖北卷如图13,在圆心角为直角的扇形 OAB中，分别以OA, OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率 是()图1 31 1122C. 1一 D 冗 冗10. C

20、解析如下图所示,不妨设扇形的半径为2a,记两块白色区域的面积分别为Si, S2,两块阴影1 c “部分的面积分别为 S3, S4,则S1 + S2+S3+S4= S扇形OAB= 4兀(2)=必，而S1 + S3与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆的面积，即S1+S3+S2+S3 =旧2.由一得S3=S4；又由图可知S3=S 扇形 eod+ S扇形 cod -S正方形 oedc=2 ：a2 a2,所以S阴影=：a2 2a2. .S月影g22a22故由几何概型概率公式可得， 所求卞S率P=sab = 者=1 号故选C.0< x<2,3. E5、K3北京卷设不等式组表示的平面区域为 D

21、.在区域0< y<2D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（冗A.4九一 2B.-2-D.4 Tt43. D 解析本题考查了线性规划、圆的概念、圆的面积公式以及几何概 型公式等基础知识.,S2rz S s S2 S S1 4 Tt如图所小，P S = 4 .K4互斥事件有一个发生的概率17. K4湖南卷某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名 员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购1至5至9至13至17件及物量4件8件12件16件以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中一次购

22、物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x, y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2分钟的概率.(将频率视为概率) 17.解：(1)由已知得 25 + y+ 10= 55, x+30=45,所以 x=15, y= 20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1 X 15+ 1.5X 30+2X25+ 2.5X20+ 3X 10100= 1.9(分钟).(2)记A为事件”一位顾客一次购物的结算时间不

23、超过 2分钟”，A1, A2, A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物 的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视 为概率得P(A1) =15 310020'P(A2)=i00= W5 P(A3)=i00= 4.因为A=AU A2UA3,且A1, A2, A3是互斥事件，所以33 17P(A) = P(A1 UA2U A3) = P(A1) + P(A2)+ P(A3)= 20+- + 4 = -故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2分钟的概率为10.18. K4、K5重庆卷甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先

24、投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3次时投篮结束.设甲每次投一一 .一，一、.11 _ 篮投中的概率为乙每次投篮投中的概率为7,且各次投篮互不影响. 32(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了 2个球的概率.18.解：设Ak, Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则1 1P(Ak)=3, P(Bk) = 2(k= 1,2,3).(1)记“乙获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)=P( Ai Bi) + P( A1 Bi A2 B2)+P(Ai Bi A B2 A B3)=P(Ai)P(Bi) + P(Ai)P( Bi )P(A

25、2)P(B2)+ P( Ai )P(Bi)P( A2)P( B2)P( A3 )P(B3)2 i 2 2 i 2=3*2+ 3 2 2 2+i3= 27.(2)记“投篮结束时乙只投了 2个球”为事件D,则由互斥事件有一个发生 的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(D)=P(AiBiA2B2)+P(AiBiA2B2A3)=P( A?)P(否)P(黄)P(B2)+ P( A?)P(亩)P(&) P(点)P(A3)=22i2, 22i2i =43 2 十 3 2 3 27.K5相互对立事件同时发生的概率20. K5全国卷乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 i0平前， 一方连续

26、发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得 i 分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 i分的概率为0.6, 各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.(i)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为i比2的概率；(2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率.20.解：记Ai表示事件：第i次和第2次这两次发球，甲共得i分，i = 0,i,2;Bi表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i = 0,i,2;A表示事件：第3次发球，甲得i分；B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为i比2;C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先.(i)B = A0

27、A+AiP(A)=0.4, P(A0) = 0.42 = 0.i6,P(Ai) = 2X 0.6X0.4 = 0.48,P(B)=P(A0 A+ Ai A)= P(A0 A) + P(Ai A )= P(Ao)P(A) + P(Ai)P(A)= 0.16X 0.4+0.48X (1 0.4)= 0.352.(2)P(Bo) = 0.62 = 0.36, P(Bi)=2X0.4X 0.6=0.48, P(B2)= 0.42 = 0.16, P(A2) = 0.62 = 0.36.C = Ai B2+A2 B1 + A2 B2P(C)=P(Ai B2 + A2 B1 + A2 B2)=P(A1 B

28、2) + P(A2 B1) + P(A2 B2)=P(A1)P(B2)+ P(A2)P(B1)+ P(A2)P(B2)=0.48X 0.16+ 0.36X 0.48+ 0.36X 0.16 = 0.307 2.18. K4、K5重庆卷甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投 且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3次时投篮结束.设甲每次投 一一 .一，一、.11 _ 篮投中的概率为O,乙每次投篮投中的概率为5，且各次投篮互不影响.32(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了 2个球的概率.18.解：设Ak, Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则 11P(Ak)=3, P

29、(Bk) = 2(k= 1,2,3).(1)记“乙获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同 时发生的概率计算公式知P(C)=P( A1 B1) + P( A1B1 A2 B2)+P(A1 B1 A2 B2 A B3)=P( A1 )P(B1)+ P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)+ P(A1)P(B1)P( A2)P( B2)P( A3 )P(B3)2232 1=-x -+3 2 i327.(2)记“投篮结束时乙只投了 2个球”为事件D,则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(D)=P(AiBi A2 B2)+ P( AiBi A2 B2

30、A3)=P( Ai )P( Bi )P( A2 )P(B2)+ P( Ai )P( Bi )P( A ) P( B2 )P(A3)=22i24 22i2i 3 23 2 3 27.K6离散型随机变量及其分布列22. K6江苏卷设E为随机变量.从棱长为i的正方体的i2条棱中任取 两条，当两条棱相交时，P 0;当两条棱平行时，己的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，9 i.(i)求概率P(土 0);(2)求己的分布列，并求其数学期望 EG).22.解：(i)若两条棱相交，则交点必为正方体 8个顶点中的i个，过任意i c8c3 8 X 3 4个顶点恰有3条棱，所以共有8c3对相父棱，因此P(2=

31、0) = C；=_66- = ii.Ci2 66 II(2)若两条棱平行，则它们的距离为i或啦，其中距离为 贬的共有6对，6 i故P(仁.户徭=开于是 P(土i)=i P(Q0) P(©V2)=i%>i6r所以随机变量己的分布列是0iV2P(94ii6 iii ii因止匕 E(x)= 1 X>/2x =6；产.K7条件概率与事件的独立性K8离散型随机变量的数字特征与正态分布17. K8、II、I2北京卷近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将 生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾 箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃

32、圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的 投放量分别为a, b, c,其中a>0, a+b+c=600.当数据a, b, c的方差s2最大 时，写出a, b, c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值.、。1-.，汪：s2=n(x1 x )2+(X2- x )2+ (xn- x )2,其中 X 为数据 X1, X2,Xn的平

33、均数17.解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量_4002厨余垃圾总量=400+ 100+ 100= 3.(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件A表示生活垃圾投放正确.事件工的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回 收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量， 即P(A)约为400+240+ 60_1000=07所以P(A)约为1 0.7 = 03(3)当a = 600, b = c=0时，s2取得最大值.一、，-1因为 x =7(a+b+c) = 200,3所以 s2 = 1(600 200)2 + (0 200)2+ (0 200)

34、2 = 80 000. 3K9单元综合17. K9四川卷某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A1 一和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为10和p.(i)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为59,求P的值；(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次 数的概率.17.解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1 P(石)=114910P = 50.右一 1解彳马p = 1.5(2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数"为事件 D，那么 P(D)=C§10 V -10 2+ 1- - 3=1000= 250.答：系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次,、243数的概率为243.250模拟题1.湖北重点中学联考两个袋中各装有编号为1,2,3,4,5的5个小球，分别 从每个袋中摸出一个小球，所得两球编号数之和小于5的概率为.1 . 25 解析总的取球结果有n=5X5 = 25个，满足两球编号之和小于56的试验结果有(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)共6个,故所求概率为P = 2 .绍兴