创造性使用教材培养学生的创新能力

1、创造性使用教材 培养学生的创新能力数学教材在传授基础知识， 形成基本技能， 培养学生创新思 维和能力方面都充分体现了指导性、 权威性和基础性， 为教师的 再创作留有极大的发挥空间。 ?学习数学是循序渐进、由表及里、逐步深入的过程，粗略、 定性和直观的认识往往是创新和发明的火种。 “教师要善于激发 学生的学习潜能， 鼓励学生大胆创新与实践； 要创造性地使用教 材，积极开发、利用各种资源为学生提供丰富多彩的学习素材； ” 要创造有利于开发学生潜能的宽松、无畏而又适度紧张的环境， 使学生心情愉悦、充满好奇心、敢当探险家。 ?教授新课程， 是培养学生创新能力的最佳示范。 传授新知的 过程，是学生掌握基

2、础知识、形成基本技能的起点；是学习和运 用教学思想方法的试验田； 是提出新问题， 解决新问题的创作开 端。 ?拓展研究， 是培养学生创新能力的催化剂。 教师要开发利用 好教材例题的示范与发散功能、 习题的强化与整合功能， 尽力做 到激活一个题，解决一串题。解数学题的核心是转化，转化的目 标是化生为熟，化大为小、化难为易，从而化未知为已知；解数 学题的本质是“把要解的题转化为己解的题”； 解数学题有三种 境界：就题论题，就题论法，就题论道。 ?开发数学潜能， 强化思维训练， 为提高学生的创新能力插上 理想翅膀。青少年学生潜能巨大、可塑性强，不缺乏想象力和创 新能力。记忆力强、思维敏捷，而在计算能

3、力、对代数式及图形 变换的把握能力、 逻辑推导能力与空间想象能力、 数学思维能力 方面需要开发。 系统的训练， 可以开发学生数学潜能的最近发展 区，可以促进学生完善思维构造、 化解思维障碍、 优化思维品质， 形成学科智慧；多向思维训练能充分激发学生的联想与想象能 力。“联想与想象是创新的翅膀，人类正是依靠想象征服世 界。”?初中数学课程标准指出：教师要善于激发学生的学习潜 能，鼓励学生大胆创新与实践； 要创造性地使用教材， 积极开发、 利用各种资源为学生提供丰富多彩的学习素材。 ?据此，笔者的理解是，要培养学生的创新能力，首先教师要 具备较强的创作能力创造性地使用教材、 强化双基、 培养学 生

4、的创新意识和能力； 同时， 教师要创造有利于开发学生潜能的 宽松、无畏而又适度紧张的环境， 使学生心情愉悦、 充满好奇心、 敢当探险家。 ?数学教材是教与学的蓝本。 教材在传授基础知识、 形成基本 技能、培养创新思维和创新能力方面都充分体现了指导性、 权威 性和基础性，为教师的再创作提供了极大发挥空间。简言之，教 材既是知识与能力教学的标杆， 又是创新教学的母体。 笔者试以 人教社义务课程标准实验教科书初中 数学 为依据阐释上述观 点。?1. 教授新课程，是培养学生创新能力的最佳示范布鲁纳指出：教学，就是帮助或形成学生智慧及认知的生长； 教师的任务，是要把知识转化成一种适应正在发展着的学生形

5、式。 ?传授新知的过程， 是学生掌握基础知识、 形成基本技能的起 点；是学习和运用教学思想方法的试验田；是提出新问题，解决 新问题的创作开端。教师的根本任务是引领学生主动地从事观 察、实验、猜测、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己 对数学知识的理解和有效的学习策略。 ?例如，§7.2.1 三角形内角和定理的证明， 其内容学生在小 学里有一定认识， 现在的任务是实现从验证几何跨越到论证几何 的理性升华和思想方法的创新。 ?遵循“认识首先是粗略的、定性的、直观的，然后才是精确 的、定量的、抽象的”规律，可以根据不同学习时段学生所具备 的知识、方法与能力，设计出渐进的、创新的证明方法

6、。 ?证明三角形内角和定理方案设计如表1： ?表1 证明三角形内角和定理方案设计学段证法图示操作方法主要原理备注初一实验几何法 将 ABC的三个内角剪下，拼成以 A为顶点的平角。将 ABC的三个内角剪下，拼成以 C为顶点的平角。平角为180?证法的萌芽逻辑论证法过点A作？/ BC过点C作CE/ AB过点 A作AD/ BC® 过点A、B、C作a/ b/c两直线平行，内错角相等，同位角相 等，同旁内角互补。证法的理性升华。初二逻辑论证法将 ABC的三个顶点折叠至与 A'点重合，构成以点A'为顶 点的平角。轴对称性质。在 ABC平面上任选一点 O过点0 作三边的平行线，把三

7、个内角拼成以 0为顶点平角。平移与中心 对称性质。新新数学理论的应用。上述证明过程由繁到简， 由具体到抽象， 这印证了“证明数 学定理过程的简化， 伴随着数学的发展， 既是新数学理论的一个 精彩应用，又为新数学理论的诞生注入活力”。 ？上述教学过程也肤浅的说明了学习数学是循序渐进、 由表及 里、逐步深入的过程，粗略、定性和直观的认识往往是创新和发 明的火种。 ？2. 拓展研究，是培养学生创新能力的催化剂 教材体例呈现了基础性（思考、探究、归纳；复习巩固、综 合应用、拓广探索）和开放性（数学活动，课题学习；阅读与思 考，观察与猜想，实验与探究）。层次清晰、内容丰富，旨在 强化基础，且鼓励探索、尝

8、试与创新。 ？解数学题的能力是衡量学生数学涵养的一把尺子， 也是对照 教师数学智商的一面镜子。 初中数学课程应着重于基础性、 普遍 性和通用性， 以及与高中数学衔接的内容， 而不强调某些特殊的 技巧。因此，教师的主要精力应投放在开发利用好教材例题的示 范与发散功能、习题的强化与整合功能。尽力做到激活一个题， 解决一串题。力争以少胜多、事半功倍。附表 1 证明三角形内角和定理方案设计 初三逻辑论证法将带箭头的射线依次绕各顶点旋转三个内角（/a、/B、/丫）的度数后，观察起始与终止两个位置上带箭头的两条射线方向恰好相反。这说明整个过程旋转了 180°旋转性质。新数学理论的应用。?2.1

9、适时拓展典型例题，是培养学生创新能力的推进剂。 例题，即典例示范。例题的作用是引领学生经历分析与推 理计算，转化与迁移，拓广与探索、创新等数学活动，初步完成 知识、技能、思想方法的整合与运用。 ?例如，§ 24.2.2 直线和圆的位置关系一节中例 2 的拓展研 究过程如下： ?如图"， ABC的内切圆00与BC CA AB分别切于点 DE、F,且 AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm. AF,BD,CE的长。？图 11解：【方程思想】 ？方法（ 1），列一元一次方程。 ？【观察与思考】O0内切于 ABC切线AE, BF, BD CD CE相当于分别从OO外的A、B、

10、C三点所引OO的两条切线，且 AB=AF+BF BC=BD+C,DAC=AE+C。根据切线长定理，有 AE=AF BF=BD, CD=CE。 ?将上述内容整合为下符号语言： ?【推理与计算】设AF=Xcm则AE=X,CD=CE=AC-CE=13-X,BD=BF=AB-AF=9-X. ?【化生为熟】 由 BD+CD=B（可得（13-X） +（9-X）=14?解得 X=4?因此, AF=4cm, BD=5cm, CE=9cm。 ?方法（ 2）,列三元一次方 ?组。 ?设 AF=Xcm BD=Yem CE=Zgn则 AE=X BF=Y CD=Z.?由 AB=9em BC=14em AC=13e可得X

11、+Y=9 Y+Z=14 Z+X=13 ？ +得 2（X+Y +Z）=36, 即 X+Y +Z=18 ? 由-，-，-得Z=9, X=4 , Y=5?【拓展研究】.求厶ABC的面积（根式运算）；？ .求OO的半径（几何图形面积的自分性与自等性）； .当厶ABC的周长为？，OO的半径为r时，求 ABC的面 积（由特殊到一般）； ? .当厶ABC为直角三角形，两直角边分别为 a、b ,斜边 为c，求OO的半径r （由一般到特殊）;? 点G是DE上的一个动点，过点 G作00的切线MN分别交CA CB于点M N。 CMN勺周长是否发生变化？说明理由（动中求静）。 ?2.2 适当拓展精典习题，是培养学生创

12、新能力的演练平台。 解数学题的核心是转化； 解数学题的本质是“把要解的题转 化为己解的题”； 转化的目标是化生为熟， 化大为小、化难为易， 从而化未知为已知。因此，习题辅导的过程，就是引领学生从习 以为常中变换背景或视角，提出新问题、转化为熟知问题，进而 解决问题的转化与迁移的探索、创新过程。 ?教科书中“数学活动、 ”“课题学习”内容， 以及“拓广探 索”部分的习题， 为教师留下了再创作空间， 教者可视具体内容、 学生与学段实情适度拓展。 ?例如，§24 圆的章末复习【拓广探索】 14题：?如图12,00的直径AB=12cm AM和BN是它的两条切线，DC切00 于 E,交 AM于

13、 D 交 BN于 C。设 AD=x BC=y 求 y 关 于 x 的函数关系，画出它的图像。 ?图 12解：（过程略） ?y与x的函数关系为y=36x （x>0）;函数图像（略）。？【拓展训练】在函数图像上有 p（m,36m）, Q （m+2,36m+2） 两点，当 OPC的面积为36 cm?2时，求P、Q两点的坐标 （分式方程，根式运算）; ？ 若 x 、 y 是方程 2t?2-30t+m=0 的两根，求 x 、 y 的值 (解一元二次方程) ? 连接AE、BE ,分别交OD、OC于Q、P。证明：四边 形OPEC为矩形(由一般到特殊)；？ 梯形ABCD的周长何时最小？并求出这个最小值(

14、探索创 新) ？解析：略，第小题，在初中范围内是完全平方式非负性的创新应用，在高中范围内是均值不等式的典型应用。 ？设 梯形ABCD勺周长为?cm ,则？=12+2(x+y)？=12+2(x+36x)？【转化与迁移】联想 (a+1a)？2？0 ，构造完全平方式求最大 (小)值。 ？v x> 0,二？=36+2(x -6x )?2?又 (x -6x )?2 ?0?当x -6x =0 ，即x=6时，？有最小值，？最小？=36 (cm)【联想与思考】此时，梯形 ABCD已变为矩形ABCD点E在 CD的中点处。？解数学题有三种境界：就题论题，就题论法，就题论道。 ? 就题论题是指解决问题只囿于问

15、题本身，问什么，答什么。不论方法，不思变式。 ？就题论法的关注点是在“法”上，问题本身仅仅是一个工具、载体，思考解决问题的一般方法， 明确建立能举一反三的“通 法”才是根本。 ?就题论道是解题的最高境界， 在这个过程中， 不只是学习一 般的解题方法， 而是由联想推广到一般的结论， 力争找出反映问 题本质属性的规律在“题”上反映思维性， “法”上降低思 维度，“道”上优化思维品质。 ?3. 开发数学潜能，强化思维训练，为提高学生的创新能力 插上理想翅膀数学潜能，主要表现在( 1)记忆力，( 2)计算能力、对代 数式及图形变换的把握能力， (3)逻辑推导与空间想象能力 (4) 数学思维能力。且数学

16、思维能力是各种能力的支撑。 ?青少年学生并不缺乏想象力和创新能力， 只是略显幼稚和粗 糙。限于篇幅，笔者略举一例： ?§ 22. 2降次 解一元二次方程复习巩固中有这样一题：“用分解因式法解方程： 3x?2-12x=- 12. ”习惯思维是把原 方程化为 x?2-4x+4=0 ，即 (x-2)?2=0 。然而，始料不及的是， 竟有学生把原方程化为 “ (3x -6)(x-2)=0 ，”更让人惊讶的形 式是“ (3x -23)?2=0 。”这两种分解方式，可以说是“愚笨之 作，”也可以说是“聪明之举”，笔者更愿意评价为“创新之 笔。”因为，常规思维无法产生这些新颖而独特的想法。所以， 教师的