物理中求极值的常用方法

1、物理解题中求极值的常用方法运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。另外很多学生数、理结 合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点” 。学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提 供多种求极值的方法。求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面 重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数 y=ax 2+bx+c,b 4ac b2 若 a>0,则当 x=- b 时 ,y 有极小值，为 ymin=

2、4ac b 2a 4ab 4ac b 若 a<0,则当 x=-时 ,y 有极大值，为 ymax =2a 4a2、利用一元二次函数判别式求极值对于二次函数 y=ax2+bx+c ，用判别式法 利用 b2-4ac 0。 （式中含 y） 若 y A ，则 ymin A 。 若 yA，则 y max A 。3、利用配方法求极值对于二次函数 y=ax2+bx+c ，函数解析式经配方可变为 y=（x-A） 2+常数：（1）当xA 时，常数为极小值； 或者函数解析式经配方可变为 y = （ xA ）2+常数。（2）当 xA 时，常数为极大值。4、利用均值定理法求极值ab均值定理可表述为 ab ，式中

3、a、 b 可以是单个变量，也可以是多项式。2当 a b 时， （a+b）min 2 ab 。当 a b 时，(a+b) max(a b)225、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为1A“y=Asin cos ”的形式，则 y= Asin2 ，在 =45o时， y 有极值 。22对于复杂的三角函数， 例如 y=asin +bcos，要求极值时先需要把不同名的三角函数sin和 cos，变成同名的三角函数，比如 sin（ + ） 。这个工作叫做“化一” 。首先应作辅助角如所示。考虑 asin +bcosaa2 b 2图1sincos

4、 )a2 b 2 a2 b2 (cos sin +sin cos )22 a b sin( + ) 其最大值为 a2 b2 。6、用图象法求极值 通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。7、用分析法求极值 分析物理过程，根据物理规律确定临界条件求解极值。下面针对上述 7 种方法做举例说明R2 3 欧，?最大值例 1：如图 2所示的电路中。电源的电动势 12伏，内阻 r0.5欧，外电阻 R12 欧， 滑动变阻器 R35 欧。求滑动变阻器的滑动头 P 滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值 是多少 ?bV b分析：设 aP 间电阻为 x，外电路总电

5、阻为 R. 则：图2(R1 X)(R2 R3 X)R1R2R3(2 X)(3 5 X)235(2 X)(8 X)10先求出外电阻的最大值 Rmax 再求出伏特计示数的最大值 Umax。本题的关键是求x，下面用四种方法求解 Rmax。方法一 用顶点坐标法求解 抛物线方程可表示为 yax2+bx+c 。2考虑 R(2 x)(8 x) = x2 6x 16，10 = 10设 y-x2+6x+16 ，b 6(3)2 6 3 16当 x 3时， Rmax(3)2.5。2a 2( 1) 10方法二 用配方法求解22考虑 R (2 x)(8 x) x2 6x 16 = (x 3)2 2510 10 = 10

6、25即 x 3时， R max2.5。10方法三 用判别式法求解考虑 Rx 2 6x 1610，则有 -x2+6x+16-10R 0， b2-4ac36-4(-1)(16-10R) > 0，即： 100-40R 0，R2.5，即 Rmax 2.5。方法四 用均值定理法求解考虑 R (2 x)(8 x) ，设 a 2+x； b 8-x。10当 ab 时，即 2+x 8-x ，即 x3时， Rmax(3) (2 3)(8 3) 2.5。102也可以用上面公式 (a+b) max (2 x)(8 x) 25，Rmax (a b)max 25 2.5。10 10以上用四种方法求出 Rmax 2.

7、5，下边求伏特计的最大读数。12Imin 4(A) 。Rmax r 2.5 0.5的中点 2.5处，伏特计有最大值，最大值为10 伏。Umax- Iminr12-4 0.5 10(V) 。即变阻器的滑动头 P滑到 R3例 2：如图 3 所示。光滑轨道竖直放置， 半圆部分的半径为 R，在水平轨道上停着一个质量为 M 0.99kg 的木块， 一颗质量为 m 0.01Kg 的子弹， 以 V 0=400m/s 的水平速度射入木块中， 然后一起运动到轨道最高 点水平抛出，试分析：当圆半径 R 多大时，平抛的水平位移是最大 ?且最大值为多少 ?图3解析 子弹与木块发生碰撞的过程，动量守恒，设共同速度为V1

8、，则：mV 0 (m+M)V 1，所以：V1= m V0 0.01 400m/s 4m/sm M 0 0.01 0.99 设在轨道最高点平抛时物块的速度为V2，由于轨道光滑，故机械能守恒：1 2 1 2(M m)V12 2(m M)gR (m M )V22 22 所以： V2= (m M)V12 4(M m)gR /(m M)= V12 4Rg42 4R 10 16 40R则平抛后的位移可以表示为：s =V2t =V 24gR(16 40R)4R10 4 R2 0.4R 。因为 a=-1<0,所以水平位移 S 应该存在最大值。当R=2a0.4 =0.2m 时，2 ( 1)Smax 0.8

9、m例 3 ：在一平直较窄的公路上，一辆汽车正以22m/s 的速度匀速行驶，正前方有一辆自行车以 4m/s 的速度同向匀速行驶，汽车刹车的最大加速度为6ms2，试分析两车不相撞的条件。解析 要使二者不相撞，则二者在任一时间内的位移关系应满足12V0t- at 2 Vt S （式中 S 为汽车刹车时与自行车间距）2代入数据整理得： 3t2-18t+S>0 ，显然，当满足 b2-4ac 0，即 182-4 3S 0 得： S 27m， Smin=27m 。当汽车刹车时与自行车间距为27 米时是汽车不与自行车相撞的条件。m 的小球从静止开始由车 地面对小车的摩擦力最大 ?例 4 ：如图 4 所示

10、。一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为 顶无摩擦滑下， 且小车始终保持静止状态， 试分析： 当小球运动到什么位置时， 最大值是多少 ?V，根据机械能守恒定律解析 ：设圆弧半径为 R ，当小球运动到重力 mg 与半径夹角为时，速度为 和牛顿第二定律有：12mV mgR cosN mgcos mR解得小球对小车的压力为： N=3mgcos ，其水平分量为：3Nx =3mgsin cos = mg sin 22根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：3f= N x= mgsin23 可以看出：当 sin2 =1,即 =45o时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：fmax= m

11、g 。2例 5 ：如图 5 所示。质量为 m 的物体由力 F 牵引而在地面上匀速直线运动。物体与地面间的滑动摩擦 系数为 ,求力 F 最小时的牵引角。 (F 的方向是随变化的。 )2图5G解析 ：因物体匀速直线运动，所以有：Fcos -f 0f N (mg-Fsin )即： Fmgcos sin代人得： Fcos - mg+ Fsin 0。分母为两项不同名的三角函数，需要转化成同名的三角函数，也就是需要“化”。由前面的“化一”结论得： a sin +b cos a2 b2 sin( + )考虑本题分母： sin+cos与 a sin +b cos用比较法，得： a； b 1。于是 tg ba1

12、11 ，则 arc tg 1 。所以，sin +cos21 sin( +arc tg )。1 要使 F 最小，则分母 sin +cos需最大，因此， +arc tg 。所以有： -arc tg -arc ctg =arc tg 。即： =arc tg 时， F 最小。作为教师，运用“求导数”对本题验算非常简便。F mg 。考虑 dF 0 ，则有 coscos sin darc tg 。-sin 0则 arc tg ，即当 F最小时，牵引角例 6：甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发，甲做匀加速直线运动，加速度为4 米秒 2， 4 秒后改为匀速直线运动；乙做匀加速直线运动，加速度为 2 米秒

13、2， 10 秒后改为匀速直线运动，求乙追上 甲之前它们之间的最大距离。分析：运用物理规律和图形相结合求极值是常用的一种比较直观的方法。由题意可知， 4 秒后甲做 匀速直线运动的速度为： V 甲=a 甲 t 甲 4 4 16（m s）。乙 10 秒后做匀速运动的速度为： V 乙a乙 t乙2 1020（ms）。可画出 vt 如上图 6 所示。图线在 A（8 ，16）点相交，这表明在 t8 秒时，两物体的速度相等， 因此在 t 8 秒时，两者间的距离最大。此时两图线所围观积之差，就是两者间的最大距离。11即 S max 4 16 + 4 16 22用分析法求极值在物理计算中较常见。8 16 32（m

14、） 。经过对物理状态或过程分析后求极值， 不一定要用繁难的数学，关键是确定临界状态和过程的最值。例 7：如图 7 所示。 AB 、CD 是两条足够长的固定平行金属导轨，两条导轨间的距离为L ，导轨平面与平面的夹角是，在整个导轨平面内部有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B 。在导轨的 AC 端连接一个阻值为 R的电阻， 一根垂直于导轨放置的金属棒 ab，质量为 m，从静止开始沿导轨下 滑。已知 ab 与导轨间的滑动摩擦系数为，导轨和金属棒的电阻不计。求ab 棒的最大速度。解式得：V mg(sin cos )V max2 2 。B2 L2mgsin mgcosRB2L2Vmax =0

15、综上所述，求解极值习题常用的方法列举了七种、即均值定理法、顶点坐标法、配方法、判别式法、B解析 ：采用分析法要注意抓三个环节，即分析物理过程；确定极值状态；运用物理规律求解。金属棒 ab 横截面受力如上图 7 所示。在下滑过程中， ab 受重力 mg ，B 2L2V 支持力 N mgcos，摩擦力 f mgcos，安培力 F。沿R导轨平面有：22B2 L2V mgsin -mgcos-=maab 由静止加速下滑会导致：当 a0 时， ab速度到达最大，即：V Vmax 所以式变为，运用求极值的方法时三角函数中“化一”法、图解法、分析法。针对有些习题所给的条件的“有界性” 要特别注意，求出的极值

16、不能“出界” ，要注意定义域和值域的对应关系。例 8：如图 8 所示。已知电流表内阻忽略不计。10V ，r1， Ro R 4，其中 R 为滑动变阻图8器的最大值。 当滑动片 P 从最左端滑到最右端的过程中，电流表的最小 值是多少 ?最大值是多少 ?电流表的示数将怎样变化 ?解：设滑动变阻器滑片 P左端的电阻为 R 左，通过电流表的电流为 IA，通过 Ro的电流为 Io，由并联电路可知I0R左由欧姆定律得： I R总 r即：R0104R左4 R左4 R左R左I=I 0+IA= IA(R01)把代入式整理得 I A40R2左 5R左20 用配方法对式求极值。IA4040R左 5)2 26.25 左240 当 R 2.5时， IA 有极小值 IAmin 26.52R2左 5R左 201.52