哈密顿正则方程ppt课件

1、ppt课件.15.5 5.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程ppt课件.25.5.1 勒让德变换勒让德变换广义动量qLp拉氏函数);,.,;,.,(2121tqqqqqqLLss(1);,.,;,.,(2121tqqqqqqpss(2)由(2)解得);,.,;,.,(2121tqqqpppqqss (3)定义另外一个函数，称为哈密顿函数);,.,;,.,(2121tqqqpppHHssLqps1其中的 要用(3)代换。q 哈密顿函数的定义式哈密顿函数的定义式ppt课件.35.5.1 勒让德变换勒让德变换哈密顿函数的物理含义哈密顿函数的物理含义若L不显含t, 则常数LqpHs1对于稳定约束系统，H

2、即系统总能量VTH对于不稳定约束系统，H是广义能量VTTH02ppt课件.45.5.1 勒让德变换勒让德变换勒让德变换的规则勒让德变换的规则以上从 到 的变换称为勒让德变换。),(tqqL),(tqpHLqpHs1规则：把要消去的变量( )乘以原函数(L)对该变量的偏导( )后，再减去原函数。q qLpppt课件.55.5.2 正则方程正则方程正则方程的推导正则方程的推导dttLqdqLdqqLdLtqqLLs1),(dLdpqqdpdHLqpHss11)(1)(2)dttLqdpdqps1)(2)代入(1)可得(3)dttLdqpdpqdHs1)(ppt课件.65.5.2 正则方程正则方程正

3、则方程的推导正则方程的推导(3)dttLdqpdpqdHs1)(另一方面dttHdqqHdppHdHtqpHHs1),(4)(3)(4)比较可得哈密顿正则方程 qHppHqs,.,2 , 1 ,以及tLtH若L不显含t, 则H也不显含t.ppt课件.75.5.2 正则方程正则方程相空间相空间s个广义坐标，和s个广义动量，统称为正则变量，它们作为相互独立的变量，张开一个2s维空间，称为相空间。相空间的一点，代表系统可能存在的一个状态，称为相点。随时间变化，相点在相空间移动，划出一条曲线，代表系统状态的演化路径。ppt课件.85.5.3 能量积分与循环积分能量积分与循环积分tHqqHppHdtdH

4、tqpHHs1),(能量积分能量积分tHpHqHqHpHs1tH正则方程tHdtdH若H不显含t, 则H守恒。ppt课件.95.5.3 能量积分与循环积分能量积分与循环积分循环积分循环积分若H不显含某个广义坐标 ，则根据正则方程可得：q常数pqHp0即相应的广义动量守恒。注：这里的能量积分与循环积分，与从拉氏函数得到的能量积分和循环积分，结果是一样的。ppt课件.10例题例题 15.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程解：以平衡位置(即弹簧原长位置)为原点，建立一维x轴。221xmT动能221kxV 势能222121kxxmVTL拉氏函数例例1 试用哈密顿正则方程建立图示一维弹簧振子的运动微分方程

5、。平衡位置Oxm光滑水平面弹簧劲度系数为k广义动量xmxLpxmpxx ppt课件.11例题例题 15.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程哈密顿函数mpxxxLxpH222121kxmpmmppxxx22212kxmpx正则方程kxxHpmppHxxxx(1)(2)(1)(2)联立可得0 xmkx 即一维弹簧振子的运动微分方程ppt课件.12例题例题 25.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程例例 2 用哈密顿正则方程建立质点在有心力势场rrV)(中的运动微分方程.解：采用球坐标 描述 ),(r质点的速度eeeevsin)(rrrrdtdrr拉氏函数rrrrmVTL)sin(21222222广义动量

6、222sinmrLpmrLprmrLpr222sinmrpmrpmprr(1)位矢rrer ppt课件.13例题例题 25.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程哈密顿量rrrrmVTH)sin(21222222(2)(1)代入(2)可得rrprppmHr22222sin21(3)正则方程0sincossin322223232HpmrpHprmrpmrprHpr(4)(5)(6)222sinmrppHmrppHmppHrrr(7)(8)(9)ppt课件.14例题例题 25.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程另一方面计算可得22sin)(mrmJzzevr可见(10)代表沿z方向的动量矩守恒。由(6)(

7、9)可得)(sin22常数Cmrp(10)但是z轴的方向是任意选择的，故沿任何方向都有动量矩守恒，从而系统动量矩守恒，即)(常矢量CJ 分析：一、动量矩守恒ppt课件.15例题例题 25.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程分析：二、平面运动现在选择一个特殊的z轴方向：使初速度v0躺在z轴和初位矢r0所确定的平面内。z0r0vreeO)(sin22常数Cmrp(10)则根据(10)式，可得初始时刻，以及后面任意时刻，都有0 , 0 , 0pC这意味着质点将始终保持在z轴和初位矢r0所确定的平面内运动。z轴就是平面极坐标的极轴。ppt课件.16例题例题 25.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程分析：三、简化正则方程0sincossin322223232HpmrpHprmrpmrprHpr(4)(5)(6)222sinmrppHmrppHmppHrrr(7)(8)(9)0232prmrppr(4)(5)2mrpmprr(7)(8)0 , 0pppt课件.17例题例题 25.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程分析：四、最终的运动微分方程即在垂直于运动平面方向上的动量矩守恒。由(5)(8)可得)(2常数