高数1全套公式

1、页眉、三角函数1 公式同角三角函数间的基本关系式：平方关系：sinA2( a )+cosA2( a )=tanA2( a )+1=secA2( ;cOtA2( a )+1=cscA2( a)商的关系：tan a =sin a /cos cot a =cos a /sin a倒数关系：tan a cot a =Sin a - csc a =1cos a - sec a =1三角函数恒等变形公式：两角和与差的三角函数：cos(a+ 3 尸cos a- coin 阿,sin3cos(去3 尸cos a -cos 3 +sina - sin3sin( a ± 3 )=sin a - cos

2、3 ± cos a - sin 3tan(a+ 3 )=(tan a +tan -tan(1x -tan3)tan(a3 )=(tan - tan3 )/(1+tan a- tan3 )倍角公式：sin(2 a )=2sin a - cos acos(2 a )=cosA2( -sjnA2( a )=2cosA2( -1=1- 2sinA2( a )tan(2 a )=2tan a 年如A2( a )半角公式：sinA2( a /2)=1- cos a )/2cosA2( a /2)=(1+cos a )/2tanA2( a /2)=(-cos a )/(1+cos a )tan(

3、a /2)=sin a /(1+cos 纺c=$1a )/sin a万能公式：sin a =2tan( a/2)/1+tanA2( a/2)cos a =HanA2( a /2)/1+tanA2( a /2)tan a =2tan( a /2)/(也门人2( a /2)积化和差公式：sin a - cos 3 =(1/2)sin(a + 3-)+sn( acos a - sin 3 =(1/2)sin( -sin+倒耳)cos a - cos 3 =(1/2)cos(a + 3 )+co$I asin a - sin-(1/2)cos( a* cos( o- 3 )和差化积公式：sin a +

4、sin 3 =2sin( a + 3 )/2cos0/2 asin o-sin 3 =2cos( a + 3 )/2sin (3 )/2上cos a +cos 3 =2cos( a + 3 )/2COS(3 )/2cos a-cos 3 =2sin( a +3 )/2sin(3 )/2只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值2 .特殊角的三角函数值fx0 (0 )(30 )(45 )-3(60 )-2(90 )cos173/2V2/21/20sin01/2V2/2V3/21tan0im/31不存在cot不存在V311/7301。15 / 14丁、函数 角

5、A、sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180+a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 + a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg a记忆规律：竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割即第一象

6、限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）F二次方程2,八ax bx c 0有二互异实根b 7b2 4acXi 2=2a有一相等实根(有一根)bXi,22a无实根一元一 次不 等式(a>0)2 一一axbx c>0(Xi<X2)x< x1 或 x> x2b x2ax Rax2 bx c<0x1xx2xx三、因式分解与乘法公式(1)a2 b2 (a b)(a b)(2)a22abb2 (ab)22_22(3)a2abb(ab)3 322(4)ab(ab)(aabb)3322(5)ab(ab)(aabb)(6) a33a

7、2b3ab2b3(ab)3(7) a33a2b3ab2b3(ab)3_222_2(8)a b c 2ab 2bc 2ca (a b c)nnn 1 n 2n 2 n 1.(9)a b (a b)(a a b L ab b ),(n 2)四、等差数列和等比数列1.等差数列通项公式：ana1n 1 dn a1an前n项和公式Sn22.等比数列 GP通项公式an a1qn1前n项和公式.a1 1 qnSn1 qna1n n 1Sn na1 d2an 0, q 0q 1q 1五、常用几何公式平面图形名称符号周长C和面积S止方形a 一边长C = 4aS = a2长方形a和b -边长C=2(a+b)S =

8、 ab三角形a,b,c 三边长h a边上的高 s周长的一半A,B,C 内角其中 s = (a+b+c)/2S = ah/2= ab/2 sinC=s(s-a)(s-b)(s-c) 1/2=a2sinBsinC/(2sinA)平行四边形a,b 一边长h a边的高 “一两边夹角S = ah =absin a菱形a一边长“一夹角D 长对角线长 d短对角线长S = Dd/2=a2sin a梯形a和b一上、下底长h高m 中位线长S = (a+b)h/2 =mh圆r半径 d一直径C =兀d = 2兀rS =兀2=兀 d2/4扇形r一扇形半径a圆心角度数C=2r+2Tt r x (a/360)S =兀 2

9、Xa/360)圆划、R外圆半径 r内圆半径D外圆直径 d内圆直径S =兀(R2-r2)=兀(D2-d2)/4椭圆D长轴 d短轴S =兀 Dd/4立方图形名称符号表向积S和体积V止方体a一边长S = 6a2 V=a3长方体a 一长 b 宽 c- iWjS = 2(ab+ac+bc)V = abc圆柱r-底半径h高C一底向周长S底底间积S侧一侧面积S表一表面积C = 2 几 rS底=冗2S 侧=ChS 表 = Ch+2s 底=Ch+2冗 r2V = S 底 h = 7t2h圆锥r-底半径h高V =兀 2h/3球r半径 d一直径V = 4/3 兀 3=兀 d3/6S= 4 兀 2=兀d2基本初等函数

10、名 称表辽式定义域图 形特性常 数 函 数y cRVC0x幕 函 数y x随而异， 但在R上 均启定义1.8过点（1, 1）;0时在R 单增；0时在R 单减.1.61.41.210.80.60.40.203尸尸='1/30.20.40.60 8'1.21.411618指 数 函 数xy aa 0a 1R4.5y 0.过点0,1 .a 1单增.0 a 1单减.mmnmnamnm nmna a a , n a , aaa43.532.521.510.50y=ax：0<a<1 、3yy=a?ox.-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52.5对y loga x数a

11、 0R函a 1数过点1,0 .a 1单增.0 a 1单减.loga a 1,loga1 0,M ,N 0loga MN loga M loga N,M ,loga logaMloga N,Nloga M p PlogaM,.logcblogab , c 0, 1 , logcaloga ax x(x 0)alogax x(x 0)正 弦 函 数y sin x奇函数.余 弦ycosxRy "1 -,J_偶函数.-/2 o/23 /2 2 xT2 .函-1y1.数正切函数奇函数.T在每个周期 内单增余xk切ycotxkZ函 数奇函数.T在每个周期 内单减.反 余 弦 函 数y arcco

12、sx1,1反 正 切 函 数y arctanxRyaz单减.A./20 y .-1or反余切函数y arccot xy ,/2ox单减.0 y反/2y正奇函数.弦y arcsin x1,1-1 kI o1x单增.函-/2y .数22极限的计算方法 一、初等函数：l.lim C C（C是常值函数）lim f x0,2 .若f x M（即f x是有界量），lim0（即 是无穷小量），特别：f x C lim C 0-_ f x3 .右f xM（即f x是有界量）lim 0,特别：f x C C 0 lim C 0C4.lim 05.未定式1 0型 0A.分子，分母含有相同的零因式，消去零因式B.等

13、价无穷小替换（常用sinxx,ex 1x,ln x 1x） f xf xf xC.洛必达法贝U: 要求 f x , g x 存在，且lim存在，止匕时，lim limg xg xg x2 型A.忽略掉分子，分母中可以忽略掉的较低阶的无穷大，保留最高阶的无穷大，再化简计算B.分子，分母同除以最高阶无穷大后，再化简计算.C.洛必达法则.3 型 通过分式通分或无理函 数有理化转化为"0"型或"一"型，014 0 转化为0001000型0型求对数0求对数01通过lim 1 x xe或求对数来计算.x 0二、分段函数：分段点的极限用左，右极限的定义来求解. 基本初

14、等函数的导数公式(1) (C)0, C是常数1(x ) x 1 (ax) axlna ,特别地，当 a e时，(ex)ex11(4) (log ax) , 特别地，当 a e时，(ln x) 一x ln ax(5) (sin x) cosx(6) (cosx)sin x，一、1112(7) (tan x) 2 sec xcos x(8) (cot x)1_._2 sin x2csc x(9) (secx) (secx)tan x(10) (cscx) (cscx)cotx(11) (arcsin x)11 x2(12) (arccosx)(13) (arctan x)(14) (arccot

15、x)111 x211 x2基本初等函数的微分公式(1)、dc 0(c为常数);(2)、d(x ) x 1dx(为任意常数);(3)、d(ax) axlnadx,特别地，当 a e时，d(ex) exdx ;、d(logax)11dx ,特别地，当 a e 时，d(ln x) 一 dx ;xln ax(5)、d(sin x) cos xdx ;(6)、d (cos x) sin xdx ;2(7)、d(tan x) sec xdx ;2(8)、d(cot x) csc xdx;(9)、d (sec x) secxtanxdx;(10)、d(cscx)cscxcot xdx ;(11)、d (ar

16、csin x)1./: dx ,1 x2(12)、d (arccos x)1.Ldx'(13)、d (arctan x)7dx；(14)、d (arc cot x)曲线的切线方程y y f '(xo)(x xo)幕指函数的导数极限、可导、可微、连续之间的关系条件A 条件B 条件A 边际分析 边际成本 边际利润条件B, 条件A, 条件B,弹性分析v x ln u x v x u xA为B的充分条件A为B的必要条件A和B互为充分必要条件MC =C (q);边际收益ML = L(q), L(q) R(q)MR = R(q);C (q) = MR MCy f (x)在点xo处的弹性,E

17、yExX0特别的，需求价格弹性:x。/、y(X。)y。EDp-D (p)EpD罗尔定理若函数f(x)满足:在闭区间a,b连续；在开区间(a,b)可导;f (a) f(b),则在(a,b)内至少存在一点，使f ( ) 0 .拉格朗日定理设函数f(x)满足:(1)(2)在闭区间a,b连续; 在开区间(a,b)可导,则在(a,b)上至少存在一点，使得f ()f(b) f(a)b a基本积分公式 0dx C(2) kdx kx Ck为常数特别地：dx x C(5)(6)(8)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)1x 一x dx C11

18、1-dx ln|x| C(有时绝对值符号也可忽略不与)xx x a _ a dx CIn aexdx exC cosxdx sinx Csin xdx cosx Cdx2- cos x2sec xdx tanx Cdx-2 2csc xdxsin xcotx Csecxtanxdx secx Ccscx cot xdx cscx Cdx1 x2arctan x C (或dx-2arc cot x C )xarcsin x C (或dxarccosx C )tan xdx ln |cosx | C , cot xdx ln |sin x | C , secxdx ln |secx tan x|

19、C , cot xdx ln |cscx cot x| C ,dx2a xlarctan二dx1ln2aC , (a 0),C, (a 0),dx22a xdx22.x aarcsin x C , (a 0), aln x xx2 a2 C , (a 0).常用凑微分公式a,b为常数，且a1 .(1)、dx d axa页眉12(2)、 xdx d x2、1-2 dx xx、-dxx(5)、1 . 一-dx d In x x(6)、exdx dex、sin xdx d cosx(8)、cosxdx d sin x、2sec xdx d tan x2.(10)、csc xdxd cot x(11)

20、、二 dx1 x2d arcsin x1(12)、-dxd arctan x一阶线性非齐次微分方程电 P(x)y Q(x)dx的通解为y eP(x)dxP(x)dxQ(x)e dx C平面图形面积的计算公式1)区域d由连续曲线y f(x), y和直线x=a,x=b围成，其中f(x) g(x)(a x b)bD的面积 A g(x) f (x) dxa2)区域D由连续曲线x(y),xg(x)(右图)(y)页眉和直线x=c,x=d围成，其中(y)(y) c y d(右图)dD的面积 A (y)(y) dyc平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式1、绕x轴的旋转体体积(右图)b 2Vxf (x)dxa注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴.2、绕y轴的旋转体体积(右图)d 2Vyc g (y)dy注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴.由边际函数求总函数qqC(q) 0 f(x)dx Co (Co C(0)为固定成本)R(q) 0 g(x)dxq总利润函数为 L(q) R(q) C(