数列求和方法归纳

1、数列求和一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n 项和： 1 2 3+n= n(n 1) ，1+3+5+(2n-1)= n22+n2 = n(n1)(2 n1) ，n(n1)2122232132333+n3 =等.62例 1求1222324252629921002 解：原式(2 212 )(4 232 )(6 252 )(1002992) 37 11199 由等差数列求和公式，得原式50(3199)5050 2变式练习 ：已知 log 3x1，求 xx 2x 3. x n.的前 n 项和 .log 2 31n解：1 2二、倒序相加法此方法源于等差数列前 n 项和公式的推导，目的在于利

2、用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和 .例 2求 2122232102的和10222922821022131解：设 S122232102121022292328210212则 S1029282122 10222292328210211两式相加，得2S111，10S5三、裂项相消法常见的拆项公式有：11 ( 11)，11 ( n kn) ，n(n k) k n n kn kn k(2 n11)1 (111)，等.1)(2n22n2n1例 3已知 1222n21 n(n1)(2n1) ，35762n1求(nN )的和22222222221121231n解：an2n12n16，

3、1222n21n(nn(n1)(2n1)1)6Sn6111223n n (1 )16111111223nn1611n1ln .n1小结： 如果数列 an 的通项公式很容易表示成另一个数列 bn 的相邻两项的差，即anbn 1 bn ，则有 Snbn1b1 .这种方法就称为裂项相消求和法 .变式练习： 求数列 1，21，1， ，1， 的前 n 项和 S.1 343 5n( n 2)解：12)= 1(11）n( n2nn2n11(11111111311S= (1)()=(1) =232 4n n 222 n 1 n 2 4 2n 2 2n 4四、错位相减法源于等比数列前 n 项和公式的推导， 对于

4、形如 anbn 的数列，其中 an 为等差数列， bn 为等比数列，均可用此法 .例 4求 x3x25x3(2 n1) xn 的和解：当 x1 时， Sn1x2x2 (1xn1)(2 n1)xn 1；当 x1 时， Snn2 x(1x) 21x小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列bn 的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n 项和公式求和 .变式练习： 求数列 a,2a234n(a为常数的前n项和。,3a ,4a ,na ,)解：（1）若 a=0, 则 Sn=0（ ）若则n+n=n ( n1)2a=1,S =1+2+3+2（3）若 a0 且 a1则 Sn234n， n234n

5、+1=a+2a +3a +4a + naaS =a +2 a +3 a +na(1-a) Sn23nn+1aa n1nan 1+a - na=a+ a + a +1 aaan1nan1Sn1)当a=0时，此式也成立。=(1a) 21(aan(n1)( a1)Sn=an1nan1a2(a1)(1a) 21a五、分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.例 5求数列 21，41，61 ， ，2n1n1 ，的前 n 项和 Sn 48162Sn(2462n)1111n(n 1)112223242n 12 2n 1变式练习： 求数列11,21,31,41,的前 n 项和392781解

6、：n2n1122 3n数列求和基础训练等比数列 an 的前项和 2 ，则2222 4n11.Sa1a2a3an32.设 Sn1357( 1)n (2 n1) ，则 Sn ( 1)n n .3.117(3n1(3n1)n1.1442)3n4.111.1=111112435 46(n 1)(n 3)2 2 3 n 2 n 35.数列 1,(1 2),(1222 ),(12222n1 ),的通项公式 an2 n1，前 n 项和 Sn2 n 1n26. 1,3,5, 2n 1,; 的前 n 项和为 Sn32nn3222232 n2数列求和提高训练1数列 an 满足： a11，且对任意的 m， n N*

7、 都有： am n aman mn，则1111(A )a1a2a3a2008A 4016B 2008C 2007D 20072009200910042008解： am nam an mn， an 1 an a1n an 1 n，利用叠加法得到： ann(n1)， 122(11) ，2ann(n 1)nn1 11112(111111) 2(11 )4016a1a2a3a20082232008200920092009nn都是公差为 1的等差数列，若其首项满足1 b15，a1 b1，且 a1，2数列 a 、 b ab1 N* ，则数列 abn 前 10 项的和等于(B)A100B85C70D55解：

8、 an a1 n 1， bn b1 n 1 a a1 bn 1 a1 (b1 n 1) 1 a1 b1 n 2 5bn n 2 n 3则数列 abn 也是等差数列，并且前10 项和等于：413 1085 答案： B.23设 m=12+2 3+34+ +(n-1)n，则 m 等于(A)A. n(n 21)B. 1 n(n+4)C. 1 n(n+5)D. 1 n(n+7)32223解：因为a n =n2 - n.，则依据分组集合即得 .答案 ;A.4若 Sn=1-2+3-4+ +(-1)n-1n，则 S1733 50 等于( A )+SA.1B.-1C.0D.2n 1为奇)2( n解：对前 n 项

9、和要分奇偶分别解决，即：Sn=答案： An (n为偶 )25设 an 为等比数列 , bn 为等差数列， 且 b1=0,cn=an+bn,若数列 cn 是 1,1,2,则 cn 的前 10 项和为(A)A.978B.557C.467D.979qd1解由题意可得 a1=1,设公比为 q,公差为 d,则2d 2q2 q2-2q=0, q 0, q=2, an=2n-1 ,bn=(n-1)(-1)=1-n, cn=2 n-1+1-n, Sn=978.答案： A6.若数列n的通项公式是n( 1)n，则1 a2 a10(A ) a a(3n2)aA15B.12C 12D.15解析 A设 bn3n 2，则

10、数列 bn 是以 1 为首项， 3 为公差的等差数列，所以a1a2 a9 a10 ( b1) b2( b9) b10 (b2 b1) (b4 b3) (b10 b9) 5 3 15.7一个有 2001 项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为解：设此数列 an, 其中间项为a1001,则 S 奇 =a1+a3 +a5+ +a2001=1001 a1001,S 偶 =a2+a4+a6+ +a2000=1000a1001.1001答案 :10008若 12+22+ +(n-1)2=an3+bn2+cn，则 a=,b=,c=.解： 原式 = ( n 1)n(2n1) 2n 33n 2n

11、 .答案： 1;1 ; 166326n11，公差 d 0，且其第二项、第五项、第十四项分别是9已知等差数列 a 的首项 a求数列n与n的通项公式；等比数列 bn的第二、三、四项(1) a b (2)设数列 cn 对任意自然数 n 均有 c1c2c3cnan 1 成立b1b2b3bn求 c1c2c3 c2014 的值解： (1)由题意得 (a1d)( a1 13d)(a1 4d)2(d 0)n 1解得 d2， an 2n 1，可得 bn 3(2)当 n 1 时， c1 3；当 n2 时，由 cnan 1an ，得 cn 2 3n 1，bn3(n1),故 c1 c2 c3 c20143 2 32

12、32 2 3200232015故 cn1 (n2 3n2).10.设数列 an 为等差数列， Sn 为数列 an 的前 n 项和，已知 S77，S15 75，Tn 为数列Sn的前 n项和，求 Tn .n解析 设等差数列 an1，公差为 d，则 Sn na1 17 7， S15 75，的首项为a2n(n 1)d.S7a1 21d 7，a13d 1，1 2，Sn11a15a1 105d 75，即a17d 5，解 得n a1 2 (n 1)d 2 2 (n d 1.1)Sn1n数列Sn是首项为2，公差为1的等差数列29n.S1，Tn 1nn 1n2n244已知数列n的首项12，an 1 2an11. a a3an1(1)证明：数列11是等比数列； (2)求数列n的前 n 项和 Sn.a nan解析(1) an12an，1an 11 1，111 112， 2 an，又 a1an 1an 12an2 2anan 13111 1 1 1 0， 1 1 0， an1 1，数列1是以 1为首项， 1为公比的等比数a12an12an22an 11n1n11nn12 3n 11