高数下要点含微分方程——自己整理的

1、第六章微分方程、一阶微分方程dy1、一阶线性方程p( P(x)y Q(x)dx2、伯努利方程 dy P(x)y Q(x)yn (n 0,1) dx1 n1 d y1 n dxP(x)y1 nQ(x).令 z、可降阶的高阶方程1. y(n) f (x)n 次积分2. y"f(x, y')不显含 y令y' p(x),化为一阶方程 p' f (x, p) o3. y" f(y,y') 不显含自变量人，/、 d2ydp 八， “、令y p(y),Ph，化为一阶万程。dxdy、线性微分方程f(x),y(n)a1(x)y(n 1) an 1(x)y an

2、(x)yf (x) 0时称为齐次的,f (x)0称为非齐次的1 .二阶线性齐次线性方程y P(x)y Q(x)y 0(1)如果函数yi(x)与y2(x)是方程的两个解,则y Ciyi(x) C2 y2(x)也是(1)的解，其中C1C2是任意常数。如果y1(x)与y2(x)是方程的两个线性无关的特解，则y Cy1(x) C2 y2(x) ( CC2是任意常数)是(1)的通解.两个函数y(x)与y2(x)线性无关的充要条件为w(x)y2(x)C (常数)2 .二阶线性非齐次线性方程*设y (x)是二阶线性非齐次线性万程 y P(x)y Q(x)y f(x)*的一个特解，Y(x)是它对应的齐次方程(

3、1)的通解，则y Y(x) y (x)是该方程的 通解.*设y1 (x)与y2(x)分别是二阶线性非齐次方程y P(x)y Q(x)y f(x)与 y P(x)y Q(x)y fz(x)* ，的两个特解。则y(x)y?(x)是的特解。(叠加原理)3 .二阶线性常系数齐次方程y" py' qy 0特征方程r2pr q 0 ,特征根r1 , r2特征方程的根r1,r2ypyqy0的通解两个不相等的实根1 ,2两个相等的实根r1r2一对共腕复根ri,2i4 .二阶线性常系数非齐次方程y py qy f(x)i)如果 f(x)Pm(x)ex,* kx则二阶线性常系数非齐次方程具有形如

4、y x Qm(x)e的特解。其中，Pm(x)是m次多项式，Qm(x)也是系数待定的m次多项式；k 0,1,2依照 为特征根的重数而取值.1） 如果 f(x) e x Pi (x)cos x Pn(x)sin x ,则二阶线性常系数非齐次方程的特解可设为其中R?"), Rm2)(x)是系数待定的m次多项式，m max l,nk 0,1依照i特征根的重数取值四、欧拉方程二阶欧拉方程pxyqyf(x),其中P浦为常数.作变换xetdy，则有二 dxdy出dx1 dyx出，d2y dx21 d2yx2 dt2dyodt原方程变为二阶线性常系数方程d2y dx2(p吟qyf(et)0第七章空间

5、解析几何、1、| I I II |sin ,其中是 与的夹角;2、向量积满足下列运算律:1）反交换律（）;2）结合律 （）（）3）左分配律（）（），其中是数量；3、4、右分配律（）a2a3 .ib2b3a a2 kb13i j kal a2 a3b b2 b3称为单位化向量，并有| 0 .此cos ,cos ,cos ai22a2a3a222a2a3a322a2a3中 cos , cos , cos是的方向余弦.三、1、旋转面方程yoz平面上的曲线C："y,Z) °绕z轴的旋转面方程为f( Jx2y7 , z) 0；绕 x 0y轴的旋转面方程为f(y,x2Z2 ) 0 .类

6、似可得其它坐标面上的曲线绕坐标轴的旋转面方程.2、柱面方程xoy平面上的曲线f(x, y)z 00为准线，母线平行于 z轴的柱面方程为f(x,y)0 .同理方程g(y, Z) 0和h(x,z)0分别表示母线平行于x轴和y轴的柱面.3、曲线在坐标面上的投影在空间曲线的方程 C： Fl(x，y，z) 0中，经过同解变形分别消去变量x, y,z,则可得到F2(x,y,z) 0C 在 yoz、xoz、xoy 平面上的投影曲线，分别为：F(y,z) 0； G(x,z) °；“(x, y) °x 0y 0z 0四、1、平面方程1 )点法式：过点F0(x0,y0,z0)，法向量n A,B

7、,C的平面方程为A(x Xo) B(y y°) C(z 4) 0,2） 一般式：Ax By Cz D 0,其中A,B,C不全为零. x y z .3）截距式：一 1 a b c4）两个平面之间的关系设两个平面口 1与口 2的法向量依次为ni A1, B1 ,Ci和n2 A2, B2 ,C2）,的夹角 规定为它们法向量的夹角（取锐角）.此时- c ?-9 9 |n ? n | 9cos ? ? 9?，I n | ?1n |2、直线方程1） 一般式：将直线表示为两个平面的交线Ax B1y C1z D10A2xB2y C2zD2 0一、x %i）对称式：V。z z°nL的方程2）

8、若直线L经过点P0（%,y0,4）且与方向向量v l,m,n0平行,xx0Itii)参数式：yy0mt,zz°nt3）两条直线之间的关系设两条直线Li和匕方向向量分别为v1 l1,m1,n1 , v2 l2, m2, n2 ,Li与L 2的夹角 规定为它们方向向量的夹角（取锐角）.于是3、直线与平面的关系设直线L的方向向量为v l,m,n,平面n的法向量为n A, B,C . l与口的 夹角 规定为L与它在口上投影直线L'的夹角（锐角）.这时sin 92|v| |n|,12 mlA mB nC |n2 A2 B2 C2L与口垂直的充要条件是一一A BL与口平行的充要条件是lA

9、 mB22x y五、i、椭圆抛物面： z , a b其中a 0 , b 。（图3）. 2222 一例如z x y , z x y等.222 xy2、椭圆锥面： z 工台， ab其中a 0, b 0（图4）.例如，圆锥面z2x2y22223、单叶双曲面xy-z-ab2c2其中 a 0, b 0,c 0 （图 5）.22_2例如x y z 1 .4、双叶双曲面222xyz2. 22abc1,其中 a 0, b 0, c 0一 .222（图6） .例如z x y 1 .第八章多元函数的微分学1.偏导数对某一个自变量求偏导数,就是将其余的自变量看作常数，对这个变量求一元函数的导数.2.高阶偏导数二元函

10、数f(x,y)的二阶偏导数fxx(x, y)fii(x,y)，或 3 , 4 ；2一 一 fxy(x, y)fi2(x, y),或fi2, Z12；y x x yfxy(x, y)及fyx(x,y)称为二阶混合偏导数3、全微分二元函数z f (x, y)在点(x, y)处的全微分三元函数u f (x, y,z)的全微分，并有4、可微、可导、连续的关系在多元函数中，可微、可导、连续的关系与一元函数的情况有所不同.在多元函数1)可微必可导，可导不一定可微；2)可微必连续，连续不一定可微；3)可导不一定连续，连续不一定可导5、复合函数的偏导数假设下列函数都可微，则有复合函数的求导公式(链式法则)：a

11、.若 z f(u,v), u (x) , v (x),则复合函数z f (x), (x)的导数为dzz duz dv=+;dxu dxv dxb.若 z f (u,v) , u (x, y) , v (x,y),则复合函数z f (x, y), (x, y)的偏导数zzu.zvzzu.zv=+，=+;xu x v xyu y v y6、隐函数的偏导数1)方程F(x,y) 0所确定的隐函数的导数为曳 邑.dxFy2)方程F(x,y,z) 0所确定隐函数的偏导数为zFxzFyxFz'%M1、取得极值的必要条件如果函数zf (x, y)在点卬如心)的两个偏导数都存在，且在该点函数取得极值,则

12、 fx(x(o, y(J 0 ,fy(x0,y(o) 0.可导的极值点必是驻点，但极值点不一定是驻点.2,取得极值的充分条件设z f (x,y)在驻点(x。，y。)的某个邻域内有二阶的连续偏导数.令 Afxx(xo, yo),Bfxy(Xo,yo),C fyy（Xo,yo）,B2 AC,于是有1）如果 0,则点（,y0）是函数的极值点.当A 0时，f（xo,yo）是极大值,当A 0时，f（xo,yo）是极小值.2）如果 0,则点（xo,yo）不是函数的极值点.3）如果 0,则函数z f（x,y）在点（x0,y。）有无极值不能确定，需用其它方法 判别.3.条件极值1）求二元函数z f （x, y

13、）在约束条件（x,y）=0下的极值，可以按照如下步骤进行:i）构造拉格朗日函数L(x,y) f(x,y) (x, y);Lfx(x,y) x(x, y) 0xii)解方程组fy(x,y) y(x, y) 0y(x, y) 0若0,x°,y0是方程组的解，则（x°,y。）是该条件极值问题的可疑极值点.、多元微分学的几何应用1.空间曲线的切线与法平面x x（t）给定空间曲线 L: y y（t）,其中的三个函数有连续的导数且导数不同时 z z为零（光滑曲线）. L上的点Po（xo, yo，zo）对应的参数为t0.则曲线L在点B（x0, y。，zo）处的切向量为 x'（to

14、）, y'（to）,z'（t0）,此时的切线方程为x Xoy y。z z。x'（to）y'（to）z'（to）'曲线L在点Po（x。, y。, z。）的法平面方程为2.曲面的切平面与法线给定曲面的方程F（x,y,z） 0 ,函数F（x,y,z）有连续的偏导数且三个偏导数不同时为零（光滑曲面）.点P0（x。，y。，z。）是 上的一个点.则曲面 在点P0（x。, y。，z。）处的法向量为Fx（x。，y0,z。），Fy（x。，y。，z。），Fz（x。，y0,z。）,此时的切平面方程为匕（x0,y0,z0）（x x。）Fy（x0,y0,4）（y y。）F

15、z（x。, 丫。,）（2 z。）0,曲面 在点P°（x。，y。，z。）的法线方程为X X。y yoz z。Fx(Xo,yo,Zo)Fy(Xo, yo, Zo)Fz(Xo,yo,z。),四.方向导数与梯度1 .若函数u f(x,y,z)在点P(x, y,z)可微，方向l的方向余弦为cos , cos , cos ,则函数在点P(x, y,z)沿方向l的方向导数为uuuu cos cos cos .lxyz2 .设函数u f(x, y,z)在空间区域G内可微，则函数在点F0(x。，y。，z。)处的梯度定义为一个向量grad f (x。，y。, z。)= fx(%,yo, 4)ify(%,

16、y。，z0)jfz(%,y。，z)k.梯度方向是函数变化率最大的方向.在梯度方向上函数的方向导数取得最大值 |gradf (x。，y。, )| .第九章重积分二重积分的计算1.直角坐标下二重积分的计算1)若积分区域可以表示为D ： a x b, 1(x) y 2(x),则2)若积分区域可以表示为 D：c y d,1(y)x2(y),则d2(y)f (x, y)dxdy c dy (y) f (x,y)dx .2极坐标下二重积分的计算直角坐标与极坐标的关系为此时面积元素为df(x, y)dxdy f (rcos , rsin )rdrdDD重积分的计算2( )1( )f(rcos, rsin )

17、rdrx rcos 0 ry rsin 02 rdrd 或 dxdy rdrd 若在极坐标下积分区域可以表示为D :, 1( ) r 2( ) ，则1 dv dv | | ， | |表示的体积1直角坐标下三重积分的计算1) “先一后二”法若积分区域可表示为: a x b, y1(x) y y2(x), z1(x,y) z z2(x, y) ，则2) “先二后一”法设积分区域其中Dxy是在xoy坐标面上的投影.在z轴上的投影区间为c,d.用平面z z (常数)去截面为Dz.则d其中 f (x, y, z)dxdy 是将Dzf (x, y, z)dxdydz dz f (x, y, z)dxdyc

18、DzDz投影到xoy坐标面上所做的二重积分.2柱面坐标下三重积分的计算x r cos 0 r直角坐标与柱面坐标的关系为y r sin ,02zzz则体积元素为dv rdrd dz或dxdydz rdrd dz若积分区域在柱面坐标下可表示为:, r1( ) r r2( ) ， z1 (r , ) z z2(r , ) ，则f (x, y, z)dxdydz f (r cos , rsin , z)rdrd dzr2 ( )drr1( )z2 (r, )z1(r, )f(rcos , rsin , z)rdz3球面坐标下计算三重积分x r cos sin 0 r直角坐标与球面坐标的关系为y r s

19、in sin ， 0z r cos02体积元素为dv r2 sin drd d 或 dxdydz r2 sin drd d如果积分区域在球面坐标下可表示为1( )2( ), r1( , ) rr2( , )2f (x, y,z)dxdydz f (rcos sin , r sin sin , rcos )r sin drd d4.简算：对称奇偶性，重心公式。三、重积分的应用1 .曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 V f (x, y)dxdy .D2 .质量密度为(x,y) 0,则平面板的质量 M (x,y)dxdy.D密度为 (x, y,z) 0 ,则物体的质量为 M (x, y,z)dxdydz

20、 .3 .曲面面积设曲面 的方程为z f (x, y) , (x, y) D,其中D是有界闭区域，f(x,y)在D上有连续的偏导数.则曲面 的面积为S，1 fx2(x,y) f：(x,y)d .D面积微元 dS . 1 f：(x,y) fy2(x,y)d第十一章无穷级数一、1、a.收敛士收敛=收敛，收敛土发散=发散，发散土发散=敛散不定。b.收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变2、两个重要级数及其敛散性1)几何级数n 12n 1aq a aq aq L aq L (a 0).n 1当q 1时该级数收敛，具和为2) P-级数11111 L Ln 1 np2p 3pnp当p 1时，该级数

21、收敛；当p 1时,111.当p 1时称级数 一 1 ，； L n 1 n 2 3二、正项级数的审敛法 (Un , Unn 11)(比较审敛法)；当q 1时该级数发散.1 q(p 0).该级数发散.1一 L为调和级数，它是一个发散级数n0)设Un和Vn都是正项级数，且UnVn (n1,2,L ).n 1n 1若强级数vn收敛，则弱级数Un收敛;钻圈子原理若弱级数 un发散，则强级数 vn发散.2)（比较审敛法的极限形式）设unn 1vn都是正项级数.1破记录原理3)如果nim则级数n 1unlvn(0<l<+),un和级数(若l 0或l（比值审敛法）若正项级数un满足n 1vn同时收

22、敛或同时发散.1如何？）limnun 1un则当 1时，级数收敛;1时,级数发散;1时，级数可能收敛也可能发散.4)（根值审敛法）若正项级数4满足lim n/un则当 1时，级数收敛;1时，级数发散；1时，级数可能收敛也可能发散.5.交错级数的莱布尼兹审敛法设Un 0,则称级数（Dn U为交错级数.n 1定理（莱布尼兹审敛法）n 1.，.一设 （1） Un为交错级数.如果Un满足： n 11 ）对一切自然数n有Un 1 Un ;2 ） lim Un0,则（1）nUn 收敛，且其和 s U1.nn 16.级数的绝对收敛和条件收敛如果级数Un收敛，则称级数Un绝对收敛.n 1n 1如果 Un收敛，

23、而Un发散，称级数 Un条件收敛.n 1n 1n 1对任意项级数，如果它绝对收敛，则它必收敛三、幕级数（an（x %）n,n 0nanX ) n 01 .阿贝尔定理n2 .幕级数 anxR, R)。n 0收敛半径0 R收敛域：收敛区间加入收敛的端点收敛半径的求法1）对于幕级数anXn ,如果 nim1an 1an2）对于幕级数anXn ,如果 lim n/|aTl 1n3 .幕级数的性质性质1.（和函数连续性）幕级数的和函数在收敛域内是连续的。性质2.（逐项积分）n设幕级数anX和函数s（x）在收敛区间可逐项积分n 0x0 s(t)dt(antn)dtn 0antndtann 1xn 0 n 1逐项积分后的幕级数与原幕级数有相同的收敛半径性质3.(逐项求导)n幕级数anX的和函数s(x)在收敛区