数值分析典型例题

1、第一章典型例题例3，精确到103的近似值是多少？解 精确到10 3 = 0.001 ,即绝对误差限是 =0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2 0.693第二章典型例题例 1 用顺序消去法解线性方程组解 顺序消元于是有同解方程组回代得解X3= 1, X2=1,X1=1,原线性方程组的解为 X= (1,1, 1)T例 2 取初始向量X(0) =(0,0,0) T, 用雅可比迭代法求解线性方程组解 建立迭代格式x1(k 1)2x2(k) 2x3(k) 1x2k1)X1(k) x3k) 3 (k=1,2,3,)x3(k 1)2x1(k) 2x2(k) 5第 1 次迭代 , k=0X0

2、) = 0,得到 乂1) =(1,3,5) T第 2 次迭代，k=1X2) =(5, -3, -3)T第 3 次迭代，k=2乂3)=(1,1,1) T第 4 次迭代，k=3X(4)(1,1,1)例4证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯-赛 德尔迭代法发散证明例2中线性方程组的系数矩阵为1 22A= 1 112 211 0 0于是 D= 0 1 00 0 10001D =D 1 0 02 2 00 22 U 0 010 00雅可比迭代矩阵为1 B= D 1(L U)10 00 2201010100 12 20得到矩阵B0的特征根1,2,30,根据迭代基本定理4,雅可比迭代法收高斯-赛德

3、尔迭代矩阵为G= - (D )1U= 1102 10 00解得特征根为1=0,2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯赛德尔迭代发散例5填空选择题:1.用高斯列主元消去法解线性方程组作第 1 次消元后的第 2 ,3 个方程分别为。x2 0.5x32x21.5x31.53.5解答 选a2i=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2xi+2xz+3x3=3,消元得到是应填写的内容。3.用高斯-赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中x2k1)=(k=0,1,2,)答案：3 xi(k1) x3k)解答：高斯-赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用上xi的新值。第三章典型例题例1已知函数y=

4、f (x)的观察数据为xk-2045yk51-31试构造拉格朗日插值多项式R (x),并计算f ( 1)的近似值。只给4对数据，求得的多项式不超过 3次解先构造基函数所求三次多项式为 nR(x)=y"k(x)k 0= x(x )(x)+ (x )(x)(x)( ) x(x )(x)+(x )x(x )f(1) P3(-1) =例3设x ,x ,x，,Xn是n+1个互异的插值节点，lk(x)(k 一，,n)是 拉格朗日插值基函数，证明:nn，n) lk(x)(2) lk(x) xmxm(mkkn证明(1) Pn(x)=yol o(x)+yil i(x)+ +ynl n(x)=ydk(x

5、)k 0当f(x) 1时,k1= Pn(x) Rn(x)kf ()lk(x)n (x)(n )!n由于 f(n )(x),故有 lk(x) k(2)对于f (x)=xm, m=0,1,2,，n,对固定xm(0 mn),作拉格朗日插值多项式，有 当 n>m- 1 时，f(n+1)(x)=0, R(x)=0,所以注意：对于次数不超过n的多项式Qn(x) anxn an x利用上结果，有nanlk(x)xnknanlk(x)xnkalk(x)xkka lk(x)knlk(x)anxnk 0an Gk . axkna。Qn(xk)lk(x)k 0n上式 Qn(xk)lk(x)正是Q( x)的拉格

6、朗日插值多项式。可见，Q(x)的拉 k 0格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例5已知数据如表的第2, 3歹U,试用直线拟合这组数据。解 计算列入表中。n=5。a。, ai满足的法方程组是kXkykXkyk11414224.5493369184481632558.52542.5153155105.5解得ao=2.45,ai=i.25。所求拟合直线方程为 y=2.45+i.25 X例6选择填空题1.设y=f (x),只要X。, Xi, X2是互不相同的3个值，那么满足RXk尸yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多项式 P(x)是

7、 ( 就唯一性回答问题)答案：唯一的3.拉格朗日插值多项式的余项是(),牛顿插值多项式的余项是()f(n )(),、(A) Rn(X)f(X)Pn(X) LJ n(X)(n )!(B) f (X, X0, Xi, X2,，Xn)( XXl)( XX2)(X Xn 1)( X Xn)f(n )()(C) Rn(X) f(X) Pn(X) (-(n )!(D) f (X,X0,Xi,X2,，Xn)(X Xo)(XXi)(XX2)(X Xn i)( XXn)答案：(A) , (D)。见教材有关公式第四章典型例题例1试确定求积公式f(x)dx f( ) f()的代数精度。依定义，对xk(k=0,1,2

8、,3,)，找公式精确成立的k数值解 当f(x)取1,X,X2,时，计算求积公式何时精确成立。(1)取 f(x)=1，有左边= f (x)dxdx右边=f ( 一) f (一)(2)取 f(x)=x，有左边= f (x)dxdx,右边=f ( 丁)f取f(x)=x2，有f (x)dx x dx=f( ) f() (二)()VV"V"v(4)取 f(x)=x3，有右边=f(、)f(,)(.)(.)左边=f (x)dx x dx(5)取 f(x)=x4，有f (x)dx x dx 一= ".)")(.)(.)当k 3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求

9、积公式具有3次代数。例5试确定求积公式I" 2f皿 -f(h)中的参 数a,并证明该求积公式具有三次代数精度。解 公式中只有一个待定参数a。当f(x)=1,x时，有idx -1 1 0,即 h=h02hh2xldx 0 h ah?(102不能确定a,再令f(x)=x2,h 2h 22x2dx -0 h2 ah2(2 002得a .求积公式为hf (x)dx120代入求积公式，得到.3.3h h 32h),即 一 一 2ah332hh2-f(0) f(h) f (0) f (h)212将f(x)=x3代入上求积公式，有可见，该求积公式至少具有三次代数精度。再将f(x)=x4代入上公式中

10、，有 所以该求积公式具有三次代数精度。例6选择填空题1.牛顿-科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点解答：牛顿-科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。第五章典型例题 例1证明方程1x sin x=0在区间0,1内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5 x 10 4的根要迭代多少次？证明令 f (x) = 1 xsin xf (0)=1>0 , f (1)= sin1<0f(x)=1 x sin x=0 在0 , 1有根。又f (x)=1 cosx>0(x 0 , 1),故 f(x) = 0 在区间0, 1内有唯 一实根

11、。给定误差限=0.5 X 10-4,有只要取n=14。例2用迭代法求方程x5 4x2=0的最小正根。计算过程保留4 位小数。分析容易判断1 , 2是方程的有根区间。若建立迭代格式x x，即(x) x, (x)| 上 (x (,),此时迭代发散。建立迭代格式 x 5/4x 2, (x) 5Mx 2,(x)4-(1 x 2),55 (4x 2)45此时迭代收敛。解建立迭代格式(x)4-(1 x 2)，取初始值x。1(可任取 1, 2之间的55(4x 2)45值)xx 1.431 0 xx .1.505 1x , x . .1.516 5 x x . .1.518 2xx . .1.5185取 x

12、1.5185例3试建立计算*的牛顿迭代格式，并求4 的近似值，要 求迭代误差不超过10 5分析首先建立迭代格式。确定取几位小数，求到两个近似解之差的绝对值不超过10 5O解令x va, f (x) x a ,求x的值。牛顿迭代格式为迭代误差不超过10：计算结果应保留小数点后6位。当 x=7或 8 时，x3=343或 512, f( )f ()，而f( )f ()，取 x0=8,x -x - -. 7.478 078xx -x - - . 7.439 956x.x-x-. 7.439760x.x-x-. 7.439760x.于是，取 x 7.439760例4用弦截法求方程x3-x2-1 = 0,在x=1.5附近的根。计算中保留5位小数点分析先确定有根区间。再代公式解 f(x)= x3-x2-1, f(1)= 1, f(2)=3 ,有根区间取1,2取xi=1,迭代公式为xnxnf (xn)f(xn) f(xn-(x )xn )(n=1,2, )(.)1.37662)1.48881)1.46348x .( .)1.46553.取x 1.46553,