大学物理课件第4章-功和能

1、Fr=. 2. 变力的功变力的功元过程：元过程：rd=.F d r 1. 恒力的功恒力的功元功：元功：=dWFcosdrarW= Fcosa.FdrW= 21具体求解步具体求解步骤如下骤如下:FrFadrF1a2d W=F.drdzdxdyF(x)F(y)F(z)=+此式的意义是合力的功等于各分力功之和。此式的意义是合力的功等于各分力功之和。dr =dzdxdijk+yr =x iy jz k+F(x)F(y)F(z)=+FijkW.=F drdz+F(x) dxF(y)dyF(z)= 功的几何意义：功的几何意义：dWF (x) dx=功在数值上等于示功图功在数值上等于示功图曲线下的面积。曲线

2、下的面积。 3. 功率功率平均功率平均功率:瞬时功率瞬时功率: Wt=P=PWttlim0=dWdt=Fdr.dt=F.vF (x)x0示功图示功图dxF12xxW =F (x) dxxx12TFsin=0Fmg tg=FcosdsT cosmg=0Fcos=Ldcos=mg tgLd解得：解得：.dsF=dW. .=dsLd. .cos=()1mg L0dmgTmdsFLsinmg=00WLd 例例1 有一单摆，用一水平力作用于有一单摆，用一水平力作用于m使其极其缓慢上升。使其极其缓慢上升。 求求: 此力的功。此力的功。0当当由由增大到增大到时，时，0动能定理和动量定理比较：动能定理和动量定

3、理比较：力的空间力的空间累积效应累积效应力的时间力的时间累积效应累积效应zzyyxxdvmvdvmvdvmv )(22221zyxvvvmd 221mdv mvdv rdFdW 合合mdvdtdrmv dv20221210mvmvmvdvdWWvv =mmvvF ds.2211220=mmvvF dt0drF合合12a它研究物体在状态变化过程中合力作功与它研究物体在状态变化过程中合力作功与动能改变的关系动能改变的关系mvdv mvdv例例2：有一半径：有一半径R的的1/4凹圆柱面槽（质量凹圆柱面槽（质量M），放置在光滑水平面。），放置在光滑水平面。一质量为一质量为m的小球从静止开始沿圆面从顶端

4、无摩擦下落（如图），的小球从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图），求：求：1)小球从水平方向飞离槽时速度小球从水平方向飞离槽时速度 v 和凹槽的速度和凹槽的速度V;2）小球对）小球对槽所做的功；槽所做的功；3）小球到达）小球到达B时对槽的压力。时对槽的压力。解：解：1对物体、槽和地球系统，外力不做功，系对物体、槽和地球系统，外力不做功，系统的机械能守恒、水平方向动量守恒。统的机械能守恒、水平方向动量守恒。0mvMV222121MVmvmgRmMMgRv2MmMgRmV)(22只有球对槽的压力对槽做功，球对槽所做的功等于槽的动能的增量只有球对槽的压力对槽做功，球对槽所做的功等于槽的动能的增量m

5、MgRmMVWN 22213球在最低点球在最低点B瞬间，槽在水平方向不瞬间，槽在水平方向不受外力作用，加速度为受外力作用，加速度为0，此时可把槽，此时可把槽当作慣性系。在此慣性系中，球相对当作慣性系。在此慣性系中，球相对槽的速度为槽的速度为VvvmgNMma对RvmmgN2mgMmN)23( 根据牛三律得：mgMmNN)23( RMmB例例3.在离水面高度为在离水面高度为h的岸上的岸上,有人用大小不变的力有人用大小不变的力F拉绳使船靠岸拉绳使船靠岸.如图如图,求船从离岸求船从离岸 处移到处移到 处的过程中处的过程中,力力 对船所作的功对船所作的功.1x2xF元功元功F作正功作正功解解:判别判别

6、 是否为变力作功是否为变力作功(大小不变大小不变,方方向变向变),属于变力作功属于变力作功.建立坐标建立坐标,取元过程取元过程Fa acos dxFxdFdW22coshxxaxxdx1x2xFaho22hxxdxFdW )(2222212221hxhxFdxhxxFdWWxx 提问提问:船在开始时静止船在开始时静止,船行到岸边的速度为多少船行到岸边的速度为多少 ?怎样求怎样求 ? 例例4.质量质量 1kg的物体的物体 受到方向为受到方向为 ,大小为大小为 的拉力的拉力 ,摩擦系数摩擦系数0.3, 处时物体静止处时物体静止 .试计算物体离试计算物体离开地面时的速率及拉力的功率开地面时的速率及拉

7、力的功率 .xF4300 xFmFmmgNfxy解解:离开地面时位置和离开地面时位置和F大小大小 030sin mgF16 xNF20dxFmvx0212dxxxmv21)4(101 3 .023)4(0211602smv/2 .17WvFP298232 .1720以万有引力作功为例以万有引力作功为例cos=()F ds90+0)(BAGMmGMmrr=dWFdr.sindsdr=rMmGsin=2dsMmrG=2dr=Fds.F=MmrG2MmG2=rrABdrrWAB或：rdrmMGrrdrrmMGrdFdW22)( 积分可得上式dsFrdr太阳太阳地球地球MmrABrABrrMmGF2

8、)2() 1()(ABBAABArdrFWAB(1)(2)所做的功与路径无关，这种力称为所做的功与路径无关，这种力称为保守力保守力。 0) 2 () 1 ( ABBAWW保守力沿任意闭合路径所做的功为零。保守力沿任意闭合路径所做的功为零。 万有引力、静电力、弹性力万有引力、静电力、弹性力 与保守力相对的称为非保守力与保守力相对的称为非保守力(耗散力耗散力)，如摩擦力。，如摩擦力。 MmG2=rrABdrrWAB)(BAGMmGMmrr在保守力场（在任意点受在保守力场（在任意点受保守力的作用），质点从保守力的作用），质点从A-B，所做的功与路径，所做的功与路径无关，而只与这两点的位无关，而只与这

9、两点的位置有关。可引入一个只与置有关。可引入一个只与位置有关的函数，位置有关的函数，A点的点的函数值减去函数值减去B点的函数值，点的函数值，定义为从定义为从A -B保守力所保守力所做的功，该函数就是势能做的功，该函数就是势能函数。函数。ABBAPPABEAE )()(定义了势能差定义了势能差选参考点（势能零点），设选参考点（势能零点），设0)( BEPBAPAAE )(则则A点的势能为点的势能为mg dy=此式表明重力的功只决定于作功的起点和终点而与作此式表明重力的功只决定于作功的起点和终点而与作功的路径无关。功的路径无关。=(+mg j ).( dxidy j )dW=drF.yx0yyAA

10、BBdrF1. 重力的功、重力势能重力的功、重力势能yy()ABmgmgWABmg dy=yyAB重力的功：重力的功： 重力势能重力势能：p E=pApBEE B Ayy=mgmg=WAB0,0 点点点点设设pOOEyymgEp 则则保守力的功等于系统势能增量的负值保守力的功等于系统势能增量的负值PBPAABEEW 1. 势能为系统所有。势能为系统所有。 2. 对于非保守力不能引入势能的概念。对于非保守力不能引入势能的概念。 3. 势能是系统内各物体位置坐标的单值函数势能是系统内各物体位置坐标的单值函数 4. 引入势能的一个重要目的是为了简化引入势能的一个重要目的是为了简化 保守力功的计算。保

11、守力功的计算。 5. A 点的势能在数值上等于将物体从该点的势能在数值上等于将物体从该 点移到势能零点处保守力所作的功。点移到势能零点处保守力所作的功。 若取无穷远处为引力势能的零点，则若取无穷远处为引力势能的零点，则 A点的势能为：点的势能为：=GMmrA181 -GMmrAr.8EpAdr=AF=rmMGEP 讨论：讨论：2. 万有引力的功、万有引力势能万有引力的功、万有引力势能例例5.一质点质量为一质点质量为m在指向圆心的平方反比力在指向圆心的平方反比力 的作用下的作用下,作半径为作半径为r的圆周运动的圆周运动,1此质点的速度此质点的速度? 2若取距圆心无穷远处为若取距圆心无穷远处为势能

12、零点势能零点,则距圆心则距圆心4R处的势能处的势能? 3若取距圆心若取距圆心2R处为势能零点处为势能零点,则距圆心则距圆心4R处的势能为多少处的势能为多少?rrkF/2分析力分析力F是否是保守力用是否是保守力用作功法证明它作功法证明它BAroABr该力是保守力该力是保守力 )()(2BArrrkrkdrrkdWWBA crkdrrkrdFEP 2解：解：amF rvmmarkn22 /mrkv 12 若取距圆心无穷远处为势能若取距圆心无穷远处为势能 0点点 ,即即 0, 0,cErPrkEp RkERrP441时当3 若取距圆心若取距圆心2R处处为势能为势能 0点点 ,即即 RkcERrP2,

13、 0,2时时当当Rr41 RkRkRkEP424 RkEP4 kxdxFkx=Fdx=dWkxAB()1221kx22=EppBpA=()EEx自然长度自然长度弹簧弹簧XF0kx dx =BAWxx弹性力的功：弹性力的功：弹性势能：弹性势能：取自然长度取自然长度 xB=0，弹性势能为零，弹性势能为零 221kxEP ABdxWWW非保内非保内外外保内保内=+mv22112mviB2iA质点的动能定理：质点的动能定理：将动能定理推广到质点系将动能定理推广到质点系 :WW外外内内+W =WWW非保内非保内外外保内保内+1、系统的功能原理：、系统的功能原理：mv22112mv2BAW=ABWWW非保

14、内非保内外外保内保内=+mv22112mviB2iApApBEE)(W=保内保内.mv22112mviB2iAWW非保内非保内外外=+pApBEE)(WW非保内非保内外外=+mv22112mviB2iApApBEE)(+(+)kAkBEEEE=()+pB(+)pA系统的功能原理：系统的功能原理：WkAkBEEEE=()+W外外非保内非保内pB(+)pAWkAkBEEEE=()+W外外非保内非保内pB(+)pA由系统的功能原理：由系统的功能原理：若：若：=WW非保内非保内外外+0则：则：E=+EEEkBpBkApA+C这就是机械能守恒定律。这就是机械能守恒定律。 2、机械能守恒定律、机械能守恒定

15、律.ConstEEAB 过程中的守恒过程中的守恒 例例6 设地球半径为设地球半径为R 。一质量为。一质量为m的物的物体，从静止开始在距地面体，从静止开始在距地面 R 处自由下落。处自由下落。 求：它到达地球表面时的速度。求：它到达地球表面时的速度。解：解： =EpBEpA=GMmR2GMmR由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：GMm2=+R0GM=vRGMmR221+mvMRRmAB地球地球解：设碰撞后两球速度解：设碰撞后两球速度21vvv 由动量守恒由动量守恒21vv,两边平方两边平方22212122vvvvv 由机械能守恒（势能无变化）由机械能守恒（势能无变化）22212vvv 021 v

16、v两球速度总互相垂直两球速度总互相垂直例例7：在平面上两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于：在平面上两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于静止状态，另一球速度静止状态，另一球速度 v。求证：碰撞后两球速度总互相垂直。求证：碰撞后两球速度总互相垂直。1.碰撞过程的特点碰撞过程的特点：过程时间短、内力很大过程时间短、内力很大 (可适用动量守恒可适用动量守恒 )、一般情况下机械能不守恒一般情况下机械能不守恒 ,存在着其他形式的能量转换存在着其他形式的能量转换 .2.碰撞分类碰撞分类 弹性碰撞弹性碰撞 非弹性碰撞非弹性碰撞斜碰斜碰（从碰撞前后两球中心连线角度分类（从碰撞前后两球中心连线角

17、度分类 ） 正碰正碰完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 一般非弹性碰撞一般非弹性碰撞（从碰撞能量损失角度分类）（从碰撞能量损失角度分类） 例例8：已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，：已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，如图，求质点下滑至最低点时给木块的压力如图，求质点下滑至最低点时给木块的压力.mMR解：解：0 VMvm水平方向动量守恒水平方向动量守恒MVmv 机械能守恒，机械能守恒，222121MVmvmgR m相对相对M作圆周运动作圆周运动，m在最低点时，木槽加速度为在最低点时，木槽加速度为0M为惯性系，以为惯性系，以M为参照系，利用牛顿定律为参照系，利用牛顿定律RvmmgNmM2 而

18、而vvVmMmgMmN)32( 联立求解各式可得联立求解各式可得例例9：链条总长为：链条总长为 L，质量为，质量为 m，初始时刻如图悬挂，链条与桌，初始时刻如图悬挂，链条与桌 面间的摩擦系数为面间的摩擦系数为 ，链条由静止开始运动，求：，链条由静止开始运动，求： （1）、链条离开桌边时，摩擦力作的功？）、链条离开桌边时，摩擦力作的功？ （2）、这时候链条的速度？）、这时候链条的速度？Laa解解：当链条在桌面上的长度为当链条在桌面上的长度为X时，时，摩擦力摩擦力Lxmgf （1）、dxLxmgdxfdWf 180cos20)(2aLLmgdxLxmgWaLf （2）、）、由功能原理由功能原理 2

19、21212aaLmgmgLmvWf)()(222aLaLLgv xxdx 4-1 有一保守力有一保守力 F = (-AxBx2) i，沿沿 x 轴作用于质点上，式中轴作用于质点上，式中A、B 为常量，为常量，x 以以m计，计，F 以以 N计。（计。（1）取）取 x =0 时时EP = 0，试计算，试计算与此力相应的势能；（与此力相应的势能；（2）求质点从）求质点从x = 2m运动运动到到 x =3m时势能的变化。时势能的变化。 +()ABx2=0 xxdx=AB22x33x=AB23519EFP0 x=xd(1)+()ABEPx22=3xdx(2) 4-2 一质量为一质量为m的质点作平面运动，

20、其位的质点作平面运动，其位矢为矢为r = a cost i b sint j，式中，式中a、b为正值常量，且为正值常量，且ab问：问： （1）此质点作的是什么运动？其轨这方程）此质点作的是什么运动？其轨这方程怎样怎样? （2）质点在）质点在A点（点（a，0）和）和B点点（0，b）时的动能有多大？时的动能有多大？ （3）质点所受作用力）质点所受作用力 F 是怎样的？当质点是怎样的？当质点从从A点运动到点运动到B 点时，求点时，求 F 的分力的分力Fx i和和Fx j （4）F是保守力吗？为什么？是保守力吗？为什么？ytsin=bdytdvy=a sint= （1）此质点作的是什么运动？其轨这方）

21、此质点作的是什么运动？其轨这方程怎样程怎样?+=()1b2=xy2a()tsincost22+(1)tvxxdd=tcosb=(2)axcos t=解：解：当当A点点 (a,0) t = 0，bvy=0vx=mv212=mb2122vvy=当当B点点 (0,b) t = T/4，dytdvy=a sint=tvxxdd=tcosb=avx=0vy=avvx=mv212=ma2122=abij2tsincost2+a()bij=2tsincost+a=2r=Fm a=2rmWxd0axFx=bWyd0yFy=Fxx=2mFyy=2m=ma212Wxd0ax=2mxbWyd0y=2my=mb212

22、 两分力的功和路径无关，是一恒量。两分力的功和路径无关，是一恒量。所以有心力为保守力。所以有心力为保守力。=Fm a=2rm 4-3 一根原长一根原长 l0 的弹簧，当下端悬挂质的弹簧，当下端悬挂质量为量为m的重物时，弹簧长的重物时，弹簧长l = 2l0 。现将弹簧。现将弹簧一端悬挂在竖直放置的圆环上端一端悬挂在竖直放置的圆环上端A点。设环点。设环的半径的半径R=l0把弹簧另一端所挂重物放在光滑把弹簧另一端所挂重物放在光滑圆环的圆环的B点，如图所示。已知点，如图所示。已知AB长为长为1.6R。当重物在当重物在B无初速地沿圆环滑动时，试求：无初速地沿圆环滑动时，试求： （1）重物在）重物在B点的

23、加点的加速度和对圆环的正压力；速度和对圆环的正压力； （2）重物滑到最低点）重物滑到最低点C 时的加速度和对圆环时的加速度和对圆环的正压力。的正压力。 ABRCcos=1.6R/2R= 0.8agm sinm=tagsin=t= 9.80.6=5.88m/s22FNcos=+cosgmRxbkF=gm0.6R=2N=cosgmcosgm0.6=N=gm0.48gm0.28gm0.2N=N=gm0.2NABRCFNgm解：解：=037C点：点：+=FNRcgmmv2()12Bxk2cos2+ gmR 1.6R+mv212c1Cxk22=an=v2cRg= 0.8an= 0.89.8=7.84m/

24、s2mN =N =v2cR0.8mg NkgmRFCxk=系统机械能守恒，选系统机械能守恒，选C点为零势能点。点为零势能点。gv2c= 0.8 R解得：解得： 4-4 一根特殊弹簧，在伸长一根特殊弹簧，在伸长x m时，沿它时，沿它伸长的反方向的作用力为伸长的反方向的作用力为(52.8x +38.4x2)N。 （1）试求把弹簧从）试求把弹簧从x=0.50拉长到拉长到 x =1.00时，外力克服弹簧力所作的功。时，外力克服弹簧力所作的功。 （2）将弹簧的一端固定，在另一端栓一质）将弹簧的一端固定，在另一端栓一质量为量为 2.17 kg 的物体的物体 ，然，然 后后 把把 弹弹 簧簧 拉到拉到x =

25、1.00,开始无初速地释放物体，试求弹簧开始无初速地释放物体，试求弹簧缩回到缩回到x=0.5。时物体的速率。时物体的速率。31J=2mv=A=5.34 m/s=A+()x20.5x1dxFx=d52.838.4(1)=Wmv212(2) 4-5 一质点沿一质点沿 x 轴运动，势能为轴运动，势能为EP (x)，总能量为总能量为 E 恒定不变，开始时静止于原点，恒定不变，开始时静止于原点，试证明当质点到达坐标试证明当质点到达坐标 x 处所经历的时间处所经历的时间为为:(x)EPmv212=E+2mv2=(x)EPEtd=2mv=(x)EPExdtd=2m(x)EPExdtd=2m(x)EPExdt

26、0t=x0解：解：td=2m(x)EPExdt0t=x0 4-6 一双原子分子的势能函数为一双原子分子的势能函数为 式中式中 r 为二原子间的距离，试证明：为二原子间的距离，试证明： （1）r0 为分子势能极小时的原子间距；为分子势能极小时的原子间距； （2）分子势能的极小值为）分子势能的极小值为-E。 （3）当）当EP (r) = 0时，原子间距为时，原子间距为 （4）画出势能曲线简图）画出势能曲线简图 ()2Er120r0(r)P=E()r6r00d(r )PEdr=d(r )PEdr=()2Er120r0()r6r0ddr=()r11r012rr0() 12()r5r02rr020=()

27、r11r012rr0() 12()r5r02rr020+rr066=rr0=由分子势能极小值的条件由分子势能极小值的条件=()r11r0()r5r0得：得：()2Er120r0(r)P=E()r6r0解：解：(1)()2Er120r0(r)P=E()r6r0E0=()2r12r0()r6r0= 0()r6r0=21rr0=26rr0=(r)PE时代入时代入可得势能极小值可得势能极小值当当(2)(r)P=E0当当(3)(r)PErr0oE0(3)势能曲线势能曲线 4-7 小球的质量为小球的质量为m，沿着咙沿的弯曲轨，沿着咙沿的弯曲轨道滑下，轨道的形状如图。道滑下，轨道的形状如图。 （1）要使小球沿四形轨道运动一周而不脱）要使小球沿四形轨道运动一周而不脱离轨道，问小球至少应从多高的地方