实数的完备性

1、编辑ppt1 数数 学学 分分 析析第七章第七章 实数的完备性实数的完备性教学目标教学目标：1 理解确界定理、区间套定理、理解确界定理、区间套定理、 柯西收敛准则，有限覆盖定柯西收敛准则，有限覆盖定 理、聚点定理、致密性定理理、聚点定理、致密性定理 、单调有界定理及其相互推、单调有界定理及其相互推 证、应用。证、应用。2 培养严密的逻辑推理能力培养严密的逻辑推理能力 编辑ppt2第第七七章章 实实数数的的完完备备性性 1 1 关关于于实实数数集集完完备备性性的的基基本本定定理理 一 区间套定理与柯西收敛准则 定义 1 区间套: 设 , nnba是一闭区间序列. 若满足条件 ） 对n , 有 ,

2、 11nnba , nnba, 即 nnnnbbaa11, 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ） , 0nnab )(n. 即当n时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为:编辑ppt3 , 1221bbbaaann, 0nnab )(n. 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 na和 nb, 其中 na递增, nb递减. 例如 1 , 1 nn和 1 , 0 n 都是区间套. 但 21 , ) 1 (1 nnn、 1 , 0 ( n 和 11 , 1 nn 都不是. 一一 区区间间套套定定理理 编辑ppt4定理7.1(区间套定理) 设

3、, nnba是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点 , 使对n 有 , nnba. 简言之, 区间套必有唯一公共点. 二 聚点定理与有限覆盖定理 定义 设E是无穷点集. 若在点(未必属于E)的任何邻域内有E的无穷多个点, 则称点为E的一个聚点. 数集 E= 1 n有唯一聚点 0, 但 E0; 开区间 ) 1 , 0 (的全体聚点之集是闭区间 1 , 0 ; 编辑ppt5定理 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理. Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 1.1. 列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列

4、定理. 四 Cauchy 收敛准则 数列收敛的充要条件 : 1.1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为 Cauchy 列. 例例1 1 验证以下两数列为 Cauchy 列 : nnnx9 . 0sin9 . 09 . 0sin9 . 09 . 0sin9 . 02 . 12) 1 (513111nann . 编辑ppt6解 | 9 .0sin9 .09 .0sin9 .0| |11pnpnnnnpnxx 9 .09 .01pnn 9 .09 .01pnn119 .0109 .019 .0nn ; 对 0，为使 |npnxx ，易见只要 9 .0lg10lg1n

5、 . 于是取N . 1)(2)1(32) 1(12)1(|132pnnnaapnnnnpn 1)( 2) 1(3211211pnnnp 编辑ppt7当 p 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 1)(21321121pnnn 0 1)(213)(21721521321121pnpnnnnn, 又 1)(21321121pnnn 521321121nnn 编辑ppt8 1)(213)(215)(21pnpnpn 121n . 当 p 为奇数时, 1)(21321121pnnn 0 1)(213)(215)(21321121pnpnpnnn 1)(213211

6、21pnnn 编辑ppt9 121 1)( 213)( 21521321121npnpnnnn. 综上 , 对任何自然数p, 有 121 1)( 2) 1(32112101npnnnp n1 . Cauchy 列的否定: 例例1 1 nknkx11 . 验证数列nx不是 Cauchy列. 证 对 n , 取np , 有 编辑ppt10212 12111|nnnnnnxxnpn. 因此, 取210 , 1 1. . Cauchy收敛原理: Th 4 数列 na收敛 na是Cauchy列. ( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原则

7、给出证明 ) 五. 致密性定理: 六. HeineBorel 有限复盖定理: 1. 复盖: 先介绍区间族 , IG. 编辑ppt11定义( 复盖 ) 设 E 是一个数集 , G 是区间族 . 若对 , , ExIx , 则称区间族G 复盖了 E , 或称区间族G 是数集 E 的一个复盖. 记为. ,IE 若每个I 都是开区间, 则称区间族G 是开区间族. 开区间族常记为 , , ) , ( M. 定义( 开复盖 ) 数集 E 的一个开区间族复盖称为 E 的一个开复盖, 简称为 E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖. ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( xxxM复盖了区间) 1

8、, 0 (, 但不能 编辑ppt12例例1 1 复盖 1 , 0 ; ) , ( , ) 2 , 2 ( baxxbxxbxH复盖) , ba, 但不能复盖 , ba. 1. HeineBorel 有限复盖定理: 定理 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖. 2 2 实实数数基基 本本定定理理等等价价性性的的证证明明 证明若干个命题等价的一般方法. 本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: 编辑ppt13: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy收敛准则 确界原理 ; : 区间套定理 致密性定理 Cauchy收敛准则 ; : 区间套定理 HeineBorel 有

9、限复盖定理 区间套定理 . 一. “” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ). 1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”: 定理 单调有界数列必收敛 . 2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: 编辑ppt14定理 设 , nnba是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对n 有 , nnba. 推论 1 若 , nnba是区间套 , nnba确定的公共点, 则对0, ,N 当Nn 时, 总有 , nnba ) , (. 推论 2 若 , nnba是区间套 , nnba确定的公共点, 则有 na , nb , ) (n. 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”: Th

10、4 数列 na收敛 na是Cauchy列. 引理 Cauchy列是有界列. ( 证 ) 编辑ppt15证明: ( 只证充分性 ) 现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观. 4 用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ： Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设 E 为非空有上界数集 . 当 E 为有限集时 , 显然有上确界 .下设 E 为无限集, 取1a 不是 E 的上界, 1b 为 E 的上界. 对分区间 , 11ba, 取 , 22ba, 使2a 不是 E 的上界, 2b 为 E 的上界. 依此得闭区间列 , n

11、nba. 验证 nb为 Cauchy 列, 由 Cauchy 收敛准则, nb收敛; 同理 na收敛. 易见nb . 设nb .有 na. 编辑ppt16下证Esup.用反证法验证的上界性和最小性. 二. “” 的证明: 1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”: 定理 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 证 （ 突出子列抽取技巧 ） 定理 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 2用“致密性定理” 证明“Cauchy收敛准则” ： 定理 数列 na收敛 na是Cauchy列. 证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy列有界 有收敛子列验证收敛子列的极限即为 na的

12、极限. 编辑ppt17“” 的证明: 1. 用“区间套定理”证明“HeineBorel 有限复盖定理”: 2. 用“HeineBorel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”: 编辑ppt183 3 闭闭区区间间上上连连续续函函数数性性质质的的证证明明 一. 有界性: 命题 1 , )(baCxf, 在 , ba上)(xf) 1 (O. 证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法. 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 二. 最值性: 命题 2 , )(baCxf, )(xf在 , ba上取得最大值和最小值.( 只证取得最大值 ) 证 ( 用确界原理 ) 介值

13、性: 证明与其等价的“零点定理 ” 编辑ppt193 3 闭闭区区间间上上连连续续函函数数性性质质的的证证明明 一. 有界性: 命题 1 , )(baCxf, 在 , ba上)(xf) 1 (O. 证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法. 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 二. 最值性: 命题 2 , )(baCxf, )(xf在 , ba上取得最大值和最小值.( 只证取得最大值 ) 证 ( 用确界原理 ) 参阅1P226 证法 二 后半段. 三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”. 编辑ppt20命题 3 ( 零点定理 ) 证法 一 ( 用区

14、间套定理 ) . 证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 ,0)(af 0)(bf. 令 , , 0)( | baxxfxE, 则 E 非空有界, E 有上确界. 设Esup有 , ba. 现证 0)(f, ( 为此证明)(f0且)(f0 ). 取nx 且 nx) ( ,n. 由)(xf在点连续和0)(nxf, 0)(lim)(nnxff, E. 于是) ( , ntEtnn. 由)(xf在点连续和0)(ntf, 编辑ppt21 0)(lim)(nntff. 因此只能有0)(f. 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 二. 一致连续性: 命题4 ( Cantor 定理 ) 证法 一 ( 用区间套

15、定理 ) . 证法 二 ( 用列紧性 ). 习 题 课 （ 4 时 ） 一一 实数基本定理互证举例： 用“区间套定理”证明“单调有界原理” 编辑ppt22证 设数列 nx递增有上界. 取闭区间 , 11ba, 使1a 不是 nx的上界, 1b 是 nx的上界. 易见在闭区间 , 11ba内含有数列 nx的无穷多项, 而在 , 11ba 外仅含有 nx的有限项. 对分 , 11ba, 取 , 22ba使有 , 11ba的性质.于是得区间套 , nnba ,有公共点. 易见在点的任何邻域内有数列 nx的无穷多项而在其外仅含有 nx的有限项, nnxlim. 例例1 用“确界原理”证明“区间套定理”

16、. 证 , nnba 为区间套. 先证每个ma 为数列 nb的下界, 而每个mb 为数列的上界. 由确 na界原理 , 数列 na有上确界, 编辑ppt23数列 nb有下确界 . 设 inf nb, sup na.易见有 nnba 和nnba. 由) ( , 0nabnn， . 例例 1 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”. 证 ( 用反证法 ) 设 S 为有界无限点集, , baS . 反设 , ba的每一点都不是 S 的聚点, 则对 x , ba, 存在开区间 ) , (xx, 使在) , (xx内仅有 S 的有限个点. . 例例 2 用“确界原理”证明“聚点原理”. 证 设S 为有界无限

17、点集. 构造数集 ExE | 中大于x的点有无穷多个. 编辑ppt24易见数集E非空有上界, 由确界原理, E有上确界. 设 Esup. 则对0 ,由不是E的上界, E中大于的点有无穷多个; 由是E的上界, E中大于的点仅有有限个. 于是, 在) , (内有E的无穷多个点,即是E的一个聚点 . 一一 确界存在定理：回顾确界概念 Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 编辑ppt25二二. . 实实数基本定理数基本定理应应用用举举例：例： 例例1 设)(xf是闭区间 , ba上的递增函数, 但不必连续 . 如果aaf)(, bbf)(, 则0 x , ba, 使00)(xxf. ( 山东大学研究生入学试题 ) 证法 一 ( 用确界技术 ) 设集合 , )( | bxaxxfxF. 则Fa, F 不空 ; F , ba ,F 有界 . 由确界原理 ,F 有上确界. 设 Fxsup0, 则 0 x , ba. 下证 00)