2018寒假半角模型

1、WORD格式可编辑半角模型过等腰 ABC（AB=AC顶角A引两条射线且它们的夹角为-/A,这两条射线与底角顶点的相关直线交于 M N两点，则BM MN NC之间必然存在固定的关系， 这种关系仅与两条相关直线及顶角 A相关解决办法：以A为中心，把 CAN（顺时针或逆时针）旋转a度，至 ABN ,连接MN' 结论：1、4AM阵zXAMN , MN=MN'2 、若BM MN、N 'B共线，则存在x+y+z型的关系若不共线，则4 BMN中，/ MBN'必与/ A相关应用环境：1、顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为 30°、45°、60°、7

2、5° 90° ,或它 们的补角为这些特殊角度的时候；2、正方形、菱形等也能产生等腰三角形3、过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条角平分线、腰上的高、底角的 邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或菱形的另外两边 4、此等腰三角形的相关弦半角模型1 一C0 = P且日 + ' =180 .条件： 2思路：（1）、延长其中一个补角的线段（延长 CDS U E,使 ED=BM 连 AE 或延长 CBS J F,使 FB=DN,连 AF ）结论： MN=BM+EBJCamn =2AB am AN 分别平分/BMNffi/DNM专业知识分享(2)对称(翻折)

3、思路：分别将 ABMffi AADN AMffi AN为对称轴翻折，但一定要证明 M P、N三点共线.(/B+/ D=1800且AB=AD例题应用：例1、在正方形ABCDK若M N分别在边BC CD上移 动，且满足MN=BM+DN求证：./MAN45二 C 国mn 2AB .AM AN别平分/ BM恃口 / DNM.思路同上略.例2拓展：在正方形ABC冲，已知/MAN=5，若M N分别在边CBDC勺延长线上移动,.试探究线段MN BM、DN1间的数量关系.求证：AB=AH.（提示）例3.在四边形ABC冲，/B+/ D=180； AB=AD若E、F分别在边BCCDk,且满足EF=BE+DF.求证

4、:1 .EAF = /BAD.（提示）2例 4,在 ABC中，AB=AC /BAC=Z DAE=120 ,若 BD=5 CE=8 求 DE例五.请阅读下列材料：已知：如图1在RtAABC中，ZBAC =90，AB =AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若ZDAE =45，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 MEC绕点A顺时针旋转90: 得到MBE* ,连结ED ,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其

5、它 条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.例6探究：(1)如图1,在正方形 ABCLfr, E、F分别是BC CD上的点，且/ EA已45° , 试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结(2)如图2,若把 问中的条件变为“在四边形 ABCD, A况AD /B+/D =80° , E、F分别是边 BC CD上的点，且/ EAfJ/BAD ,则(1)问中的 结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；(3)在(2)问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC CD延长线上时，如图3所示，其它条彳不变，则

6、(1)问中的结论是否发生变化？若变化，请给 出结论并予以证明.练习巩固1:如图，在四边形 ABCDK /B=/ D=90：, AB=AD若E、1EAF=_.BAD._F分别在边BC CD上的点，且 2,求证：EF=BE+DF.A（提示）练习巩固2,已知：正方形ABCD中，/MAN =45。，绕点A顺时针旋转，它 的两边分别交CB DC (或它们的延长线)于点 M N.(1)如图1,当NMN 绕点A旋转到BM =DN时，有BM十DN = MN .当NMN 绕点A旋转到BM #DN时，如图2,请问图1中的结论还是否成立？如果成立， 请给予证明，如果不成立，请说明理由；(2)当/MAN绕点A旋转到如

7、图3的位置时，线段BM, DN和MN之间有怎样 的等量关系？请写出你的猜想，并证明.E,F分别是练习巩固 3(1)如图，在四边形ABCD中，AB=AD 2B=/D=90。,1边 BC,CD 上的点，且 NEAF=/BAD.求证：EF=BE+FD；2BC,CD上的(2)如图在四边形 ABCD中，AB=AD,NB+/D=180) E, F分别是边点，且/EAF =；/BAD , (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.BC ,CD(3)如图，在四边形ABCD中，AB=AD, /B+/ADC =180。，E,F分别是边请证延长线上的点，且/EAF=；/BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立, 明

8、；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.(4)如图，将边长为4cm的正方形纸片 ABCtB EF折叠(点E、F分别在边AR CD上), 使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN CD交于点P,连接EP.(1)如图，若M为AD边的中点，4AEM的周长=6 cm；求证：EP=AE+DP(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点 M不与A、D重合)，4PDM的周长是否发生 变化？请说明理由.(5).如图17,正方形ABCD E、F分别为BG CD4上一点.(1)若 / EAF=4O .求证：EF=BE+DF(2)若，AEF绕A点旋转，保持/ EAF=4O ,问，CEF的周长是否随，

9、AEF位置 的变化而变化？(3)已知正方形ABCD勺边长为1,如果，CEF的周长为2.求乙EAF的度数,1练习巩固 4.如图，五边形 ABCD呼，AB=BC=CD=DE=EACAD=/BAE,求 2/ BAE练习巩固5.如图，已知在正方形 ABCDK ZMAN=45,连接Bg AM AN分别交于E、F两点。求证：（1）MN=MB+DN(2)点A到MN的距离等于正方形的边长;(3)CMN勺周长等于正方形ABCD4长的2倍;(4)S ABCD 2ABABCD 一 ?SCMNMN(5)若. MAB=20° ,求 AMN；(6)若/MAB= 口(0 < 口 < 45 ),求/AM

10、N;EF2 = E2 + DP;(8)AENf AFM是等腰三角形;N(9)S AEFS AMNWORD格式可编辑专ik知识分享练习巩固 6.在等边MBC的两边AB , AC所在直线上分别有两点 M , N ,D为MBC外一点，且ZMDN 直线AB, AC上移动时， MBC的周长L的关系.= 60°, "DC =120©, BD =CD ,BM , BN , MN之间的数量关系及探究：当点M ,N分别爱 MMN的周长Q与等边图图图(1)如图，当点M ,N在边AB,AC上，且DM = DN时，BM , NC , MN之间的数 量关系式：此时Q =L(2)如图，当点M

11、 ,N在边AB, AC上，且DM # DN时，猜想(1)问的两个结论 还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(3)如图，当点M ,N分别在边AB,CA的延长线上时，若AN=x,则Q =(用x , L表小)练习巩固7.如图所示，ZXABC是边长为1的等边三角形，4BDC是顶角为120。的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的/ MDN点M N分别在AB, AC上，求 AMN勺周长练习巩固 8.如图，在正方形 ABCEfr, BE=3 EF=5, DF=4求/ BAE它DCF多少度。AM巩固练习 9、(三新练习册 P131)如图 1, RtAABCiRtAEDF ZACB=Z F=90

12、6; , /A=/ E=30° . zEDF绕着边AB的中点D旋转，DE, DF分别交线段AC于点MK.()如图 2、图 3,当/CD=0° 或 60° 时，AM+CKMK填“>"，“<”或“二”).如图 4,当/CD=30° 时，AM+CK MK只填“ >"或“ <”). 猜想：如图1,当0° < Z CDR60°时，AM+CK MK证明你所得到的 结论. 如果MK2 +CK&AM2,请直接写出/ CDF勺度数和MK的值.*必会结论 图形研究正方形半角模型【例】已知：正方形A

13、BCD , E、F分别在边BC、CD上，且 /EAF =45) AE、AF 分另交 BD 于 H、G ,连 EF .一、全等关系(1)求证： DF +BE = EF ; DG2 +BH =HG2 ; AE 平分/BEF , AF 平分/DFE.二、相似关系(2)求证： CE =、后DG ; CF =y2bH ; EF =V2HG .(3)求证： AB2 =BG DHAG2 =BG HG ; BE DF =-CE CF 2二、垂直关系(4)求证： AG _L EG ; AH _L FH ; tan/HCF =%. BE(5)、和差关系求证： BG -DG =&BE ; AD +DF =7

14、2DH ; | BE - DF t J2 | BH - DG |.WORD格式可编辑中考链接-一 正方形二相关题型-半角模型1, (2016石景山28).在正方形ABCM, E为边CD上一点，连接BE.(1)请你在图-1画出4BEM使彳# BEMt/XBECe于直线BE对称；(2)若边AD上存在一点F,使得AF+CE=EF请你在图2中探究/ ABF与 /CBE勺数量关系并证明；(3)在(2)的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CE<DE请写出求 cos/FED的思路.(可以不写出计算结果).图12专业知识分享答案1所示.(2) /ABF与CBE的数量关系：/ABF十NCBE=45l 分

15、证明：连接BF , EF ,延长DC到G ,使得CG = AF ,连接BG一弓分丁四边形ABCD为正方形，早A .AB = BC, /A=/BCD =NABC = 90Z 爪“_1I BAF 公' BCG ./ F . BF =BG , /ABF =/CBG ./. AF+CE = EF,/EF =GE .4 分g'qe d BEF BEG .丁. / FBE =/ MBE =/ABF +/CBE .2ABF +NCBE =45 5(3)求解思路如下：EF =x+a , DF =3ax ;a.设正方形的边长为3a , AF为x ,则 b.在 RtA EFD 中，由 EF2 =

16、DF 2 + DE2 ,222可得 x a = 3a-x 2a从而得到x与a的关系2x = 3a ；c.根据cos/FEDDEnm ,可求得结果. 7分EF x a2, （2016门头沟28）.在正方形ABCM,连接BD.（1）如图1, AE±BDT E.直接写出/ BAE的度数.（2）如图1,在（1）的条件下，将4 AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转 30°后得到 AB'E' , AB'与BD交于M, AE'的延长线与BD交于N.依题意补全图1;用等式表示线段BM D阴口 MNfe间的数量关系，并证明.门头沟28.解BAE=45°

17、;（本小题满分7分）（3）如图2, E、F是边BG CD上的点， CEF周长是正方形ABC州长的一 半，AE、AF分别与BD交于M N,写出判断线段BM DN MN间数量 关系的思路.（不必写出完整推理过程）1)/ 1分（2）依题意补全图形（如图1）;2分BM DN和乂必间的数量关系是 BM+ND=MN. 3证明：如图1,将4AN期点A顺时针旋转90° ,得AAFR ./ADB：/ FBA /1 = /3, DN=BF AF=AN. 正方形 ABCD AE1BD ./ADB：/ AB=45° .ZFBMtZ FBA+ / ABD : ZADB-ZAB=900 由勾股定理得f

18、B+bM=fM.;旋转 ABE得至iJAABE , . / E'AB' =45° , . /2+/3=90° 45° =450图2又 :/ 1=/ 3, . /2+/1=45° . 即 / FA的45° . ./ FAM:/E'AB' =45° 又. AMAM AF=AN . .AF蚱 AANIM .FMhMN.下言+3昨5,dN+bM=mR 5分(3)判断线段BM DN M也问数量关系的思路如下：a.如图2,将4ADF绕点A瞬时针旋转90°得 AB。推出DF=GBb.由zCEF的周长等于正方

19、形 ABC抑长的一半，得EF=DF+BE；c.由 DF=GB?口 EF=DF+BE推出 EF=GE 进而WAAE(GAAEFd.由zAE侬zAEF推出 / EAF=/ EAG=45° ;e.与同理，可证MN=BM+DN.7分3 (. 2016 一模(1)如图1,点E、F分别是正方形ABCD勺边BC CD上的点，ZEAF=45O,连接EF,则EF、BEFD之间的数量关系是：EF=BE+FD.连结BD交AE AF于点M N,且MN BM DN商足MN 如图 3,当/ BA(=a , (0 <口 <90 ) , / DA=1a 时，BD DE EC应满足的 等量关系是.【参考：sin2ot +cos2以=1 = BM 2 + DN 2 ,请证明这个等量关系；(2)在ABC, AB=AC点D、E分别为BC边上的两点.如图2,当/BA860