勾股定理典型例题归类总结

1、勾股定理典型例题归类总结9 .已知RtAABC的周长为,其中斜边 出5二2 ,求这个三角形的面积。10 .如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广(1)如图，以RtA ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积Si、S2、S3之间有何关系？并说明理由。(2)如图，以RtAABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1、S2、S3之间有何关系？(3)如果将上图中的斜边上白半圆沿斜边翻折180。，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”)9 / 21f水部分

2、AC./ x+0.5IBC1 勺长是:0.5米，弛芦苇K 2例1.如果梯子的底端离建筑物 9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?跟踪练习:1 .如图(8),水池中离岸边 D点1.5米的C处，直立K着 拉到岸边，它的顶端 B恰好落到D点，并求水池的深度2 .一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是()A、12 米B、13 米 C、14 米 D、15 米3.如图，有两颗树，一颗高 树梢，问小鸟至少飞行(10米，另一颗高4米，两机目距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的 )A、8 米 B、10 米C、12 米D

3、、14 米题型三：勾股定理和逆定理并用一一1 例3.如图3,正万形 ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB - AB那么 DEF是直4角三角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。跟踪练习：1.如图，正方形 ABCD中，E为BC边的中点，F点CD边上一点，且 DF=3CF ,求证：/ AEF=90°题型四：利用触殳定理求线段长度一一折叠使点D恰好落例1.如图4,已知长方形 ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点 E,将 ADE在BC边上的点F,求CE的长.跟踪练习：1 .如图，将一个有 45度角的三角板顶点 C放在一弓宽为

4、3cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30。角，求三角板的最大边 AB的长.2 .如图，在 ABC 中，AB=BC , / ABC=90° , D 为 AC 的中点，DE，DF,交 AB 于 E,交 BC 于 F, (1) 求证：BE=CF; (2)若 AE=3 , CF=1 ,求 EF 的长.3 .如图，CA=CB,CD=CE, / ACB= / ECD=90° ,D 为 AB 边上的一点.若 AD=1 , BD=3 ,求 CD 的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例1.有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.

5、5米的墙上，任何东西只要移至 5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？跟踪练习：1 .如图，每个小正方形的边长都是1, AABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断ABC的形s状，并说明理由.（1）求证：/ ABD=90 ；求四届笫的值2 .下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（）1 1 1A、9, 12, 15 B、7,24,25C、方+曲述D、3, 4, 53 .在 ABC中，下列说法/ B=ZC-ZA;=m+w(6 - d./ A: / B: /C=3: 4: 5;a:b:c=5:4:3 ;产：炉：（T=1：2：3,其中能判断 A

6、BC为直角三角形的条件有（）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个4 .在4ABC中，/ A、/B、/C的对边分别是a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个 是直角？（1） a=26, b=10, c=24; （2） a=5, b=7, c=9; （3） a=2, 1 =瓜,e=A、2个 B、3个C、4个D、5个5.已知 ABC的三边长为a、b、c,且满足（口一 5>+ R 1a+ Ve - 13 - Q,则此时三角形一定是（）A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形D、锐角三角形2.26 .在 ABC 中，若 a= n 1 , b=2n , c= n 1 ,则

7、4 ABC 是（）A、锐角三角形 B、钝角三角形C、等腰三角形D、直角三角形7 .如图，正方形网格中的 ABC是（）A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形8 .已知在 ABC中，/ A、/ B、/ C的对边分别是 a、b、c,下列说法中，错误的是（）A、如果/ C-/B=/A,那么 / C=90°B、如果/ C=90°,那么/ 彦二C、如果（a+b） （a-b） =C?,那么/ A=90° D、如果/ A=30° ,那么 AC=2BC9 .已知 ABC的三边分别为a, b, c,且a+b=3, ab=1, e = V吁，求口

8、* + '的值，试判断 ABC的形状,并说明理由10 .观察下列各式：32-F42=52,82+63 = ID2, 152 + 83 = 172, 2炉+ Id2 =却，根据其中规律, 写出下一个式子为 11 .已知，m>n, m、n为正整数，以17却二，2mn, m*+il*为边的三角形是 三角形.12 .一个直角三角形的三边分别为n+1 , n-1 , 8,其中n+1是最大边，当n为多少时，三角形为直角三角形？题型六：旋转问题：例题6.如图，P是等边三角形 ABC内一点,PA=2,PB= 2V3,PC=4,求 ABC 的边长.跟踪练习1.如图， ABC 为等腰直角三角形，/

9、BAC=90 ° , E、F是BC上的点，且/ EAF=45 ° ,试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由题型七：关于翻折问题例题7.如图，矩形纸片 ABCD的边AB=10cm , BC=6cm , E为BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点B 恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.跟踪练习,把 ADC沿直线AD翻折，点C落在点C'的位置，BC=4,1.如图，AD是4ABC 的中线，/ ADC=45 求BC '的长.（一）折叠直角三角形1.如图，在4ABC中，/ A = 90，点D为AB上一点，沿CD折叠 ABC，点A恰好落在 BC边上的A处,AB

10、=4 , AC=3 ,求 BD 的长。2.如图，Rt ABC 中，/ B=90°,AB=3 , AC=5 .将 ABC折叠使C与A重合，折痕为 DE,求BE的长.（二）折叠长方形1 .如图，长方形 ABCD中，AB=4, BC=5, F为CD上一点，将长方形沿折痕 AF折叠，点D恰好落在BC 上的点E处，求CF的长。2 .如图，长方形 ABCD中，AD=8cm , AB=4cm ,沿EF折叠，使点 D与点B重合，点C与C'重合.（1） 求DE的长；（2）求折痕EF的长.3 . （2013?德）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边 CD落在对角线 AC上，折痕为CE,且D点落在

11、对角线D'处.若AB=3 , AD=4 ,则ED的长为（4 .如图，长方形 ABCD中，AB=6 , AD=8 ,沿BD折叠使A至U A'处DA'交BC于F点.（1）求证：FB=FE （2）求证：CA / BD(3)求 DBF的面积7.如图，正方形 ABCD中，点E在边CD上，将 ADE沿AE对折至 AFE,延长EF交边BC于点G,GDE为BC的中点，连结 AG、CF. (1)求证：AG / CF; (2)求匚工 的值.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路 MN和公路PQ在P点处交汇，点 A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距 离为80米，假

12、使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？例2.一辆装满货物高为 1.8米，宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？跟踪练习：1 .某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东 600方向移动，距风暴中心 200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。北2 .一辆装满货物的卡车，其外

13、形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如下图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？3 .有一个边长为 50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整4 .如图，铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄，DA，AB于A , CB，AB于B ,已知DA=15km,CB=10km , 现在要在铁路 AB上建一个土特产品收购站 巳使得C, D两村到E站的距离相等，则 E站应建在离A站 多少km处？题型九：关于最短性问题例1、如右图1 19,壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正 上方油罐上边缘的 B处有一只害虫，便决定捕

14、捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而 是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美勾股定理典型例题归类总结餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（兀取3.14,结果保留1位小数，可以用计算器计算）图 1-19例2.跟踪练习：1 .如图为一棱长为 3cm的正方体，把所有面都分为 9个小正方形，其边长都是 1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面 A点沿表面爬行至右侧面的 B点，最少要花几秒钟？2 .如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有

15、一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台 阶面爬到B点，最短线路是多少？3 .一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm, 6cm, 12cm,一只蚂蚁想从盒底的 A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？4 .如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中,能全部放进去吗？311 / 21勾股定理典型例题归类总结题型十：勾股定理与特殊角（1） 直接运用30°或45°的直角三角形1 .如图，在 ABC中，/ C = 90 ； / B = 30 ； AD是4ABC

16、的角平分线，若 AC= 2J3 ,求AD的长。15 / 212 .如图，在 ABC 中，/ ACB = 90 °, AD 是 ABC 的角平分线， CD±AB于 D, / A= 30 °, CD=2 ,求 AB3.如图，在 ABC 中，AD± BC于 D, / B= 60 °, / ,C= 45；AC=2 ,求BD的长。D（2） 作垂线构造30°或45。的直角三角形（1） 将105°转化为45°和60°1 .如图，在 ABC 中，/ B= 45 °, Z A=105 ° , AC=2

17、,求 BC 的长。2.如图，在四边形ABCD 中，/ A=/C= 45°, / ADB= Z ABC=105 °，若 AD=2,求 AB 的长；若AB+CD= 2 石+2,求 AB 的长。（2）将75°转化为30°和453.如图，在 ABC 中，/ B= 45 °, / BAC=75,AB= J6 ,求 BC 的长。题型十一：运用勾股定理列方程AD 平分/ CAB 交 CB 于 D, CD=3,BD=5 ,求 AD 的长。（一）直接用勾股定理列方程1.如图，在 ABC 中，/ C= 90 °,CD=8 ,求AB的长。2 .如图，在 A

18、BC 中，AD± BC于 D,且/ CAD=2 / BAD,若 BD=3 ,（二）巧用“连环勾”列方程1.如图，在 ABC 中，AB=5 , BC=7, AC= 4石，求 S abc2 .如图，在 ABC 中，/ ACB= 90,CD)± AB于 D, AC=3 BC=4,求 AD 的长。3 .如图， ABC 中，/ ACB=90° ,CD LAB 于 D, AD=1 , BD=4,求 AC 的长4.如图， ABC 中，/ ACB=90° , CD LAB 于 D, CD=3 , BD=4 ,求 AD 的长题型十二：勾股定理与分类讨论（一） 锐角与钝角不

19、明时需分类讨论一1 .在4ABC 中，AB=AC=5 , $86三求 BC 的长2 .在4ABC 中，AB=15 , AC=13 , AD 为 ABC 的高，且 AD=12 ,求 ABC 的面积。（二）腰和底不明时需分类讨论3 .如图1, 4ABC中，/ ACB=90° , AC=6 , BC=8 ,点D为射线 AC上一点，且 ABD是等腰三角形，求 ABD的周长.（三）直角边和斜边不明时需分类讨论1 .已知直角三角形两边分别为2和3,则第三边的长为 2 .在 ABC中，/ ACB=90° , AC=4 , BC=2 ,以AB为边向外作等腰直角三角形 ABD ,求CD的长3

20、 .如图，D（2,1），以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个？写出落在x轴上的顶点坐标.题型十三：也上b = 依1或问题的证明勾股定理典型例题归类总结勾股定理典型例题归类总结1 .如图 1, 4ABC 中，CA=CB , / ACB=90° , D 为 AB 的中点，M、N 分别为 AC、BC 上一点，且 DM，DN. (1)求证：CM+CN=VBD(2)如图2,若M、N分别在AC、CB的延长线上，探究 CM、CN、BD之间的数量关系式。17 / 212 .已知/ BCD=a , / BAD=3 , CB=CD. (1)如图 1,若 a =3

21、 =9 0 求证：AB+AD=AC ; (2)如图 2,=60；求证：AB=AD= AC ; (4)如图若 a = 3 =90° 求证：AB-AD= V?AC; (3)如图 3,若 a =120；3,若 a =3 =12 0 求证：AB-AD= V3AC ；题型十四： -问题的证明1 .如图，OA=OB , OC=OD , /AOB= / COD=90 , M、N 分别为 AC、BD 的中点，连 MN、ON.求证：MN=J?ON.2 .已知 ABC 中，AB=AC , / BAC=90° , D 为 BC 的中点，AE=CF ,连 DE、EF. (1)如图 1,若 E、F

22、分别在AB、AC上，求证：EF=WdE; (2)如图2,若E、F分别在BA、AC的延长线上，则(1)中的结 论是否仍成立？请说明理由.图1图23 .如图， ABD中，。为AB的中点，C为DO延长线上一点，/ ACO=135° , / ODB=45探究OD、OC、 AC之间相等的数量关系.19 / 214.如图， ABD是等腰直角, 于H .求证：AB K yj CBAD=90° , BC / AD , BC=2AB , CE 平分/ BCD，交 AB 于 E,交 BD(1) DC=VDA ; (2) BE=VDH题型十五：勾股定理（逆定理）与网格画图勾股定理典型例题归类总结

23、1 .如图，每个小正方形的边长为1, A、B、C是小正方形的顶点，则/ ABC的度数为.2 .如图，每个小正方形的边长都是1,在图中画一个三角形，使它的三边长分别是3,2/2, 内 且三角形的三个顶点都在格点上.3 .如图，每个小正方形的边长都是1,在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上.4 .在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个.5.如图，在4个均匀由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这与众不同的是 中的三角形，图4中最长边上的高为 4个三角形中,6 .如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小正方形的顶点叫格点，以

24、格点为顶点分别按下列要求画图：(1)画一条线段 MN,使MN=*'13； (2)画 ABC,三边长分别为 3, 4TT, 小。7 .如图，在5X5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点在格点上.(1)图1中以AB为腰的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边长.(2)图2中，以AB为底边的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边上的高.题型十六：利用勾股定理逆定理证垂直1.如图，在 ABC中，点 D为BC边上一点，且 AB=10 , BD=6 , AD=8 , AC=7 ,其求CD的长.2.如图，在四边形ABCD 中，/ B=90°, AB=2 , BC = V- CD=5 , AD=4 ,求四.3 .如图，在 ABC中，AD为BC边上的中线， AB=5,AC=13,AD=6 ,求BC的长.勾股定理典型例题归类总结4 .已知 ABC中，CA=CB, /ACB=a