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1、精选优质文档-倾情为你奉上如果说有一种平面图形,它的面积是有限的而周长却是无限的,你相信吗?“雪花曲线”就是这样。那么,什么是“雪花曲线”呢?“雪花曲线”是从一个等边三角形(如图)开始,一步一步作出来的。第一步:把等边三角形的各边三等分,从每条边三等分后的中段,向外作小等边三角形,再去掉与原来等边三角形重叠的边(如图)。为了便于叙述,以后把这个过程简称为“变化”。第二步:对上一步得到的小等边三角形,重复上面的变化(如图)。第三步:再对上一步得到的小等边三角形,重复上面的变化(如图)。第四步:再对上一步得到的小等边三角形,重复上面的变化(如图)。第五步、第六步照这样一直进行下去,就得到“雪花曲线
2、”。现在来计算“雪花曲线”(所围成的图形)的面积和周长。从以上过程可以看出,“雪花曲线”是一个边长、边数不断变化,同一图形边长相等的对称图形。所以,必须首先研究一下图形的边数、边长和面积的变化规律。观察发现:规律一:每次变化后,原来等边三角形的一条边,所形成的折线包括4条线段,所以,新图形的边数是原图形的4倍,而边长是原图形的1/3;规律二:每次变化后,原来等边三角形的一条边上,所作的小等边三角形的面积,是原来等边三角形面积的1/9(参看下图)。一、“雪花曲线”的面积:为了便于计算,设原来等边三角形的面积为“1”。第一步以后,因为原来的边数是3,向外作了3个小等边三角形;每个小等边三角形的面积
3、是1/9,增加的面积是3×1/9。第二步以后,边数变成3×4,向外作了3×4个小等边三角形;每个小等边三角形的面积是(1/9)2,增加的面积是3×4×(1/9)2。第三步以后,边数变成3×42,向外作了3×42个小等边三角形;每个小等边三角形的面积是(1/9)3,增加的面积是3×42×(1/9)3。第四步以后,边数变成3×43,向外作了3×43个小等边三角形;每个小等边三角形的面积是(1/9)4,增加的面积是3×43×(1/9)4。依次类推,第n步以后,边数变成3&
4、#215;4n-1,向外作了3×4n-1个小等边三角形;每个小等边三角形的面积是(1/9)n,增加的面积是3×4n-1×(1/9)n。于是,“雪花曲线”的面积S雪13×1/93×4×(1/9)23×42×(1/9)33×43×(1/9)43×4n-1×(1/9)n化简,由第3项开始,从每项的最后一个因数中,拿出1个1/9,与前面的3乘在一起,于是:S雪13×1/9(3×1/9)×(4×1/9)(3×1/9)×(4
5、215;1/9)2(3×1/9)×(4×1/9)3(3×1/9)×(4×1/9)n-111/31/3×4/91/3×(4/9)21/3×(4/9)31/3×(4/9)n-111/314/9(4/9)2(4/9)3(4/9)n-1中括号里面是一个首项为1,公比为4/9的无穷等比数列。根据等比数列的求和公式,首项为a,公比为q时,等比数列前n项的和Sna(1qn)/(1q)。对于q1的无穷等比数列来说,qn趋于0,Sa/(1q)。这里,a1,q4/91,所以,中括号里面的和等于1/(14/9)9/5。于是,“雪花曲线”的面积是S雪11/3×9/513/58/5。即,“雪花曲线”的面积是原来等边三角形的8/5倍。二、“雪花曲线”的周长:因为,周长边长×边数,而每次变化后,边长是原来的1/3,边数是原来的4倍,所以,周长是原来的1/3×44/3。也就是说,每次变化后,边长都比原
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