高中数学必修五学案习题课正弦定理和余弦定理

1、人教版高中数学必修五13正弦定理和余弦定理1. 学会利用三角形中的隐含条件.2. 掌握用.3.学会根据条件特点选择正弦、余弦定理解决一些和三角函两边夹角表示的三角形面积公式数、向量有关的综合问题.知识点一 有关三角形的隐含条件“三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论：由A+B+ C= 180 可得sin(A+ B) = sinC, cos(A+ B)= cosC,一 一 . A+B Ctan(A+ B) = tanC, sin ? = cos2,A+B cC cos-2- = sin2.(2)由三角形的几何性质可得acosC+ ccosA= b., b

2、cosC + ccosB= a,acosB+ bcosA = c.(3)由大边对大角可得sinAsinB? AB.兀、日 一(4)由锐角 ABC可得任意两内角之和大于 2,进而可得sinA_ cosB.知识点二用两边夹角表示的三角形面积公式思考 在 ABC中，如何用 AB, /B表示BC边上的高 AD ?如何用 AB,BC, / B表示 ABC的面积？答案 AD = ABsinB, $ abc11= 2BC AD = 2AB BC sinB.11梳理 一般地，二角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半，即SBc=2absin C= Qbcsin A1=gacsin B.知识点三 正弦定理、余弦定理

3、常见形式1 .正弦定理的呈现形式葛=磊=C=2R(其中 raabc#M ),喘=誓=2而 sinB sinC,c、. abc(3)sinA=京，s1nB=示 sinC=2R.2 .余弦定理的呈现形式a2 = b2+ c2 2bccosA, b2= a2 c2 2accosB,c2= a2+ b2 2abcosC;b2+ c2- a2(2)cosA = =2c-，a2 + c2 b2cosB=2ac a2+ b2c2cosC=2ab特别提醒：解题的关键是根据题目特点，选择恰当的定理及变形，进行边角互化，转化为代 数问题或者三角恒等式，再利用三角恒等变换解决问题，中间往往会用到一些三角形的隐含 条

4、件如内角和等1 .在MBC 中，若 sinA= sinB,则 A=B.)2 .在4ABC 中，若 sin2A=sin2B,则 A=B.(X)3 .在4ABC 中，若 cosA=cosB,则 A= B.(V)类型一利用正弦、余弦定理转化边角关系2例 1 在 ABC 中，右 c cosB = b cosC, cosA=-,求 sinB 的值.3考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角变换的综合解 由c cosB=bcosC,结合正弦定理，得 sinCcosB= sin BcosC,故 sin(B C) = 0, ,0B tt, 0C %,- TtB-CTt,B- C= 0, B=

5、C, b=c.一 2- cosA=w，.由余弦定理，得 3a2= 2b2, 3再由余弦定理，得 cosB = 66,故sinB = 60.引申探究1.对于本例中的条件，c cosB=b cosC,能否使用余弦定理?由余弦定理，得a2+c2b2a2+b2c27= b ;, .2ac2ab化简得 a2+ c2 b2= a2+ b2 c2,c2= b2,从而 c= b.2.本例中的条件 c cosB= b cosC的几何意义是什么?解如图，作ADXBC,垂足为D.则 ccosB = BD, bcosC = CD. ccosB= bcosC的几何意义为边 AB, AC在BC边上的射影相等反思与感悟(1

6、)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段(2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式跟踪训练1 在 ABC中，已知b2=ac, a2c2=acbc.(1)求A的大小;(2)求岁的值.考点正弦、余弦定理解三角形综合题点正弦、余弦定理解三角形综合解(1)由题意知,b2 + c2 a2cosA=-2bcac+bcac 1z =二2bc 2一兀AC(0,.-.A=-.3,2ba(2)由 b2=ac,得 Xb， c b,bsinBa sinA= sinB b= sinB sB= sinA=$.类型二用两边夹角表示三角形面积命题角度1求三角形面积例2 在 ABC中，已知

7、BC = 6, A = 30, B= 120,则 ABC的面积为()A.9B.18C.9 .3D.18 .3考点解三角形求面积题点先用正弦定理求边或角再求面积答案 C解析由正弦定理得ACsin BBC .BC sin BACsin Asin A6X sin 120 sin 30 一 . =6M3.又.9= 180 - 12030 = 30 ,Saabc = AC BC sin C = 2X 6736X 2= 9/3.反思与感悟求三角形面积，主要用两组公式1 一 士(1)X 底 X 局.(2)两边与其夹角正弦的乘积的一半.选用哪组公式，要看哪组公式的条件已知或易求跟踪训练2 在4ABC中，内角A

8、, B, C所对的边分别是 a, b, c,若A = 60, b=16,此 三角形的面积S= 220弧则a的值为()A.7B.25C.55D.49考点用正弦定理解三角形题点已知面积求边或角答案 D113斛析 由 S= 220y3,得2bcsin A= 2203,即 2X16XcX 2 =22043,，c=55.由余弦te理，1得 a2= b2+c22bccos 60 = 162 + 552 - 2X 16 X 55 X 2 = 2 401,，a = 49.命题角度2 涉及三角形面积的条件转化例3 在 ABC中，内角 A, B, C的对边分别是 a, b, c,若sinB=2sinA,且 ABC

9、的面积为 a2sinB,则 cosB=.考点用余弦定理解三角形题点逆用面积公式、余弦定理解三角形,1答案141C斛析 由 sin B= 2sin A, 4导 b=2a,由 ZABC 的面积为 a2sin B,得2acsin B= a2sin B,即 c=a2 + c2b2a2 12a，.ss B = -2ac =宕=7反思与感悟表示三角形面积，即使确定用两边夹角，还要进一步选择好用哪两边夹角.跟踪训练3已知 ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,面积S= ；(a2+b2c2),则角C为()A.135 B.45 C.60 D.120 考点用余弦定理解三角形题点逆用面积公式、余弦定

10、理解三角形答案 B11斛析 S= 4(1+b2c2) = 2absin C,a2+ b2 c2= 2absin C,c2= a2+ b22absin C.由余弦定理 c2= a2+b22abcos C,彳导 sin C= cos C.又 CC (0 ； 180 ), .C=45 .类型三正弦、余弦定理与三角变换的综合应用例 4 在 ABC 中，a, b, c分别为角 A, B, C 的对边，4sinb2+c2a2 1 cOSA= 2， 2bc=2，化简并整理，得(b+c)2-a2=3bc,将2=/3, b+c=3代入上式，得bc= 2.b+c= 3,b = 1,b=2,则由解得或 bc= 2,

11、c= 2c= 1.反思与感悟(1)解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程.(2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检验所求角是否符合题意等问题中有 着重要的作用.(3)三角恒等变换公式及其变形是否熟练，对顺利化简非常重要ByC- cos2A = -7.求A的度数；(2)若 a=M3, b + c= 3,求 b和 c 的值.考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角变换的综合一 , B+C7一一解 由 4sin22 cos2A=2及 A+B+C=180 ；7得 21 -cos(B+C)- 2cos2A+1 = 2,4

12、(1 + cosA) 4cos2A= 5,即 4cos2A 4cosA+ 1 = 0,1 . (2cosA1)2 = 0,解得 cosA = 2.0OA180 ,A= 60.b2+ c2- a2(2)由余弦定理，得 cosA=2bc .跟踪训练4 在 ABC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c, a2+ c2b2=6ac.求2sin2A 52+ sin2B 的值.考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角变换的综合由已知得a2 + c2-b22ac3 所以co田=5,sinB = M - cos2B= 5,2A+ C所以2sin 22B ,+ sin2B= 2cos

13、22 + sin2 B=1 + coSB + 2sinBcosB3 - 4 3=1+一+ 2X-X-=55 56425.1.在锐角 ABC中，角A, B所对的边分别为a, b,若2asinB = 43b,则角A等于（）兀A.万兀B.6C.D.考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理进行边角互化解三角形答案 D解析 在4ABC中，利用正弦定理，得一 .-一匚. LC兀一 2sinAsinB = q3sinB, . BC 0, 2 , sinBw0） sinA=里又. A 为锐角,A=3.2.在ABC中，若c=2acosB,则4 ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D

14、.等边三角形考点判断三角形形状题点 利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状答案 C解析 c= 2acosB,由正弦定理得， 2cosBsinA = sinC= sin(A+ B),sinAcosB cosAsinB= 0,即 sin(A-B) = 0,又 一 兀-A一 B Tt,A-B=0, .1. A= B.ABC是等腰三角形.3.在ABC 中，若满足 sin2A=sin2B +J3sinB sinC+sin2C,则 A 等于（A.30 B.60 C.120 D.150 考点正弦、余弦定理解三角形综合题点正弦、余弦定理解三角形综合答案 D解析 设内角A, B, C的对边分别为a, b, c, sin2A= sin2B + V3sin B sin C+ sin2C,由正弦定理得a2= b2+ c2+ #bc,b2+c2a2cos A=2bc又 0 A 3B