平行四边形矩形菱形正方形的性质与判定

1、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（1）九年级数学备课组 课型：新授【学习目标】1、会证明平行四边形的性质定理及其相关结论2、能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力【教学重、难点】重点：平行四边形的性质证明表达格式的逻辑性完整性精炼性难点：分析综合思考的方法【情境创设】根据我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，填写下表:平行四边形矩形菱形止方形对边平行对边相等四边相等对角相等4个角是直角对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直两条对角线平分两组对角你能说说它们之间有什么联系与区别吗B'IAB如图AB/

2、AB ,BC/BC ,CA/C A ,图中有 个平行四边形。C'【合作交流】活动1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质活动2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个为什么活动3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。【典题选讲】例1.已知，如图，在平行四边形 ABCM,对角线 AC BD相交于点O,求证：AO=CO BO=DO思考与表达怎样想怎样写1要证 AO=CO BO=DO 八只需证 AO望 COD只需证AB=CD只需证 AB黄 CDA由此证明过程，同时也证明了定理 “平行四边形对边相等”、“平行四边形对角相等”这样我们可得平行四边形的三条性质定理：平行四边形对边相等。平

3、行四边形对角相等。平行四边形对角线互相平分。例2、证明“夹在两条平行线之间的平行线段相等”分析：根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写出已知、求证，最后根据已知条件写出证明过程。例3、已知：如图， ABCDfr, E、F分别是CD AB的中点。求证：AE=CF【课堂练习】1、已知：如图，在平行四边形 ABCM, AB= 8cm, BG= 10cm, 六Z C= 1200,/求BC边上的高AH的长；/求平行四边形ABCM面积/BH3.平行四边形 ABCDW两条角线 AC与BD相交于 Q已知AB=8,BC=6 , AOB的周长为18,求AOD勺周长。4.已知：如图,口 ABCD43, BD是

4、对角线，A已 BD于 E, CH BD于 F.求证：BE=DF.【学习体会】引导学生自我归纳总结1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。2、是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。3、平行线之间的距离处处相等。平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（2）九年级数学备课组课型：新授【教学目标】：1 .使学生能应用矩形定义、性质等知识，解决有关问题，进一步培养学生的逻辑推理能力。2 .能将矩形的判定定理和性质定理综合应用，激发学生的探索精神【教学重点】：矩形的本质属性教教学难点】：矩形性质定理的综合应用【预习指导】1、叫矩形，（八上P117）由此可见矩形是特殊的 因而它

5、且有上节课我们证明过的平行I这三 个性质。2、证明：矩形的四个角都是直角如图：已知求证：图形：画在下面方框内3、证明：矩形对角线相等如图：已知求证：图形：画在下面方框内【探索活动】如图 矩形ABCD对角线相交于 E,图中全等三角形有哪些准备说说看。将目光锁定在 RtABC中，你能看到并想到它有什么特殊的性质吗现在我们借助于矩形来证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。"（如何证明）【典题选讲】例1、已知：如图，矩形 ABCD勺两条对角线相交于点 O,且AC=2AB求证： AOB是等边三角形分析：利用矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，结合“AC=2AE即可证得。例2、如图BD

6、, CE是4ABC的两条高，M是BC的中点，求证 ME=MD A例3、矩形纸片 ABCDh, AD=4cm,AB=10cm如图方式折叠，使点 B与点D重合，折痕为 EF,则ED等于多少【课堂练习】(A) 98(B) 196(C) 280(D) 284/ DAE： / EAB=2： 1,求/ CAE的度数。2.在矩形 ABCDK 对角线 AC, BD相交于点 O,若对角线 AC=10cm 彷 BC=?8cm ?则4 ABO的周长为3.如图1,周长为68的矩形ABCDt分成7个全等的矩形，则矩形 ABCD勺面积为（）.(1)(2)(3)4 .如图2,根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路 (？小

7、路任何地方水平宽度都相等)， 则剩余实验田的面积为 .5 .如图3,在矩形ABCD, M是BC的中点，且 MU MD ?若矩形ABCD的周长为48cm, ?则矩形ABC而面积为 cm2.6 .已知，如图，矩形 ABCD勺对角线AG BD相交于点O, E, F分别是OA OB的中点. (1)求证： AD珞 BCF (2)若 AD=4cm AB=8cm 求 OF的长.7 .如图，在矩形 ABCD43,已知 AB=8cm BC=10crm折叠矩形的一边 AD,使点D落在BC边 的中点F处，折痕为AE,求CE的长.【学习体会】从位置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边形、矩形的对角线把它们分

8、成的三角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；反过来，我们又 利用矩形的性质证明“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半” 。平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定(3)九年级数学备课组课型：新授【教学目标】1、会归纳菱形的特性并进行证明2、能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力，进一步体会证 明的必要性教教学重、难点】重点：菱形的性质定理证明难点：性质定理的运用生活数学与理论数学的相互转化【情境创设】1 .将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打 开，你发现这是一个什么样的图形（同桌互相帮助。）2

9、 .探索。请你作该菱形的对角线，探索菱形有哪些特征，并填空。（从边、对角线入手。）（1） 边：都相等；（2）对角线：互相垂直。（学生通过自己的操作、观察、猜想，完全可以得出菱形的特征，这对学生来说是富有意义的活动，学生对此也很感兴趣。）问题：你怎样发现的又是怎样验证的（可以指名学生到讲台上讲解一下他的结果。）3 .概括。菱形特征1:菱形的四条边都相等。菱形特征2:菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。引导学生剖析矩形与菱形的区别。矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分；菱形的四条边都 相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分它的一组对角

10、。4 .请你折一折，观察并填空。（引导学生归纳。）（1） 菱形是不是中心对称图形对称中心是 。（2） 是不是轴对称图形对称轴有几条 。【合作交流】问题一观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现（引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地 积累数学活动的经验）问题二 证明：菱形的4条边都相等。菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。分析：第一条定理可先用“两组对边分别相等”证明平行四边形，再利用一组邻边相等得证；第二条定理可利用“三线合一”证得。【典题选讲】例1、 如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点 A E、F、C G

11、H是上、下 两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点 B、M处固定，则R之间的距离是多少例2、已知：如图，四边形ABC皿菱形，G是AB上任一点,求证：/ AGD之 CBE【课堂练习】1 .已知菱形的周长为 16cm,则菱形白边长为 cm.2 .已知四边形 ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm DB=6cm ?菱形的边长是cm.3 .已知菱形的边长是 5cm, 一条对角线长为8cm,则另一 条对角线长为 cm.4 .菱形 ABCM周长为40cm,两条又扪I线 AC: BD=4: 3,

12、那么对角线AC=cm BD=cm5 .如图，四边形 ABC虚菱形,/ ABC=120 , AB=12cm 则/ ABD的度数为 , ?/ DAB的度数为 ;对 角线BD=, AC=6 .菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（A） 1 个（B） 2 个（C） 3 个（D） 4 个7 .如图，在菱形 ABCD43, CEL AB, E 为垂足，BC=2，BE=1, 菱形的周长和面积.8、如图，在菱形 ABCD, E、F分别是AR CD的中点， 如果EF=2,那么ABCM周长是（D ）A. 4B. 8C. 12D. 169、如图，已知菱形的两条对角线长为a ,b ,你能将菱形沿对角线分

13、割后拼接成矩形吗画图说明（拼出一种图形即可）；在此过程中，你能发现菱形的面积与a , b的关系吗拼法（2）S!形SS 形(1)或S菱形SS形（2）拼法(1)11.1.a b ab,2221111-b- b-a- at).2222结论：菱形的面积等于两对角线乘积的一半.【学习体会】菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形问题，常常可以转 化为等腰三角形或直角三角形问题。平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（4）九年级数学备课组课型：新授【教学目标1、会归纳正方形的特性并进行证明2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步体会证明

14、的必要性以及计算与证明在 解决问题中的作用4、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系 教教学重、难点】1 .经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力2 .有条理地、清晰地阐述自己的观点【情境创设】这是一个流传在世界各地的故事，三姐妹的父亲是一位慈祥的阿拉伯老人。一天，老 人不幸去世，临终，老人留给三个女儿一件珍贵的传家宝一一一块五色斑斓的正方形地毯， 深爱父亲的女儿们都想得这块地毯，以作纪念。大姐想出了一个好办法：“把它裁成三个小正方形地毯，为了不使地毯剪得过于零碎，最好只剪成4块，其中两块是正方形，另外两块可以拼成一个正方形。”聪明的你能

15、想出一个巧妙的剪法，符合大姐的设想吗【合作交流】探索正方形的性质(1)边的性质：;(2)角的性质：;(3)对角线的性质：;(4)对称性：。【典题选讲】例1、 已知：如图，正方形ABC面对角线ACBD相交于点O;正方形A B' C D' 的顶点A与点O重合，A B'交BC于点E, A D'交CD于点F, E是BC的中点。 / EOCh DOF又 OC=ODa OCEh ODF=45 . OCE ODF(ASA) 11 . DF=CEJ BC=，CD,即 F 是 CD的中点。 22(2)证明方法同前方法二。由(1)、(2)可以得到什么结论(无论正方形 A B C&#

16、39; D'绕点。旋转并与正方形ABC防另I交BG CD于点E、F,总有OE=OF BE=CF EC=FD两个正方形的重叠部分的面 积始终等于正方形 ABC面积的四分之一一等等)例2、已知，在正方形 ABC邛,E是BC的中点，点 F在CD上，/ FAE= /BAE.求证：AF= BC+FC.两种添线方法。例3、（2006年潍坊市）如图7,边长为1ABCD绕点A逆时针旋转 图中阴影部分的面积为（A. L230?°到正方形 ）的正方形 AB' C D',C. 1-23【课堂练习】1.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点Ai、为、An分别是正方形的中

17、心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（A. cm2B4c n 12C. cm,n-cm4D. ()n cm242、已知正方形 ABCDMl图2四3(1)如图1, E是AD上一点，过 BE上一点O作BE的垂线，交 AB于点G 交CD于点H, 求证：BE= GH(2)如图2,过正方形 ABCErt任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD BC于点E、F,交AR CD于点G H, EF与GH相等吗请写出你的结论；(3)当点O在正方形ABCD勺边上或外部时，过点 。作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边(或它们的延长线)截得的两条线段还相等吗其中一种情形如图3所示，过正方形ABCM一点。作互相垂

18、直的两条直线 mr n, m与AR BC的延长线分别交于点 E、F, n 与AR DC的延长线分别交于点 G H,试就该图对你的结论加以证明。 练习：3、(2006 济南市)现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点 2cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成 5部分，则中 间阴影部分的面积是 cm 2 ;若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律 .2cm16题图2cm【学习体会】(请填写它们之间的关系)正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如下图。(2)正方形的性质：正方形对边平行。正方形四边相等

19、。正方形四个角都是直角。正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对(3)本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的 情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法。平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定(5)九年级数学备课组课型：新授【教学目标】1、会证明平行四边形的判定定理，结合具体命题了解反证法2、能运用平行四边形的判定定理及反证法进行简单的计算与证明3、能运用平行四边形的性质与判定定理进行比较简单的综合推理与证明4、初步体会证明过程中的反证法的思想及其说理的过程【教学重、难点】重点：

20、平行四边形判定定理的证明，反证法难点：用反证法证明【情境创设】回忆我们曾探索得到的一个四边形是平行四边形的条件，填写下表:条件结论四边形ABCD对角四边形ABCD是平线AG BD相交于点0行四边形【合作交流】问题一你能证明我们曾探索得到的平行四边形的判定方法是正确的吗证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。分析：先根据命题画出图形，再写出已知、求证，最后用研究平行四边形常见的辅助线“连结对角线”证三角形全等，得到两组内错角相等，由平行线证出平行四边形。问题二证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。问题三你认为“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论正确吗为什么问题四

21、你认为“在四边形 ABCD中，如果OA=OC OH OD那么四边形 ABCM是平行四边形”这个结论正确吗为什么分析：假设四边形 ABC虚平行四边形，那么OA=OC OB=OD这与条件 O& O"盾,所以四边形 ABCM是平行四边形。假设条件成立，结论不成立，然后由这个“假设”出发推导出与条件矛盾的结果，从这样更简便而证明结论一定成立，这种证明方法叫做反证法。【典题选讲】BD例1 已知：如图，在 DABCD,对角线 AG 相交于点 Q AE± BQ CF± BD,垂足分别为 E、F。求证：四边形AECF是平行四边形。例2、如图，已知 E为平行四边形 ABCD

22、 DC边的延长线上 的一点，且 CE=DC连结AE,分另1J交BG BD于点F、G, 连结AC交BD于0,连结 OF.求证：AB=2OF.说明能用平行四边形的知识解决的问题，不必用三角形的知识解决,【课堂练习】1 .已知AD/ BC要使四边形 ABC四平行四边形，需要增加条件 （只需填一个你认为正确的条件即可）2 .已知：DABCD勺周长是30cm,对角线 AC, BD相交于点 Q NAOB的周长比BOC勺周长为5cm ,则这个平行四边形的各边长为 .3 .如图，在 DABCM, EF/ BC, GH/ AB, EF、GH的交点 P在 BD上，则图中有 对四边形面积相等；它们是4 . DABC

23、DJ43,过 O点的直线 EF分别交 AD CB于 E、F, AB=cm, BC=4cm,OE=cm,则四边形CDEFW周长为 cm.X2 6x 8 0 ,则CB的长的取值范围E、F分另I在CD AB的延长线上，且 AE=AD5 . ABCD中，AC、BD的长满足方程 为 6、如图，在 DABCD, / DAB=60，点 CF=CB求证：四边形 AFCE平行四边形.【学习体会】1 .从边与边的关系：两组对边分别平行一组对边平行且相等一组对边平行且相等)的四边形是平行四边形。两组对边分别相等2 .从角与角的关系： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。6)3.从对角线的相互关系：对角线互相平分的

24、四边形是平行四边形。平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定(九年级数学备课组课型：新授【教学目标】1、会证明矩形的判定定理2、能运用矩形的判定定理进行计算与证明3、能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明【教学重、难点】重点：矩形判定定理的证明难点：矩形判定定理的应用【情境创设】具备什么条件的平行四边形是矩形具备什么条件的四边形是矩形同学之间进行交流。二、探索活动问题一 如图，在DABCM, AC=BD)由此你可得到什么问题二 如图，要证 DABCD矩形，需证什么为什么根据矩形的定义，只要证 DABCD的一个角是直角；或证/ ABO吆CBO=90 ;或证/ABC4 DCB

25、.问题三 说说证明“对角线相等的平行四边形是矩形”的思路。由问题二可得出多种证明思路O【典题选讲】1、P22 例 52、已知：如图，DABCD勺四个内角平分线相交于点求证：EG=FHE、F、已知：平行四边形 ABCM对角线 AG BD相交于0, AOB是等边三角形，AB= 4cm,求这个平行四边形的面积(如图 分析解题思路：(1)先判定平行四边形 ABCM矩形。(2)求出RtABC的直角边 BC的长。438）。(3)计算 S= ABX BC小结：(1)具有平行四边形的所有性质。(2)特有性质：四个角都是直角，对角线线段。(3)矩形的判定方法1、2都是有两个条件：是平行四边形，有一个角是直角或对

26、角线相等。判定方法3的两个条件是：是四边形，有三个直角。【课堂练习】1 .如图，BO是RtABC斜边上的中线，延长 BO至点D,使BO=DQ连结 AQ C口 ？则四边 形ABC皿矩形吗请说明理由.2 .已知：如图，BC是等腰 BED底边ED上的高，四边形 ABEC是平行四边形.求证：四 边形ABCD矩形.3、如图，在平行四边形 ABCN, E F分别为边AR CD的中 点，BD是对角线，AG/ DB交CB的延长线于 G.(1)求证： AD段 ACBF(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGB提什么特殊四边形并 证明你的结论.4.工人师傅在做门框或矩形零件时，常常测量它们的两条对角线是否相等来

27、检查直角的 精度，为什么工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图），使AB=CD EF=GH（2）摆放成如图的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学原理是： ,（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图） ，调整窗框的边框，？当直角尺的两条直 角边与窗框无缝隙时（如图），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学原理 是：.38【学习体会】进行推理论证常常需要从两个方向思考:“证明结论，需要什么条件”“从已知条件可以推出哪些证明结论所需的事项”这样有利于探索并获得证明的思路。平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（7）九年级数学备课组课型：新授【教学目

28、标】1、会证明菱形的判定定理2、能运用菱形的判定定理进行计算与证明3、能运用菱形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明 【教学重、难点】重点：菱形判定定理的证明难点：菱形判定定理的应用【情境创设】具备什么条件的平行四边形是菱形具备什么条件的四边形是菱形同学之间进行交流。【探索活动】探索“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的证明思路。木问题一 如图，在DABCM,对角线 AC BD相交于点O,/ 且AC! BR由此你可证得什么日/ 口问题二 如图，要证平行四边形 ABC虚菱形，需证什么为什么Bk O/D问题三说说证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的思路。 /思考与探索你能用直尺和

29、圆规作一个菱形并说明作图的理由。V作法一：可利用“四边相等的四边形是菱形”来作，先作一个角，再在角的两边上落取相等的边作为菱形的边长，再分别以两个截点为圆心，菱形的边长为半径画弧，两弧相 交于一点，这点即为菱形的第四个顶点；作法二：可利用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”来作，可先作出两条互相垂 直平分的线段，再将两条线段的四个端点顺次连结起来，即作出了一个菱形。【典题选讲】例1、 已知：如图，在 ABC中，/ ABC=90 , AD是角平分线，点 E、F分别在ACAD上，且 AE=AB EF/ BQ次求证：四边形CDEF菱形。B工，, 例2、如图，在RtABC中，/ ACB=90 , /

30、BAC=60 , DE建直平分BGD垂足为D,突 AB于点E,又点F在DE的延长线上，且 AF=CE求证：四边形 ACEF为菱形.【课堂练习】1、如图，点E、F是菱形ABCD的边BC CD上的点，请你添加一个条件（？不得另外 添加辅助线和字母），使AE=AF你添加白条件是 .2、 已知：如图，在 DABCD,对角线 BD平分/ ABC 求证：四边形ABC皿菱形。3、已知：如图，在 ABC中，AD是角平分线，E是AB上一点，且 AE=AC EG/ BC,EG交AD于点G求证：四边形EDCG菱形。4、（1）如图，O是矩形ABCD勺对角线白交点， DE/ AG CE/ B口 求证：四边形OCED1菱

31、形。DE和CE相交于E,5、已知：如图， AD是 ABC的角平分线，DE/ AC交AB于点E, DF/ AB交AC于点F,请判断四边形 AEDF的形状，并说明理由。6、已知：如图， ABCD勺对角线 AC的垂直平分线与边 AD BC 分别相交于点 E、F。求证：四边形 AFCN菱形。5、将一张长方形纸片既快又准确地剪出一个菱形，并说出这样剪的依据。【学习体会】1、用直尺和圆规作一个菱形，并说明作图依据。2、菱形的判定方法。平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（8）九年级数学备课组课型：新授【教学目标】1、根据平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系，归纳出正方形的判定定理2、能运用正方形

32、的判定定理进行简单的计算与证明3、能运用正方形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明4、在探究与证明正方形判定定理的过程中，进一步体会一般与特殊的辩证关系，提 高分析问题与解决问题的能力教教学重、难点】重点：正方形判定的应用难点：通过引导合情推理和演绎推理，提高逻辑思维水平【情境创设】正方形是特殊的矩形和特殊的菱形，那么什么样的矩形是正方形什么样的菱形是正方 形【合作交流】为了活跃学生思维，可以提出以下问题：对角线相等的菱形是正方形吗为什么对角线互相垂直的矩形是正方形吗为什么对角线垂直且相等的四边形是正方形吗为什么四条边都相等的四边形是正方形吗为什么说“四个角相等的四边形是正方形”对吗判定方法（1）矩形、菱形法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形（一组邻边相等的 矩形）；或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形（有一个角是直角的菱形