电磁场与电磁波第四章2

1、一、一、 边值问题的分类边值问题的分类二、二、 唯一性定理唯一性定理三、三、 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解四、四、 分离变量法分离变量法平面镜像法平面镜像法球面镜像法球面镜像法圆柱面镜像法圆柱面镜像法平面介质镜像法平面介质镜像法1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像,qq hh 11()04qzRR（）00zRR满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。平面镜像法平面镜像法镜像电荷镜像电荷电位函数电位函数因因z = 0时，时，q qhhq 有效区域有效区域RR q qh2.

2、线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像2,0;0,0lx zhzz 镜像线电荷：镜像线电荷：ln(0)2lRzR满足原问题的边界条件，满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。所得的解是正确的。电位函数电位函数原问题原问题hhl 有效区域有效区域RR l当当z=0时，时，rr 0,llhh 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷电荷q 位于位于(d1, d2 )处。处。 显然，显然，q1 对平面对平面 2 以及以及q2 对平对平面面 1 均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。1231111()4qR

3、RRR 对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1, d2 )对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于( d1, d2 ) 只有在只有在(d1, d2 )处处再设置一再设置一镜像电荷镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能，所有边界条件才能得到满足。得到满足。电位函数电位函数q d1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d13. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像一、一、 边值问题的分类边值问题的分类二、二、 唯一性定理唯一性定理三、三、 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章

4、 静态场的解静态场的解四、四、 分离变量法分离变量法平面镜像法平面镜像法球面镜像法球面镜像法圆柱面镜像法圆柱面镜像法平面介质镜像法平面介质镜像法球面镜像法球面镜像法1. 点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像 球面上的感应电荷可用镜像电荷球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。来等效。q应位于导体球内（显然应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷不影响原方程），且在点电荷q与球与球心的连线上，距球心为心的连线上，距球心为d。则有。则有 01()4qqRR 如图所示，点电荷如图所示，点电荷q 位于半径位于半径为为a 的接地导体球外，距球心为的接地导体球外，距球心为d 。Pqar

5、RdqPaqrRRddadd2 aqqd 导体球电位为零导体球电位为零点电荷对接地空心导体球壳的镜像点电荷对接地空心导体球壳的镜像aqqd, 如图所示接地空心导体球壳的内半径为如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为、外半径为b，点电，点电荷荷q 位于球壳内，与球心相距为位于球壳内，与球心相距为d ( d |q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量aqdobqrRRaqdod球壳内的电位球壳内的电位22223 2()4(2cos )Sr aq adra adad 2222223 200()sin d dd4(2cos )inSSq adaqS

6、qaadad 感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为导体球面的内表面上上的总感应电荷为导体球面的内表面上上的总感应电荷为可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。 22222201()42cos()2 ()cosqarardrdd radr ad2 . 点电荷对不接地导体球的镜像点电荷对不接地导体球的镜像 先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为q的感应电的感应电荷分布，则荷分布，则 2,aaqq ddd 导体球不接地时的特点：

7、导体球不接地时的特点： 导体球面是电位不为零的等位面导体球面是电位不为零的等位面 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应 电荷为零电荷为零采用叠加原理来确定镜像电荷采用叠加原理来确定镜像电荷 点电荷点电荷q 位于一个半径为位于一个半径为a 的不的不接地导体球外，距球心为接地导体球外，距球心为d 。PqarRd0aqqqda ， 然后断开接地线，并将电荷然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而使总电加于导体球上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷q 可用一个位可用

8、一个位于球心的镜像电荷于球心的镜像电荷q来替代，即来替代，即01()4qqqRRr 球外任意点的电位为球外任意点的电位为qPaqrRRddq一、一、 边值问题的分类边值问题的分类二、二、 唯一性定理唯一性定理三、三、 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解四、四、 分离变量法分离变量法平面镜像法平面镜像法球面镜像法球面镜像法圆柱面镜像法圆柱面镜像法平面介质镜像法平面介质镜像法圆柱面镜像法圆柱面镜像法问题问题：如图如图 1 所示，一根电荷线密度所示，一根电荷线密度为为 的无限长线电荷位于半径为的无限长线电荷位于半径为a 的的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的无限

9、长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为轴线平行且到轴线的距离为d。l图图1 线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱lxoa0d图图2 线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱的镜像的镜像ald( , )P xo0ld特点特点：在导体圆柱面上有感应电荷，：在导体圆柱面上有感应电荷，圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。同产生。分析方法分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。所示。1. 线电荷对接地导体圆柱面的镜像线电荷对接地导体圆柱面的镜像222211lnln222cos2cosll

10、Cdddd222211lnln0222cos2cosllCadadadad2222()()2()cos0lllld add adadd 2222()()00lllld add ad a由于导体圆柱接地，所以当由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即时，电位应为零，即 所以有所以有 设镜像电荷的线密度为设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为且距圆柱的轴线为 ，则由，则由 和和 共同产生的电位函数共同产生的电位函数ldll2lladd 由于上式对任意的由于上式对任意的都成立，因此，将上式对都成立，因此，将上式对 求导，可以得到求导，可以得到导体圆柱面外的电位函数：导体圆柱面外的电位函数：22

11、42222cosln22cosldadaCddd由由 时，时，a0故故2242222222cosln22cosldadaaa dda导体圆柱面上的感应电荷面密度为导体圆柱面上的感应电荷面密度为2222()2(2cos )lSadaa adad 导体圆柱面上单位长度的感应电荷为导体圆柱面上单位长度的感应电荷为222220()dd22coslinSlSdaaSaadad 导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。ln2ldCa例例 有一接地导体球壳，内外半径分别为有一接地导体球壳，内外半径分别为a a1 1和和a a2 2，在球壳内

12、外各，在球壳内外各 有一点电荷有一点电荷q q1 1和和q q2 2 ，与球心距离分别为，与球心距离分别为d d1 1和和d d2 2 ，如图所示。，如图所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。球壳外：边界为球壳外：边界为r r = = a a2 2的导体球面，边界条件为的导体球面，边界条件为 根据球面镜像原理，镜像电荷根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为的位置和大小分别为 球壳外区域任一点电位为球壳外区域任一点电位为 2(, , )0a 222 1/22 224 1/2022222214(2cos)(2cos)aqrd rdd rd raa

13、外2q2222abd2222aqqd 2a2d2q1q1a1d解：解：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解u 球壳内：球壳内：边界为边界为r r = = a a1 1的导体球面，的导体球面，边界条件为边界条件为 根据球面镜像原理，镜像电荷根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为的位置和大小分别为 球壳内区域任一点电位为球壳内区域任一点电位为 球壳中：球壳中： 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。1( , , )0a 1q2111abd1111aqqd 22 1/201112 224 1/211111

14、4(2cos)(2cos)qrd rdad rd raa内用镜像法解题时，一定要注意用镜像法解题时，一定要注意待求区域待求区域及其及其边界条件边界条件，对边界以外，对边界以外的情况不予考虑。的情况不予考虑。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解2.2.带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线电荷密度分别为电荷密度分别为 和和 ，其位置如图所示。，其位置如图所示。其等位面是许多圆柱面，若让其等位面是许多圆柱面，若让其中两个等位

15、面分别与两圆柱其中两个等位面分别与两圆柱面重合，即满足两导体柱面为面重合，即满足两导体柱面为等位面的边界条件。根据惟一等位面的边界条件。根据惟一性定理，待求区域中的场就由性定理，待求区域中的场就由这两个等效线电荷产生。这两个等效线电荷产生。ll两电轴在空间产生的电位为两电轴在空间产生的电位为等位面方程为等位面方程为222221()()x cyrkrx cy22222212()()11kckxcykk2112111kxck12121ckak2222211kxck22221ckbk22212abdxd22222abdxd221cxan 通常把这两个等效的线电荷称为电轴，该方法也称为电轴法12xxd

16、2221xca2222xcb201ln2lrr一、一、 边值问题的分类边值问题的分类二、二、 唯一性定理唯一性定理三、三、 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解四、四、 分离变量法分离变量法平面镜像法平面镜像法球面镜像法球面镜像法圆柱面镜像法圆柱面镜像法平面介质镜像法平面介质镜像法平面介质镜像法（电介质）平面介质镜像法（电介质）图图1 1 点电荷与电介质点电荷与电介质分界平面分界平面zx12qh特点：特点：在点电荷的电场作用下，电介质产在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一

17、点的电场由点电荷布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。与极化电荷共同产生。图图2 2 介质介质1 1的镜像电荷的镜像电荷Pqhh11xzqRR问题：问题：如图如图 1 所示，介电常数分别为所示，介电常数分别为 和和 的两种不同电介质的分界面是无限的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质大平面，在电介质 1 中有一个点电荷中有一个点电荷q，距分界平面为距分界平面为h 。12分析方法：分析方法：计算电介质计算电介质 1 中的电位时，用中的电位时，用位于介质位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电的极化电荷，并把整

18、个空间看作充满介电常数为常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图2所示。所示。1介质介质1中的电位为中的电位为122222211( , , )4()()qqx y zxyz hxyz h(0)z 2 计算电介质计算电介质 2 中的电位时，用位中的电位时，用位于介质于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为满介电常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图 3 所示。介质所示。介质2中的电位为中的电位为222221( , , )4()q qx y zxyz h(0)z 图图3 3 介质介质2 2的镜像电荷的

19、镜像电荷22qqPxzhR可得到可得到1211()()qqqqqqqq说明：说明：对位于无限大表面介质分界面附近、且平行于分界面的对位于无限大表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线电荷（单位长度带无限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为），其镜像电荷为12121212,llll 12121212qqqq 1020zz211020zzzz利用电位满足的边界条件利用电位满足的边界条件图图1 1 线电流与磁介质线电流与磁介质分界平面分界平面zx12Ih图图2 2 磁介质磁介质1 1的镜像线的镜像线电流电流PIhh11xzIRR特点：特点：在直线电流在直线电流I 产生的磁场作用下，产生的磁场作用

20、下，磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间中的磁场由线电流和磁化电分布，空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。流共同产生。问题：问题：如图如图1所示，磁导率分别为所示，磁导率分别为 和和 的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在磁介质在磁介质1中有一根无限长直线电流平行于中有一根无限长直线电流平行于分界平面，且与分界平面相距为分界平面，且与分界平面相距为h。12分析方法：分析方法：在计算磁介质在计算磁介质1中的磁场时，中的磁场时，用置于介质用置于介质2中的镜像线电流来代替分界中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，

21、并把整个空间看作充满面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为磁导率为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图2所示。所示。1平面介质镜像法（磁介质）平面介质镜像法（磁介质）111222211lnln22()()IIAxzhxzh(0)z 2222()1ln2()IIAxzh(0)z 因为电流沿轴方向流动，所以矢量因为电流沿轴方向流动，所以矢量磁位只有分量，则磁介质磁位只有分量，则磁介质1和磁介质和磁介质2中中任一点的矢量磁位分别为任一点的矢量磁位分别为图图3 3 磁介质磁介质2 2的镜像的镜像线电流线电流22IIPxzhR 在计算磁介质在计算磁介质2中的磁场时，用置于中的磁场时，用置于介质介质1

22、中的镜像线电流来代替分界面上的中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为率为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图3所示。所示。2211020001211,zzzzAAAAzz相应的磁场可由相应的磁场可由 求得。求得。BA 11211222221()11lnln22 ()()()IIxz hxz h A(0)z 12222211ln()()Ixz h A(0)z 21212121IIII 12()()IIIIIIII可得到可得到故故利用矢量磁位满足的边界条件利用矢量磁位满足的边界条件 作业： 4-3，4-4，4-5电磁场与电磁波电磁场与电

23、磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解一、一、 边值问题的分类边值问题的分类二、二、 唯一性定理唯一性定理三、三、 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解四、四、 分离变量法分离变量法直角坐标系直角坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系球面坐标系球面坐标系分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法解题的基本思路：分离变量法解题的基本思路：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出根据给定的边界形状，

24、选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。常微分方程的通解，其中含有待定常数。利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。满足边界条件的特解。一、一、 边值问题的分类边值问题的分类二、二、 唯一性定理唯一性定理三、三、 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解四、四、 分离变量法分离变量法直角

25、坐标系直角坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系球面坐标系球面坐标系1.1. 直角坐标系中分离变量法直角坐标系中分离变量法u 本征方程的求解本征方程的求解(1)(1)当当 时时22220 xy( , )( ) ( )x yX x Y y22221d( )1 d ( )0( )d( ) dX xY yX xxY yyu本征函数本征函数2221d( )( )dxX xkX xx2221d( )( )dyY ykY yy220 xykk0 xykk01020( )XxA xA01020( )YyB yB110201020( , )()()x yA xAB yBu本征方程本征方程u本征值本征值212121( ,

26、)(cossin)(coshsinh)mmmmmmmmmx yAk xAk x Bk yBk y(2)(2)当当 时，设时，设20 xk(1,2,)xmkkmjj12( )eemmk xk xmmmXxAA12( )eemmk yk ymmmYyBB或222d( )( )dmX xk X xx222d( )( )dmY yk Y yy220 xykk由ymkjk本征方程为：则：1212( )cossin( )coshsinhmmmmmmmmmmXxAk xAk xYyBk yBk y1.1. 直角坐标系中分离变量法直角坐标系中分离变量法312121( , )(coshsinh)(cossin)

27、mmmmmmmmmx yAk xAk x Bk yBk y12( )eemmk xk xmmmXxAAjj12( )eemmk yk ymmmYyBB1212( )coshsinh( )cossinmmmmmmmmmmXxAk xAk xYyBk yBk y(3)(3)当当 时，设时，设20 xk j(1,2,)xmkkm220 xykk由ymkk222d( )( )dmX xk X xx222d( )( )dmY yk Y yy 本征方程为：或则：1.1. 直角坐标系中分离变量法直角坐标系中分离变量法u 应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方

28、程的通解通 , )()()cossincoshsinhcoshsinhcossinmmmmmmmmmmmmmmmmmmx yA xAB yBAk xAk xBk yBk yAk xAk xBk yBk yn三种解的特点：三种解的特点： 第一种解中，第一种解中，X(x)和和Y(y)为常数或线性函数，说明它们最多为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；只有一个零点； 第二种解中，第二种解中， X(x)为三角函数，有多个零点，为三角函数，有多个零点， Y(y)为双曲函为双曲函数，最多只有一个零点；数，最多只有一个零点； 第三种解中，第三种解中， X(x)为

29、双曲函数，最多有一个零点，而为双曲函数，最多有一个零点，而Y(y)为为三角函数，有多个零点。三角函数，有多个零点。1.1. 直角坐标系中分离变量法直角坐标系中分离变量法解解: : 选直角坐标系，电位函数满足二选直角坐标系，电位函数满足二维拉普拉斯方程维拉普拉斯方程 边界条件：边界条件： 例：例： 一接地金属槽如图所示，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖与侧一接地金属槽如图所示，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖与侧壁绝缘，其电位为壁绝缘，其电位为U0，求槽内电位分布。，求槽内电位分布。22220(1)xy0000(2)00(3)000(4)0(5)xybxaybyxaUybxa1.1. 直角坐标系中分离变

30、量法直角坐标系中分离变量法设设 ，代入式，代入式(1) (1) 中得中得: :( , )( ) ( )x yX x Y y22221d( )1d( )0( )d( )dX xY yX xxY yy2221d( )( )dxX xkX xx 2221d( )( )dyY ykY yy 220 xykk( )sinmmX xAk xsin0mk a(1,2, )mmkma根据边界条件(2)与(3)可知，函数X(x)沿x方向有两个零点，因此X(x)应为三角函数形式，又因为X(0) =0，所以X(x)应选取正弦函数，即由边界条件(3)得：1.1. 直角坐标系中分离变量法直角坐标系中分离变量法对应的Y(

31、y)函数为双曲函数，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式为( )sinh()mmY yBya此时，电位可表示为此时，电位可表示为由边界条件由边界条件(5)(5)知知 其中：其中：1( , )sin()sinh()mmmmx yCxyaa011sin()sinh()sin()mmmmmmmUCxbCxaaasinh()mmmCCba 1.1. 直角坐标系中分离变量法直角坐标系中分离变量法01sin()mmmUCxa0001sin()dsin()sin()daammnmnUxxCxxxaaa2001sin()sin()dsin ()d2aanmnmaCmnnCxx xCx xaaa0002sind(1,3,5,)aaUnUx xnan对上式两边同乘以 ，再对x从0到a进行积分，即sin()nxa1.