讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布

1、第七讲第二章 随机变量及其分布连续型随机变量（续）及随机变量的函数的分布§4 连续型随机变量及其概率密度3. 三种重要的连续型随机变量1）均匀分布设连续型随机变量X 具有概率密度f(x)b a, ax b,(4.5)0,其它,则称 X 在区间 （a,b） 上服从 均匀分布 , 记为XU(a,b).X 的分布函数为0,F(x)xa ba 1,x a,ax b,(4.6)xb.2）指数分布设连续型随机变量 X 的概率密度为x/f(x)0,x 0,其它,(4.7)其中 >0 为常数 , 则称 X 服从参数为 的指数分布.容易得到 X 的分布函数为F(x)1ex/x 0,0,其它.(4

2、.8)如 X 服从指数分布 , 则任给 s,t>0, 有(4.9)PX>s+t | X > s=PX > t事实上P X s t | XP X s tPX ss P( X s t) (X s) s P X s1 F(s t)1 F(s)(s t ) es/et/eP X t.性质 (4.9)称为无记忆性 .指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛 的运用.(3)正态分布设连续型随机变量 X 的概率密度为1(x2 2)f (x) e 2 , x , (4.10)2其中 , ( >0) 为常数 , 则称 X 服从参数为, 的正态分布或高斯 (Gauss) 分布 , 记为2

3、XN( , 2).显然 f(x) 0, 下面来证明f (x)dx 1令(x )/ t, 得到1 e (x2 2)2 dx2t22 dx2记Ie t /2dt,则有 I转换为极坐标 ,得r2I2 r e 2 dr d002(t于是 21(x )2e 2 2dx(4.11)t2 e 2 dx 1.u2)/2 dtdu,f(x) 具有的性质 :1). 曲线关于 x=对称 . 这表明对于任意h>0 有P -h<X =P <X +h.2) .当 x= 时取到最大值12F(x)xe(t ) 222dt,(4.12)x 离 越远, f(x)的值越小 . 这表明对于同样 长度的区间 , 当区

4、间离 越远 , X 落在这个 区间上的概率越小。 在 x= 处曲线有拐 点。曲线以 Ox 轴为渐近线。 的分布函数为特别:当 =0, = 1 时称 X服从标准正态分布 . 其概率密度和分布函数分别用(x)和(x)表示 , 即有1x 2 / 2(x) 1 e x / 2 , (4.13)21 x t2 / 2(x) e t /2dt.(4.14)2易知 (-x)=1- (x) (4.15) 人们已经编制了 (x) 的函数表 , 可供查用 (见附表 2).引 理 若 XN( , 2 ), 则 XZ N(0,1)证明：XZ X 的分布函数为PZxXP x P Xx令tPZ x12u,得2(t )2

5、e 2 dt,u /2du(x)由此知 ZN(0,1).若 XN( , 2 ), 则它的分布函数 F(x) 可写 成:xF(x) PX xP(4.16)则对于任意区间 (x1,x2, 有Px1 X x2 Px2x2x1(4.17)例如, 设 XN(1,4), 查表得P0 X 1.6 1.6 1 0 1 22(0.3) ( 0.5)0.6179 1 (0.5)0.6179 1 0.6915 0.3094.设 XN(2 ), 由 (x) 的函数表还能得到P <X<= (1)- (-1)=2 (1)-1=68.26%P 2 <X<2 = (2)- (-2)=95.44%P 3

6、 <X<3 = (3)- (-3)=99.74%我们看到 , 尽管正态变量的取值范围是( , ), 但它的值落在 ( 3 , 3 ) 内 几乎是肯定的事 . 这就是人们所谈的 "33268.26%95.44%99.74%23法则.例 将一温度调节器放置在贮存着某种液 体的容器内 . 调节器整定在 d °C, 液体的温 度 X(以°C 计 )是一个随机变量 , 且 XN(d, 0.52). (1) 若d=90, 求X小于 89 的概率. (2) 若要求保持液体的温度至少为 80 的概率不 低于 0.99, 问 d 至少为多少 ?解 (1) 所求概率为X

7、90 89 90P X 89 P ( 2)0.5 0.51 (2) 1 0.9772 0.0228.(2) 按题意需求d 满足0.99 P X 80P X d0.580 d0.5亦即Xd1P0.580 d1 0.99 10.580 d 2.327.0.580 d0.580 d0.5(2.327) ( 2.327),故需 d 81.1635.设 XN(0,1), 若 za 满足条件PX>z a=a,0<a<1, (4.18)则称点 za 为标准正态分布的上 a 分位点 .由(x)的对称性知 z1-a =-z a(课间休息) 随机变量的函数的分布 例 设随机变量 X 具有以下的分

8、布律 试求 Y=(X-1) 2的分布律 .X1012pk0.20.30.10.4解 Y 所有可能值为 0,1,4, 由 PY=0=P(X-1) 2=0=PX=1=0.1, PY=1=PX=0+PX=2=0.7, PY=4=PX=-1=0.2,Y014pk0.10.70.2例 设随机变量 X 具有概率密度, 0 x 4,fX (x) 80, 其它.求变量 Y=2X+8 的概率密度 .解：分别记 X,Y 的分布函数为 FX(x),FY(y).§5 随机变量的函数的分布 在实际中经常对某些随机变量的函 数更感兴趣 .例如 , 在一些试验中 , 所关心的随 机变量往往不能由直接测量得到 ,

9、而它却是某个能直接测量的随机变 量的函数 . 比如我们能测量圆轴的 直径 d, 而关系的却是截面积 A=pd2/4. 这里 , 随机变量 A 是随 机变量 d 的函数 . 下面讨论如何由 已知的随机变量 X 的概率分布去求 得它的函数 Y=g(X)(g( ? )是已知的 连续函数)的概率分布 .常用的几个 za 值：0.0010.0050.010.0250.050.10z3.0902.5762.3271.9601.6451.282面先来求 FY(y).FY(y) PY y P2X 8 yPXy82y82将 FY(y) 关于 y 求导数 , 得 Y=2X+8 的概率密度为fY(y)f X y 2

10、1 y 8, 0 4,22其它 y 16,其它.f X 21y8820,y 8,32 ,0,y8例 设随机变量 X 具有概率密度 fX(x)x , 求 Y=X 2 的概率密度 .解 分别记 X,Y 的分布函数为 FX(x), FY(y). 由于 Y=X 2 0, 故当 y 0 时 FY(y)=0. 当y>0 时有FY(y) PY y PX2 yP y X yFX ( y) FX( y).将 FY(y)关于 y 求导数, 即得 Y 的概率密 度为fY(y)0,2 y fX( y) fX( y), y 0, y 0.例结论的应用： 设 XN(0,1), 其概率密度为1(x)e2x2/2则 Y

11、=X 2 的概率密度为1 1/2 y/2fY (y)21y 1/2e y/2, y 0,0, y 0.5.1)此时称 Y服从自由度为 1 的 2分布.定理 设随机变量 X 具有概率密度 fX(x),x , 又设函数 g(x) 处处可导且 恒有 g'(x)>0 ( 或恒有 g'(x)<0), 则Y=g(X) 是连续型随机变量 , 其概率密度fY (y)fXh(y)h (y),y0, 其它5.2)(特注：y=0 时概率为零， 但并非不可能事件。 )其中 =min(g( - ),g( ),=max(g( - ),g( ), h(y) 是 g(x) 的反 函数.证 先设 g

12、'(x)>0. 此时 g(x) 在(- ， ) 严格单调增加 , 它的反函数 h(y) 存在, 且 在( , )严格单调增加 , 可导 . 分别记 X,Y 的分布函数为 FX(x),FY(y).因 Y 在( , )取值 , 故当 y时 , FY(y)=PY y=0;当 y时 , FY(y)=PY y=1.时,FY(y)=PY y=Pg(X) y=PX h(y)=F Xh(y).将 FY(y)关于 y 求导数, 即得 Y 的概率密fY (y)fXh(y)h(y), y0, 其它 .(5.3)对于 g'(x)<0 的情况同样可以证明 , 有fY (y)fXh(y) h(

13、y), y0,其它 .(5.4)合并(5.3),(5.4) 式，命题得证例 设随机变量 XN( , 2 ). 试证明 X的线性函数 Y=aX+b(a 0) 也服从正态分布.证 X 的概率密度为fX (x)1(x)222现在 Y=g(X)=aX+b, 由这一式子解得 y b 1x h(y),且有h (y) .aa由 (5.2) 式得 Y=aX+b 的概率密度为fY(y) |a1| fX yab , y11 即 fY(y) 1a 21( y b)2ae 2 21y (b a )22(a )2 e,ya2即有 Y=aX+bN(a+b, (a)2).特别 ,在上例中取 a1/ ,b/ , 得Y X N

14、(0,1).这就是上一节引理的结果例 设电压 V=Asin, 其中 A 是一个已知的正常数，相角是一随机变量，且有 U , 。22试求电压 V 的概率密度.解 现在 v=g( )=Asin ，在, 上恒有 g ( )22Acos0,且有反函数h(v) arcsin v ,h(v) A1A22,v当 g'(x)<0 时,g(x)在( - ， )严格 单调递减 , 它的反函数 h(y)存在, 且在 ( , )严格单调递减 , 可导 . 分别记 X,Y 的分布函数为 FX(x),FY(y).又， 的概率密度为f()1, , 20, 其它 .2,由( 5.2)式得 V=Asin的概率密度为(v)1 1 ,