将军饮马问题讲义

1、时间：二O二一年七月二十九日将军饮马问题之吉白夕凡创作*詈地 3时间：二O二一年七月二十九日*唐朝诗人李顽的诗古从军行开头两句 一:l-河潦说:"白日登山望烽烟，黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图所示，诗中将军在不雅望烽烟之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到 B点宿营.请问怎样走才干使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了 ，传说亚历山大城有一位精通 数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他， 向他请教一个百思不得其解的问题 .将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的 B 地开会，应该怎样走才干使路程最短 ？从此，

2、这个被称为"将军饮马" 的问题广泛流传.将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是东西，最短 距离是题眼）.所谓轴对称是东西，即这类问题最经常使用的做法就 是作轴对称.而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理 由.比方题目经常会出现线段 a+b这样的条件或者问题.一旦出现 可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题.一.六大模型'1 .如图，直线l和l的异侧两点A、B,?7B在直线l上求作一点P,使PA+PB最小.时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日2 .如图，直线l和l的同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小.3 .

3、如图，点P是/ MONft的一点，辨别在OM,ON上作点A,B.使4PAB的周长最小.4 .如图，点P,Q 为/MONft的两点，辨别在OM,ON上作点A,B.使四边形PAQB的周长最小. 产 /” 使PA与点P到射线OM的距离之/鼠/J、/。5.如图，点A 是/ MON7卜的一点在射线上作点P,口 m n6一 如图，点A 是/ MONft的一点，在射线:QN上作点P,使PA *；八/M与点P到射线OM的乎禽之和最小/罕见问题y 首先明白见湘A，取点、定点、对称f¥.动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点.定点即为题目中固定的点.对称的点，作图所得的 点，需要连线的点.1 .怎么

4、对称，作谁的对称？.简单说所有题目需要作对称的点 都是题目的定点.或者说只有定点才可以去作对称的.（不确定的点 作对称式没有意义的）那么作谁的对称点？首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点.那么是哪一条线？ 一般而言都 是动点所在直线.2 .对称完以后和谁连接？一句话：和另外一个定点相连.绝对不克不及和一个动点相连 .明确一个概念：定点的对称点也是一个定点.例如模型二和模型三.3 .所求点怎么确定？首先一定要明白，所求点最后反响在图上一定是个交点.实际就是我们所画直线和已知直线的交点.下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题：1.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A (1

5、,0)、B (4,0)、C (0,3)八、(1)求抛物线的解析式；(2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAO调长的最小值；若不存在， 请说明理由.【阐发】(1)设交点式为y=a (x-1) (x-4),然后把C点坐标代入求出,于是得到抛物线解析式为y=14x2 一(2)先确定抛物线的对称轴为直线x,连结BC交直线x=|于点P,如图，禾I用对称性得至U PA=PB所以PA+PC=PC+PB=B按照两点之间线段最短得到PC+PAt短，于是可判断此时四边形 PAOC勺周长最小，然后计算出BC=5,再计算OC+OA+BC可.【解答】解：(1)

6、设抛物线解析式为 y=a (x-1) (x-4), 把 C (0,3)代入得 a? (- 1) ? ( - 4) =3,解得 a=, 所以抛物线解析式为 y=| (x-1) (x-4),即y=|x2-昔x+3;(2)存在.因为 A (1,0 )、B (4,0 ),所以抛物线的对称轴为直线 x=，2连结BC交直线x=生于点P,如图，则PA=PB,PA+PC=PC+PB=BC时 2PC+PAt短,所以此时四边形PAOC勺周长最小，因为 BC= . './=5,所以四边形PAO防长的最小值为3+1+5=9.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时,要

7、按照题目给定的条件，选择恰当的 办法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点 时,常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知 抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求 解.也考查了最短路径问题.2. (2015?上城区一模)设抛物线 丫岑(x+1) (x-2)与x轴 交于A、C两点(点A在点C的左边)，与y轴交于点B.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)已知点D在坐标平面内，ABD是顶角为120的等腰三角形，求点D的坐标；(3)若点P、Q位于抛物线的对称轴上，且PQ岑，求四边形ABQP 周长的

8、最小值.【考点】二次函数综合题.【阐发】(1)令x=0,求出与y轴的坐标；令y=0,求出与x轴的坐 标；(2)分三种情况讨论：当 AB为底时，若点D在AB上方；若点D 在AB下方；当AB为腰时,A为顶点时,当AB为腰时,A为顶点 时；仔细解答即可.(3)当AP+BO小时，四边形ABQP勺周长最小，按照轴对称最短路 径问题解答.【解答】解：(1)当x=0时,y= - Vs；当 y=0 时,x= 1 或 x=2;则 A ( - 1,0 ) ,B (0,-日)，C (2,0);(2)如图,Rt zABO 中,OA=1,OB外,.AB=2,/ABO=30 , / BAO=60 ,.ABD是顶角为120

9、的等腰三角形.当AB为底时，若点D在AB上方，由/ABON BAD=30 ,AB=2,得D1(°，-掾)，若点 D在 AB下方，由/BADh DBA=30 ,AB=2,得 D2( - 1,-孕),当AB为腰时,A为顶点时,/ DAB=120 , /OAB=60 ,AD=AB=2,.二点D在y轴或x轴上，若D在y轴上，得D3 (0,行)，若D在x轴上，得D4 ( - 3,0 );当AB为腰时,A为顶点时,若点D在第三象限， ./DBO=15 0,BD=2,得 D5（ 1,-2质）；若点D在第四象限时,. DB/X 轴,BD=2,得 D6 （2, -3）,合适要求的点D的坐标为（0,-爽），（-1,-9），（0,6） 33（-3,0 ） , （ - 1, - 273） , （2,-依）；（3）当AP+BCM小时，四边形ABQP勺周长最小，把点B向上平移在个单位后得到B1 （0,-型1）, 33. BB1/ZPQ且 BB1=PQ, 四边形BB1P系平行四边形， .BQ=B1P, .AP+BQ=AP+B1P,要在直线x=l上找一点P,使得AP+B1PM小， 2作点B1关于直线x=±的对称点，得B2 （1,-辇），贝U AB2就是