小学奥数同余问题

1、数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必 考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理(加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理)，及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数(bw0)，若有a+b=q r,也就是a=bxq + r,0<r<b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为

2、a除以b的商或完全商(2)当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型 ：日本书如图，这是一堆书，共有 a本，这个a就可以理解为被除数， 现在要求按照b本一捆打包，那么 b就是除数的角色，经过打包后 共打包了 c捆，那么这个c就是商，最后还剩余 d本，这个d就是 余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。、三大余数定理：1. 余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以 c的余数。例如：23 , 16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39 除以5的余数等

3、于4,即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23 , 19除以5的余数分别是3和4 ,故23+19=42 除以5的余数等于3+4=7 除以5的余数，即 2.2. 余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23 , 16除以5的余数分别是3和1 ,所以23 X16除以5的余数等于3X1=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。例如：23 , 19除以5的余数分别是3和4,所以23 X19除以5的余数等于3X4除以5的余数，即 2.3. 同余定理若两个整数

4、a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：am（mod m ） ，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b,模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数 a ， b 除以同一个数 m 得到的余数相同，则 a ， b 的差一定能被 m 整除用式子表示为：如果有 am（mod m ）,那么一定有 a- b = mk,k是整数,即 m|（a b）三、弃九法原理：在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术 ，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验 方式是这

5、样进行的：例如：检验算式 1234 1898 18922 678967 178902 8899231234 除以 9 的余数为11898 除以 9 的余数为818922 除以 9 的余数为 4678967 除以9 的余数为7178902 除以9 的余数为0这些余数的和除以 9 的余数为 2而等式右边和除以 9 的余数为 3 ，那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与等式右边和除以 9 的余数相同。而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算

6、，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以 9 的余数就可以了， 在算的时候往往就是一个9 一个 9 的找并且划去， 所以这种方法被称作“弃九法” 。所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被 9 除的余数， 只要先计算这个整数各数位上数字之和， 再求这个和被9 除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以9 的余数都是0 ，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定

7、是正确的，那么它的等式2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。四、中国剩余定理：1. 中国古代趣题：中国数学名著孙子算经里有这样的问题： “今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰： “二十三。 ”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵” 。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每 3 人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5 人一列、 9 人一列、 13 人一列、

8、17 人一列都剩 3 人， 则兵有多少？首先我们先求5 、 9 、 13 、 17 之最小公倍数 9945 （注：因为5、 9、 13、 17 为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积） ，然后再加3 ，得 9948 （人） 。孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（ Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。2. 核心思想和方法：对于这一类问题， 我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一

9、通百通的方法， 下面我们就以 孙子算经中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以 3 ， 5 ， 7 后，得到三个余数分别为 2 ， 3 ， 2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以 3 余 1 ，并且还是5 和 7 的公倍数。先由 5 7 35 ，即 5 和 7 的最小公倍数出发，先看35 除以 3 余 2 ，不符合要求，那么就继续看5和 7 的“下一个”倍数35 270是否可以，很显然70 除以 3 余 1类似的，我们再构造一个除以 5 余 1 ，同时又是3 和 7 的公倍数的数字，显然

10、21 可以符合要求。最后再构造除以 7 余 1 ，同时又是3 ， 5 公倍数的数字， 45 符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：2 70 3 21 2 45 k3,5,7233 k3,5,7 ，其中 k 是从 1 开始的自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数” ，那么我们可以计算2 70 3 21 2 45 2 3,5,723得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数” ,我们只要对最小的 23 加上 3,5,7 即可，即 23+105=128。例题精讲：【模

11、块一：带余除法的定义和性质】【例1】（第五届小学数学报竞赛决赛）用某自然数a去除1992,得到商是46,余数是r ,求a和r .【解析】因为1992是a的46倍还多r ,得到1992 46 4314,得1992 46 43 14,所以a 43, r 14 .巩固（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32 ，求甲、乙两数解析 （法 1） 因为 甲 乙 11 32 ，所以 甲 乙 乙 11 32 乙 乙 12 32 1088 ；则乙 （1088 32） 12 88 ，甲 1088 乙 1000（法 2）将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉

12、 32 以后， 1056就应当是乙数的 （11 1） 倍，所以得到乙数 1056 12 88，甲数1088 88 1000 巩 固 一 个两位数除310 ，余数是37，求这样的两位数。解 析 本 题为余数问题的基础题型， 需要学生明白一个重要知识点， 就是把余数问题 - 即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差” ，也可以得到一个除数的倍数。本题中310-37=273 ,说明273是所求余数的倍数，而 273=3 X7 X13 ,所求的两位数约数还要满足比 37 大，符合条件的有39 ， 91.2（ 2003年全国小学

13、数学奥林匹克试题） 有两个自然数相除，商是17，余数是13 ，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？解 析被 除数 除数 商 余数 被除数 除数 +17+13=2113 ，所以被除数 除数 =2083 ，由于被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得：除数 =（2083-13 ） + （17+1 ） =115 ,所以被除数 =2083-115=1968巩 固 用 一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这 2 个自然数各是多少？解 析 本 题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为 x,y ，可以得到x

14、40y 16x y 40 16 933,解方程组得856，即这两个自然数分别是21856 ， 21.3（2000 年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题 ） 三个不同的自然数的和为 2001 ，它们分别除以19,23,31 所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是73a 3b 2001，由 b 19 ，解析 】 设所得的商为 a ，除数为 b (19a b) (23a b) (31a b) 2001 ，可求得 a 27 ， b 10 所以，这三个数分别是19a b 523 ， 23a b 631， 31a b 847。巩固】 ( 2004 年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11

15、时所得到的商和余数是相等的，除以 9 时所得到的商是余数的 3 倍，这个自然数是 【解析】设这个自然数除以11余a(0 a 11),除以9余b(0 b 9),则有11a a 9 3b b ,即3a 7b,只有 a 7 ， b 3 ，所以这个自然数为 12 7 84。4 】 (1997 年我爱数学少年数学夏令营试题 )有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5人如果把书全部分给第一组，那么每人4 本，有剩余；每人5 本，书不够如果把书全分给第二组，那么每人3 本，有剩余；每人4 本，书不够问：第二组有多少人?解析 】 由 48 4 12 ， 48 5 9.6知，一组是10 或 11

16、人同理可知 48 3 16 ， 48 4 12知，二组是13 、 14 或 15 人，因为二组比一组多 5 人，所以二组只能是15 人，一组 10 人巩 固 】 一 个两位数除以 13 的商是 6，除以 11 所得的余数是6，求这个两位数解 析 】 因 为一个两位数除以 13 的商是 6 ， 所以这个两位数一定大于13 6 78 ， 并且小于 13 (6 1) 91 ；又因为这个两位数除以 11 余 6 ，而 78 除以 11 余 1 ，这个两位数为 78 5 83 【模块二：三大余数定理的应用】5 】 有一个大于1 的整数，除45,59,101 所得的余数相同，求这个数 .这 个题没有告诉我

17、们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数 101 45 56 ， 59 45 14， (56,14) 14 ， 14 的约数有 1,2,7,14 ，所以这个数可能为 2,7,14 。巩 固 】 有一个整数，除39,51,147 所得的余数都是3，求这个数【解析】（法1） 39 3 36, 147 3 144, （36,144） 12, 12的约数是1,2,3,4,6,12 ,因为余数为3要小 于除数，这个数是4,6,12 ;（法2）由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除

18、这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数.51 39 12, 147 39 108, （12,108） 12,所以这个数是4,6,12 .【巩固】在小于1000的自然数中，分别除以 18及33所得余数相同的数有多少个 ?（余数可以为0）【解析】我们知道18 , 33的最小公倍数为18 , 33=198 ,所以每198个数一次.1198之间只有1, 2, 3,，17, 198（余O）这18个数除以18及33所得的余数相同，而999 +198=59,所以共有 5X18+9=99 个这样的数.【巩固】（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数

19、的和等于 它除以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【解析】 设这个三位数为s,它除以17和19的商分别为a和b,余数分别为m和n,则s 17a m 19b n .根据题意可知 a m b n,所以s a m s b n ,即16a 18b,得8a 9b.所以a是981的倍数，b是8的倍数.此时，由 a m b n知n m a b a - a - a. 99由于s为三位数，最小为 100 ,最大为999 ,所以100 17a m 999 ,而1 m 16,所以 17a 1 17a m 999, 100 17a m 17a 16,得至 U 5 a 58,而

20、a 是 9 的倍数，所以 a最小为9,最大为54 .1当a 54时，n m -a 6,而n 18,所以m 12,故此时s最大为17 54 12 930; 9, 一，1当a 9时，n m 1a 1 ,由于m 1 ,所以此时s最小为17 9 1 154 . 9所以这样的三位数中最大的是 930 ,最小的是154 .【例6 两位自然数ab与ba除以7都余1,并且a b ,求不ba .【解析】ab ba能被7整除，即（10a b） （10b a） 9 （a b）能被7整除.所以只能有a b 7,那么ab可能为92和81 ,验算可得当ab 92时，ba 29满足题目要求，ab ba 92 29 2668

21、【巩固】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级， 那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班？【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118 67 51和67 33 34的公约数，所求答案为17.【巩固】（2000年全国小学数学奥林匹克试题）在除13511 , 13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是.【解析】因为 13903 13511 392, 14589 13903 686,由于13511 ,13903 ,14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个 数整除.（

22、392,686） 98,所以所求的最大整数是98.【例7】（2003年南京市少年数学智力冬令营试题 ）22003与20032的和除以7的余数是.【解析】找规律.用7除2, 22, 23, 24, 25, 26,的余数分别是2, 4 , 1 , 2, 4, 1 , 2 , 4, 1 ,2 的个数是3的倍数时，用7除的余数为1 ; 2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2; 2 的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4.因为2 2003 2 3 667 2,所以22003除以7余4.又两 个数的积除以7的余数，与两个数分别除以 7所得余数的积相同.而2003除以7余1 ,所以20032 除以7余

23、1 .故22003与20032的和除以7的余数是4 1 5.【巩固】（2004年南京市少年数学智力冬令营试题 ）在1995, 1998, 2000, 2001 , 2003中，若其中几个数 的和被9除余7,则将这几个数归为一组.这样的数组共有 组.【解析】1 995, 1998 , 2000 , 2001 , 2003除以9的余数依次是 6, 0, 2, 3, 5.因为 25 2 5 0 7, 2 5 3 6 0 2 5 3 6 79,所以这样的数组共有下面 4个：2000,2003 , 1998,2000,2003 ,2000,2003,2001,19951998,2000,2003,200

24、1,1995 .8（2005 年全国小学数学奥林匹克试题 ）有一个整数，用它去除70， 110， 160 所得到的 3 个余数之和是50，那么这个整数是（70 110 160） 50 290 ， 50 3 162， 除数应当是290 的大于 17 小于 70 的约数， 只可能是 29 和 58 ， 11058 152， 5250 ，所以除数不是58 70 29 212，110 29323，160 29515，1223 15 50 ，所以除数是29巩 固 （2002 年全国小学数学奥林匹克试题 ） 用自然数 n 去除 63， 91， 129 得到的三个余数之和为25，那么n=n 能整除 63 9

25、1 129 25 258因为25 3 8.1，所以n 是 258 大于 8 的约数显然， n不能大于 63 符合条件的只有43 巩固 号码分别为 101,126,173,193 的 4 个运动员进行乒乓球比赛, 规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被 3 除所得的余数. 那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101 ， 126 ， 173 ， 193 除以 3 的余数分别为2 ， 0 ，2 ， 1 。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用 2 ， 0 ， 2 ， 1 两两相加除以 3 即可。显然126运动员打5 盘是最多的。9（2002 年小学生数学报数学邀请赛

26、试题 ） 六名小学生分别带着14 元、 17 元、 18 元、 21 元、26 元、37 元钱，一起到新华书店购买成语大词典一看定价才发现有5 个人带的钱不够，但是其中甲、 乙、 丙 3 人的钱凑在一起恰好可买2 本， 丁、 戊 2 人的钱凑在一起恰好可买1 本 这种成语大词典的定价是元六 名小学生共带钱133 元 133 除以 3 余 1 ，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3 本，所以他们五人带的钱数是3 的倍数，另一人带的钱除以 3 余 1 易知，这个钱数只能是37 元，所以每本成语大词典的定价是（14 17 18 21 26） 3 32 （元） 巩固 （ 2000 年全国小学数学奥林匹

27、克试题 ） 商店里有六箱货物，分别重15， 16， 18 ， 19， 20， 31 千克，两个顾客买走了其中的五箱 已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍， 那么商店剩下的一箱货物重量是 千克两 个顾客买的货物重量是3 的倍数(15 16 18 19 20 31) (1 2) 119 3 39.2 ，剩下的一箱货物重量除以 3 应当余 2 ，只能是 20 千克10 】 求 2461 135 6047 11的余数因为 2461 11 223.8， 135 11 12.3， 6047 11 549.8，根据同余定理(三)，2461 135 6047 11 的余数等于 8 3 8 11 的余

28、数，而8 3 8 192 ，192 11 17.5，所以2461 135 6047 11的余数为 5巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题 )求 478 296 351除以 17 的余数先求出乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以 17 的余数，再求余数之积除以 17 的余数 478,296,351 除以 17 的余数分别为 2， 7 和 11 ， (2 7 11) 17 91巩 固 】 求 31997 的最后两位数即考虑 31997除以 100 的余数由于100 4 25，由于33 27 除以 25 余 2，所以39除以 25 余 8，310除以 25 余 24 ，那么 320 除以 25

29、 余 1 ；又因为 32除以 4 余 1 ，则 320 除以 4 余 1 ；即 320 1能 被 4 和 25 整除，而 4 与 25 互质，所以320 1 能被 100 整除，即320 除以 100 余 1 ，由于19971761997 20 99 17，所以31997除以 100 的余数即等于317除以100 的余数，而36729 除以 100余 29 ， 35 243 除以 100 余 43 ， 317 (36)2 35 ，所以317除以100 的余数等于29 29 43除以100 的余数，而29 29 43 36163除以100 余 63 ，所以31997除以100 余 63 ，即31

30、997 的最后两位数为 63 巩 固 】 2222 除以 13 所得余数是.2000个 "2"【解析】 我们发现222222整除13 , 2000抬余2,所以答案为22 +13余9。【巩固】求14389除以7的余数.【解析】法一：由于 143 3 mod 7 （143 被 7 除余 3）,所以14389 389 mod7 （14389被7除所得余数与389被7除所得余数相等）而 36 729 , 729 1 mod7 （729 除以 7 的余数为 1）,所以 389 36 4 362 4 446 35 35 5 mod 7 .14个故14389除以7的余数为5.法二：计算3

31、89被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：13233343536373Lmod73264513L于是余数以6为周期变化.所以389 35 5 mod7【巩固】（2007年实验中学考题）12 22 32 L 20012 2002除以7的余数是多少？【解析】由于 12 22 32 L 20012 20022 2002 2003 4005 1001 2003 1335 ,而 1001 是 7 的倍 6数，所以这个乘积也是7的倍数，故12 22 32 L 20012 20022除以7的余数是0;【巩固】3130 3031被13除所得的余数是多少？【解析】31被13除所得的余数为5,当n取1

32、, 2, 3, L时5n被13除所得余数分别是 5,12,8,1,5, 12, 8, 1 L以4为周期循环出现，所以 530被13除的余数与52被13除的余数相同，余12,30则31除以13的余数为12 ;30被13除所得的余数是4,当n取1 , 2, 3, L时，4n被13除所得的余数分别是 4, 3, 12 ,9, 10, 1 , 4, 3, 12 , 9, 10 , L L以6为周期循环出现，所以431被13除所得的余数等于41被13 除所得的余数，即 4 ，故 3031 除以 13 的余数为 4；所以 31303031被 13 除所得的余数是12 4 133巩 固 】 （ 2008 年

33、奥数网杯） 已知 a21040842400284L4204308 ，问：a 除以13 所得的余数是多少？2008 个 20082008 除以 13 余 6 ， 10000 除以 13 余 3 ，注意到 20082008 2008 10000 2008 ；200820082008 20082008 10000 2008；2008200820082008 200820082008 10000 2008 ；LL根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008 除以 13 余 6 3 6 13 11， 2 除以 13 余11 3 6 39 0 ，即 2 是 13 的倍数而 2008除以 3 余

34、1 ，所以 a 21040842402084L 4204308 除以13 的余数与 2008除以 13 的余数相同，为 6.2008 个 2008巩 固 】 717472 4737 除以41 的余数是多少？1996个 7找规律： 7 41 7 ， 77 41 36 ， 777 41 39 ， 7777 41 28 ，77777 41 口 0 ,，所以77777是41的倍数，而1996 5 399L 1 ,所以彳%72 4&7可以1996 个7分成 399 段 77777 和 1 个 7 组成，那么它除以 41 的余数为 7 巩固】 11 22 33 44 L L 20052005除以

35、10 所得的余数为多少？求 结果除以 10 的余数即求其个位数字 从 1 到 2005 这 2005 个数的个位数字是10 个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4 个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个（20 是 4 和 10 的最小公倍数）一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的123420首先计算11 223344LL2020 的个位数字，为 1476 563690 1 63 6 5 6 7 4 9 0 94 的个位数字，为 4 ，2005 个加数共可分成100 组另 5 个数， 100 组的个位数字和是4 100 400 的个位数即 0 ，200120022003

36、20042005, >.十i 人 /、心心 ,、,0另外5个数为2001、2002、2003、2004、2005,它们和的个位数字是1 4 7 6 5 23的个位数3,所以原式的个位数字是 3,即除以10的余数是3.【例11【解析】求所有的质数P,使得4p2 1与6p2 1也是质数.如果p 5,则4p2 1 101 , 6p2 1 151都是质数，所以5符合题意.如果 P不等于5,那么P 除以5的余数为1、2、3或者4, p2除以5的余数即等于12、22、32或者42除以5的余数， 即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况.如果p2除以5的余数为1 ,那么4p2 1 除以5的

37、余数等于4 1 1 5除以5的余数，为0,即此时4p2 1被5整除，而4p2 1大于5, 所以此时4p2 1不是质数；如果p2除以5的余数为4,同理可知6p2 1不是质数，所以P不等 于5, 4p2 1与6p2 1至少有一个不是质数，所以只有p 5满足条件.【巩固】【解析】在图表的第二行中，恰好填上8998这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3.因为两个数的乘积除以 11的余数，等于因数89909192939495969798因数两个数分别除以11的余数之积.因此原题中的8998可以改换为110,这样上下两数的乘积除以进而得到本题的答案是:因数899091929394

38、95969798因数3719562104811余3就容易计算了.我们得到下面的结果:因数89909192939495969798因数91958997939490989296【巩固】（2000年“华杯赛”试题）3个三位数乘积的算式 abc bca cab 234235286 （其中a b c）,在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的 abc是多少？3【解析】由于 234235286 234235286 8(mod9) , abc bca cab (a b c) (mod9),3于是(a b c) 8(mod9),从而(用a b c 0,1,2,8(mod

39、9)代入上式检验)abc 2,5,8(mod9),对a进行讨论：如果a 9,那么b c 2,5,8(mod9)化)，又c a b的个位数字是6,所以b c的个位数字为4, bc可能为4 1、72、83、64,其中只有(b,c) (4,1),(8,3)符合(2),经检验只有 983 839 398 328245326 符合题意.如果a 8,那么b c 3,6,0(mod9)(3),又b c的个位数字为2或7,则b c可能为2 1、4 3、 6 2、7 6、7 1,其中只有(b,c) (2,1)符合(3),经检验，abc 821不合题意.如果a 7,那么b c 4,7,1(mod9) (4),则b

40、 c可能为4 2、6 3,其中没有符合(4)的(b,c) . 如果 a 6,那么 b 5 , c 4 , abc bca cab 700 600 500 210000000 222334586 ,因此 这时abc不可能符合题意.综上所述，abc 983是本题唯一的解.【例12】一个大于1的数去除290, 235, 200时，得余数分别为a, a 2, a 5,则这个自然数是多少？【解析】根据题意可知，这个自然数去除290 , 233 ,195时，得到相同的余数(都为 a).既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0.那么这个自然数是290 233 57的约数，又

41、是233 195 38的约数，因此就是57和38的公约数，因为57 和38的公约数只有19和1 ,而这个数大于1,所以这个自然数是 19.【巩固】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90 164 254后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是254 220 34的约数，又大于10 ,这个自然数只能是 17或者是34 .如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是 22、28、16,不

42、符合题目条件；如果这个数是17,那么他去除90、164、17220 后所得的余数分别是5、 11 、 16 ，符合题目条件，所以这个自然数是【例13】甲、乙、丙三数分别为603, 939, 393.某数A除甲数所得余数是 A除乙数所得余数的 2倍，A 除乙数所得余数是 A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？根 据题意，这三个数除以A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：603 A K1L L r1 939 A K2L L r2 393 A K3L L r3由于ri 2r2,2 2r3,要消去余数 小口，如我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减.这样我们先把第二个式子乘以 2 ，使

43、得被除数和余数都扩大2 倍，同理，第三个式子乘以 4 于是我们可以得到下面的式子： 603 A K1L L r1 939 2 A 2K2L L 2r2393 4 A 2K3L L 4r3这样余数就处理成相同的.最后两两相减消去余数，意味着能被A整除.939 2 603 1275， 393 4 603 969， 1275,96951 3 17 51的约数有1、3、17、51 ,其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A等于17巩固】 一个自然数除429、 791、 500 所得的余数分别是a 5、 2a 、 a ，求这个自然数和a 的值 .将这些数转化成被该自然数除后余数为2a 的

44、数：429 5 2 848 ， 791 、 500 2 1000 ，这样这些数被这个自然数除所得的余数都是2a ，故同余 .将这三个数相减， 得到 848 791 57、 1000 848 152 ， 所求的自然数一定是57和 152的公约数，而 57,15219 ，所以这个自然数是19的约数，显然1 是不符合条件的，那么只能是19. 经过验证，当这个自然数是19时，除 429 、 791 、 500所得的余数分别为 11、 12、 6 ， a 6时成立,所以这个自然数是19 ， a 6 .【模块三：余数综合应用】【例14】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21这串数列

45、当中第2008个数除以3 所得的余数为多少？斐 波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和， 由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3 除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、 1、2、0【巩固】【解析】【例15第九项和第十项连续两个是 1 ,与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于 2008除以8的余数为0,所以第2008项被3除所得 的余数为第8项被3除所得的余数，为0.（2009年走美初赛六年级）有一串数： 1, 1, 2, 3, 5, 8,，从第三个数起，每个数都是 前两个数之和，在这串数的前2

46、009个数中，有几个是 5的倍数？由于两个数的和除以 5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以 5的余数.所以这串数除以 5的余数分别为：1, 1 , 2, 3, 0, 3, 3, 1 , 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4,1,0, 1,1, 2, 3,0,可以发现这串余数中，每 20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是 5的倍数.由于2009 5 401L 4,所以前2009个数中，有401个是5 的倍数.I （圣彼得堡数学奥林匹克试题 ）托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数.现知这三余数的和是 15 .试求该数除以18的余数.除以

47、3、6和9的余数分别不超过 2, 5, 8,所以这三个余数的和永远不超过2 5 8 15,既然它们的和等于15,所以这三个余数分别就是2, 5, 8.所以该数加1后能被3, 6, 9整除，而3,6,9 18 ,设该数为a,则a 18m 1,即a 18（m 1） 17 （ m为非零自然数），所以它除 以18的余数只能为17 .（2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题）一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是 3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100,父亲岁数最大，问：母亲是多少岁？BA从任意三人岁数之和是 3的倍数，100除以3余1,就知四个岁数都是 3k 1

48、型的数，又是质数.只 有7, 13 , 19 , 31 , 37, 43 ,就容易看出：父 43岁，母37岁，兄13岁， 妹7岁.【例16】（华杯赛试题）如图，在一个圆圈上有几十个孔 （不到100个），小明像玩跳棋那样，从 A孔出发 沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到 B 孔他又试着每隔 4 孔跳一步，也只能跳到 B 孔最后他每隔 6 孔跳一步，正 好跳回到 A 孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗 ?设 想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A 孔编号为 1 ，然后沿逆时针方向顺次编号为2, 3, 4,，B孔的编号就是圆圈上的孔数.我们先看

49、每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上？很容易看出应在1, 4, 7, 10,上，也就是说， 小明跳到的孔上的编号是3 的倍数加 1 按题意，小明最后跳到 B 孔，因此总孔数是3 的倍数加 1 同样道理，每隔 4 孔跳一步最后跳到 B 孔，就意味着总孔数是5 的倍数加 1 ；而每隔 6 孔跳一步最后跳回到 A 孔，就意味着总孔数是7 的倍数如果将孔数减1 ， 那么得数既是3 的倍数也是5 的倍数， 因而是 15 的倍数 这个 15 的倍数加上1 就等于孔数，设孔数为 a ，则 a 15m 1（ m 为非零自然数）而且a 能被 7 整除注意15 被 7除余 1 ，所以 15 6被 7 除余 6 ，

50、15 的 6 倍加 1 正好被 7 整除我们还可以看出， 15 的其他 （小于的 7）倍数加 1 都不能被 7 整除， 而15 7 105已经大于100 7 以上的倍数都不必考虑， 因此，总孔数只能是15 6 1 91 巩固】 （ 1997 年全国小学数学奥林匹克试题 ） 将12345678910111213 依次写到第.1997 个数字， 组成一个 1997 位数，那么此数除以 9 的余数是 本 题第一步是要求出第1997 个数字是什么，再对数字求和19共有9个数字，1099共有90个两位数，共有数字：90 2 180 （个），100999共900个三位数，共有数字： 900 3 2700

51、（个）,所以数连续写，不会写到999, 从 100 开始是 3 位数，每三个数字表示一个数， （1997 9 180） 3 6022 ，即有 602 个三位数，第 603 个三位数只写了它的百位和十位从100 开始的第 602 个三位数是701 ，第 603 个三位数是9 ，其中2 未写出来因为连续9 个自然数之和能被 9 整除，所以排列起来的 9 个自然数也能被9 整除， 702个数能分成的组数是： 702 9 78 （组 ） ，依次排列后，它仍然能被9 整除，但 702 中 2 未写出来，所以余数为9-2 7 .【例17】设2n 1是质数，证明：12, 22,，n2被2n 1除所得的余数各

52、不相同.【解析】假设有两个数a、b, (1 b a n),它们的平方a2, b2被2n 1除余数相同.那么，由22同余te理得 a b 0(mod(2n 1),即(a b)(a b) 0(mod(2 n 1),由于 2n 1 是质数，所以a b 0(mod(2n 1)或 a b 0(mod(2n 1),由于 a b , a b 均小于 2n 1 且大于 0,可知，a b与2n 1互质，a b也与2n 1互质，即a b, a b都不能被2n 1整除，产生矛盾，所以假设 不成立，原题得证.【巩固】试求不大于100,且使3n 7n 4能被11整除的所有自然数 n的和.【解析】 通过逐次计算，可以求出

53、3n被11除的余数，依次为：31为3, 32为9, 33为5, 34为4, 35为1,，因而3n被11除的余数5个构成一个周期：3, 9, 5, 4, 1 , 3, 9, 5, 4, 1 ,；类似地，可以求出7n被11除的余数10个构成一个周期：7, 5, 2, 3, 10 , 4, 6, 9, 8, 1 ,；于是3n 7n 4被11除的余数也是10个构成一个周期：3, 7, 0, 0, 4, 0, 8, 7, 5, 6,;这就表明，每一个周期中，只有第 3、4、6个这三个数满足题意，即 n 3,4,6,13,14,16,93,94,96 时 3n 7n 4 能被 11 整除，所以，所有满足条

54、件的自然数 n的和为：3 4 6 13 14 16 . 93 94 96 13 43 . 283 1480.【巩固】若a为自然数，证明10(a2005 a1949).【解析】10 2 5,由于a2005与a1949的奇偶性相同，所以2 (a2005 a1949).a2005 a1949 a1949 (a56 1),如果a能被5整除，那么5 a1949 (a56 1);如果a不能被5整除，那么a被5除的余数为1、2、3或者4, a4被5除的余数为14、24、34、44被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1 ,所以不管a为多少，a4被5除的余数为1,而a56

55、(a4)14,即14个a4相乘，所以a56除以5均余1 ,则a56 1能被5整除，有5 a1949 (a56 1) .所以 5(a2005 a1949).由于2与5互质，所以10 (a2005 a1949).【例18设n为正整数，k 2004n, k被7除余数为2, k被11除余数为3,求n的最小值.【解析】2004被7除余数为2,被11除余数也为2,所以2n被7除余数为2,被11除余数为3.由于21 2被7除余2,而23 8被7除余1 ,所以n除以3的余数为1 ;由于28 256被11除余3, 210 1024被11除余1 ,所以n除以10的余数为8.可见n 2是3和10的公倍数，最小为 3,10 30,所以n的最小值为28.【巩固】有三个连续自然数，其中最小的能