4-2-4燕尾定理题库教师版

1、燕尾定理日如蚱 例题精讲燕尾定理：在三角形 ABC中，AD , BE , CF相交于同一点 O ,那么S出BO : S浅CO = BD : DC .上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为AABO和AACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D是BC上任意一点，请你说明：G :S4 =S2 :S3 =BD : DC【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S：S4=

2、BD:DC ；三角形 ABE与三角形EBD同高，S : & = ED :EA ；三角形 ACE与三角形 CED 同高，S4：S3=ED:EA,所以 §:8=&: & ；综上可得 S：S4=&:S3=BD:DC.例1 （20XX年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形 ABC的面积是1, E是AC的中点，点D在 BC上，且BD:DC=1:2, AD与BE交于点F ,则四边形 DFEC的面积等于.【解析】方法一：连接CF ,根据燕尾定理,Sx ABFBDAEDCEC=1,设 SA BDF =1 份,则 SA dcf =2 份,SA ABF =3份，SAA

3、EF = SA EFC =3份，如图所标所以SDCEF12SA ABC12方法二：连接DE ,由题目条件可得到SA ABD = - SA ABC3SA ADE2 SA ABC=1,所以3BFSA ABDSa def二一SA DEB211八SA BEC2 3而 SA CDE【巩固】如图，已知 BD =DC ,FESA ADESA ABC2 3 212，DFEC的面积等于12ABC的面积是求阴影部分面积.EC =2AE ,三角形30AFB【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边

4、形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线,（法一）连接CF ,因为BD =DC ,EC=2AE,三角形 ABC的面积是30,1oSA ABC 15 2根据燕尾定理,Sa ABFAESa ABFSA CBFECSA ACFCD-=15 -7.5 =7.5 ,1 _所以 SA ABF = SA ABC =7.5 , SA BFD4所以阴影部分面积是 30 -10-7.5 =12.5 .（法二）连接DE,由题目条件可得到Saabe1 C=- SA ABC =10 , 3S DEFSa BDES2& ABC =10AFFDS ABES BDESA DEA21 1 _ SA ADC

5、2 3X SA ABC =1 2 3.5 ,而 SA CDE2 1 -二SA ABC3 2=10.所以阴影部分的面积为12.5 .【巩固】如图，三角形ABC的面积是200 cm所以 SA ABE =- SA ABC =10, SA ABD, E在AC上，点D在BC上，且AE: EC=3: 5 , BD : DC = 2 :3 ,AD与BE交于点F .则四边形DFEC的面积等于.【解析】BjD连接CF ,根据燕尾定理,SA ABFBDSa acfDC设 Sa ABF =6 份,A则 Saacf =9 份,Sa bcfSA ABFAESa cbfEC5 1010 份，Sa efc=9 53 545

6、 /八份,8Sacdf3，、=10 =6 伤，2 345452所以 Sdcfe =200-： (6 9 10) (6)=8 (6) =93 (cm )88如图，已知BD =3DC , EC =2AE , BE与CD相交于点。，则4ABC被分成的4部分面积各占 4ABC 面积的几分之几？=1份,连接CO,设Saaeo则其他部分的面积如图所示，所以分按从小到大各占1 2 "45 ABC 面积的 ,24.5303013 93Sabc =1+2+9+18=30份，所以四音B13.59,60 30 103020(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在11.、 ABC 中，CP= CB, C

7、Q=CA, BQ 与 AP 相交于点X ,若 ABC的面积为6 ,则AABX的面积等于.-1由于 CP =一CB , 21CQ=CA,所以 Sabq 3211=S ABC , S_| BPQ = - S BCQ =- S326ABC 由蝴蝶定理知,所以 Slabx ="S5_2 c 1 _,AX : XP = SJABQ : S BPQ = - S ABC :- S ABC = 4:1 ,3 -6 4122ABP =一 父一 S ABC =S ABC =一 M6 =2.4 .52 -5 -5方法二：连接CX设S cpx =1份，根据燕尾定理标出其他部分面积, 所以 SAABX =6&

8、quot;(1 1 4 4) 4=2.4【巩固】如图，三角形 ABC的面积是1, BD=2DC , CE =2AE , AD与BE相交于点F ,请写出这4部分 的面积各是多少？EEF4BD连接CFABC的面积AAAEEFF1BBBCCCDDDAE2EC3> ABF) AEFC是直角ACCDCB部分）的面积为多少?AAMMNN122.42连接CF ,根据燕尾定理2F) D CSaefc则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以SA BDFSA AEFBD ： DCSA AFCAM =BM ,那么三角形 AMN （阴影1.6 E8F且AE:EC =2:3D CSA ABF2 4 221

9、 一 7如图，E在AC上，D在BC上2的面积等于22 cm ,则三角形所以 SAabc =22-： 4.4 9 =45 (cm2)BC3=2.4 份，如图所标，所以 SEFDC =2+2.4 = 4.4 份,SAabc =2+3+42 392Sbdf2172二12 3SA AEF =，SA ABF21SA ABF = BD SAACF -DC,SFDCE 21AA【解析】【巩固】【解析】.6【巩固】BCDDB C连接BN . ABC的面积为3乂2 + 2 =3根据燕尾定理， ACN : ABN =CD : BD =2 :1 ;同理 CBN :ACAN =BM : AM =1:1设AAMN面积为

10、1份，则AMNB的面积也是1份，所以4ANB的面积是1+1=2份，而 ACN的 面积就是2M2=4份，4CBN也是4份，这样 ABC的面积为4+4+1+1=10份，所以4AMN的 面积为310父1 =0.3 .如图，长方形 ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE , F是DG的中点.阴影部分的面积是多少 平方厘米？【解析】设Sx DEF =1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示影DEC55 一、一，= ?Sabcd=2平方厘米.例2如图所示，在四边形 形BODC的面积为ABCD 中,AB=3BE, AD =3AF ,四边形AEOF的面积是12,那么平行四边1212【解析】连接 AO, BD ,

11、根据燕尾定理 Saabo：Sabdo = AF : FD =1：2 , SAaod ：SAbod =AE ：BE =2:1，设 SAbeo =1 , 则其他图形面积，如图所标，所以Sbodc -2Saeof =2 12-24 .例3 ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G ,则四边形 AGCD的面积是 平方厘米.【解析】连接人563,设54 1c=1份，根据燕尾定理得SA agb=1份，Sa bgc =1份，贝US正方形=(1+1+1)乂2 = 6份，Sadcg =3+1=4份，所以 Sadcg=12、6M4=96 (cm2)例4如图，正方形ABCD

12、的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形 BGHF的面 积是 平方厘米.【解析】连接BH,根据沙漏模型得BG:GD =1:2,设$4bhc =1份，根据燕尾定理 SA邮=2份，Shd=2份,1 2 77因此 正方形=(1+2+2)父2=10 份，Sbfhg =1+2=7,所以 Sbfhg =120，0父，=14(平方厘米).2 3 66【例5】如图所示，在 ABC中，BE: EC =3:1, D是AE的中点，那么 AF : FC =.连接CD .由于 S»A ABD : SA BED =1：1 ,SA BED : S»A BCD =3： 4 ,所以 S

13、»A ABD : SA BCD =3： 4 ,根据燕尾定理,AF ：FC =&ABD Sbcd =3:4 .在 MBC 中，BD : DC =3:2 ,AE : EC =3:1 ,求 OB : OE =?连接OC .因为BD : DC =3:2 ,根据燕尾定理,SdOB : SAOC BD ： BC =3： 2 ,即 S占ob32 S浅OC，又 AE:EC =3:1 ,所以 S幽ocjS浅。E3八则 S -AOB = 2 S.AOC3 4c 丈 SAOE = 2SOE，2 3所以 OB:OE =SAOB : SAOE =2:1 .在 陕BC 中，BD : DC =2:1 ,

14、AE :EC =1:3,求 OB:OE=?题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积 比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比.本题的图形一看 就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接 OC . 连接OC .因为 BD:DC =2 :1 ,根据燕尾定理，S&OB :SAOC = BD : BC =2:1 ,即 S&°B =2S总 ;又 AE : EC1:3,所以SoC =4Soe.贝USAOB=2Soc= 24Soe=8S&oe,所以 OB : OE =S

15、.b : S逢oe =8:1 .例6 （20XX年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且1 1AE =1 AB , CF =- BC , AF与CE相交于G ,若矩形 ABCD的面积为120 ,则AAEG与ACGF的 34面积之和为.（法1）如图，过F做CE的平行线交 AB于H ,则EH : HB =CF : FB=1:3 ,所以AEEB2=2EH ,AG :GF = AE : EH =2 ,即 AG =2GF ,所以S AEG =2 3 1c“M 父 S ABCD =10.9 4 2工且 EG =2 HF =2 3 EC33 41EC ,故 CG =

16、GE ,则 S店gf =1 X 2 mSeg =5 .所以两三角形面积之和为10+5 =15 .（法2）如上右图，连接 AC、根据燕尾定理 , S ABG ： S ACG=BF :CF =3:1,S酒cg : S送cg = BE : AE = 2:1,1 -而 S&BC =-SJABCD =60 ,所以SabgSjCG =, SAbC3 2 11 =一父60 = 20 ,31 -1 -则 S&EG =gS&BG =10, S&FG = _ SBCG =5 ,所以两个三角形的面积之和为15.【例7】如右图，三角形 ABC中,BD:DC=4:9, CE : EA =

17、4:3,求 AF : FB .BDC【解析】根据燕尾定理得SAAOB : SAAOC =BD :CD =4:9 =12: 27S aob : Saboc = AE :CE =3: 4 =12:16（都有 AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 Saoc : Saboc =27:16 =AF :FB【点评】本题关键是把 4AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果 能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形 ABC中，BD:DC=3:4, AE : CE =5 :6 ,求AF : FB .ABDC【解析】根据燕尾定理得

18、SAOB ： SaAOC =BD :CD =3： 4=15： 20& AOB ： Saboc =AE:CE =5:6=15:18（都有 AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 SAAOC : SBOc =20:18 =10:9 = AF ： FB【巩固】如图，BD :DC =2:3, AE :CE =5: 3，则 AF : BF =【解析】根据燕尾定理有SAABG:SAACG =2:3=10:15,SAABG : SAbcg=5:3=10: 6，所以SAacg Sbcg =15: 6 =5: 2 = AF : BF如右图，三角形ABC中，BD:DC=2:3,EA:CE =5:4,求

19、 AF : FB .根据燕尾定理得 SAAOB : SAAOC =BD :CD =2:3 =10:15SLAOB :SABOC =AE :CE =5: 4 =10:8（都有 AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 SA aoc : SA BOC = 15:8 = AF : FB本题关键是把 4AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!例8 （20XX年“学而思杯”六年级数学试题）如右图，三角形ABC中，AF : FB = BD : DC =CE : AE =3:2, 且三角形ABC的面积是1 ,则

20、三角形 ABE的面积为,三角形AGE的面积为,三角 形GHI的面积为.【分析】连接AH、BI、CG .【巩固】【解析】【巩固】【分析】2 一由于 CE : AE =3: 2 ,所以 AE =-AC ,故 S©BEW%bc=5；根据燕尾定理，S梦g：/bg=CD :BD=2:3, S34 一S.CG : S浅BG : SCG =4 6:9 ,则 S逸CG = , SCG ： S聋bg =CE : EA=3: 2 ,所以9'/BCG =,192c2 48那 A S小GE = S AGC = M = ；5 ：5 19 959._同样分析可得Sach =，则 EG :EH = Sac

21、g ：Sach= 4： 9,EG:EB =%acg： SCB =4:19,所以19""""EG :GH : HB =4:5:10 ,同样分析可得 AG :GI : ID =10:5:4,5 c 521c所以 SBIE 二一SBAE =一 M =一 , S EHI10:10 55如右图，三角形的面积.S BIE1919 5 19ABC中，AF : FB =BD : DC =CE : AE =3:2 ,且三角形 GHI的面积是1 ,求三角形 ABC连接 BG, SA AGC = 6 份根据燕尾定理，SA agc : SaBGC = AF : FB=3： 2

22、6:4， SAABG得SA BGC =4（份）， SA ABG =9（份），则1ABC =19（份）,同理连接AI、CH得S%=9& ABC 19所以"SA ABC三角形GHI因此:SA AGC Sa AGC SA ABC=BD : DC =3: 2 =9 :6619,19 -6 -6 -6 119-19SA BICSA ABC9,19的面积是1 ,所以三角形ABC的面积是(20XX年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级AF =2FC，那么，ABC的面积是阴影三角形面积的倍.如图，连接AI .19）如图， MBC 中 BD=2DA，CE = 2EB，根据燕尾定理，S由CI

23、：SACI =BD : AD =2:1 , S加I ：SAbi =CF : AF =1: 2 ,所以，S8CI : S曲CI : S&BI =1: 2: 4 ,那么，S Bci2 e. -2e.i i S 丛BCS 丛BC -1 2 47同理可知 Mcg和 Mbh的面积也都等于 Mbc面积的2 ,所以阴影三角形的面积等于Aabc面积7.21 一的1 _2父3 =1 ,所以 MBC的面积是阴影三角形面积的7倍.【巩固】如图在 abc中，DC=£A=FB¥aghi?!：的值.DB EC FA 2 ABC 的面积【解析】 连接 BG,设 SAbgc =1 份，根据燕尾定理

24、 Saagc : Sabgc = AF : FB =2:1 , SAabg ： Saagc =BD : DC =2:1 ,S人2得Sa AGC =2（份） ，Sa abg =4（份），则Saabc =7（份），因此=一，同理连接AI、CH得SABC7& ABH _ 2 A ABHSA BIC3=13,=一,Sa ABCSa ABC13A BIC _ 2SA ABC 7 SA ABC 7所以装J -2-2 -2SA ABC7【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的， 即再重复一次

25、解题思路， 因此我们有 对称法作辅助线.【巩固】如图在 4ABC中,DC EA里=1,求0GHi吗？FA 3 ABC的面积的值.DB EC所以S2HLSA ABC13 -3 -3-3 4一 13-13【解析】连接 BG，设 SA bgc =1 份，根据燕尾定理 SA AGC : SA BGC = AF : FB =3：1 , SA ABG : SA AGC = BD : DC =3：1得 Sa agc =3（份），Sabg =9（份），则 $ abc =13（份），因此 女 = 3 ,同理连接 AI、CH 得Sa abc13【巩固】如右图，三角形ABC中，AF :FB =BD:DC =CE :

26、 AE =4:3,且三角形 ABC的面积是74 ,求角形GHI 的面积.AA【解析】连接BG, Saagc =12份根据燕尾定理,SA AGC : SABGC=AF :FB =4:3=12:9 , SAABG : SAAGC = BD : DC =4:3 =16:12得 SaBGC =9（份），SAABG =16（份），则2 ABC =9+12+16=37（份），因此 S士 1 7：_i DVjk-z'' 'l_i AAD' z；_i AAD_z' z> ABC1237S同理连接AI、CH得士上S ABC12 Smc12, 一37 Sa abc37

27、所以SA GHISA ABC37 -12 -12 -12371一37三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是74父1 =237【例9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形, 则阴影四边形的面积是多少？如图所示,三个三角形的面积分别是3,7,7,【解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形.设三角形为 ABC , BE和CD交于F ,则BF =FE ,再连结DE .所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x ,则 x: (3+3)=AD :DB =(x+10 ):10 ,所以 x

28、=15,四边形的面积为 18 .方法二：设 Sa ADF x , 根据燕尾定理 Sa abf : Sa bfc - Saafe : Sa efc ，得到国 AEF - x+ 3,再根据向右下飞的燕子，有(x+3+7):7=x:3,解得x =7.5四边形的面积为 7.5+7.5+3=18【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是.【解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：2: “影=(1+3):4

29、,解得“影=2.方法二：回顾下燕尾定理，有 2: (“影+4) =1:3 ,解得%影=2.【例10如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中 4个三角形的面积，问三角形 ABC的面积是多【解析】设$ bof =x,由题意知BD: DC =4:3根据燕尾定理，得Sa abo : Sa aco = Sa bdo :Sacdo =4:3，所以 SaACO=-M(84 + x)=63 +x ,443再根据SaABO : SaBCO =Sa AOE : Sa COE ) 歹历程(84 x) :(40 30) = (63 x4 35):35 解得 x=56Saaoe : 35 =(56 84) :(40

30、 30)，所以 Sa AOE -70所以三角形 ABC的面积是84 +40 +30十35十56+70 =315【例11】 三角形ABC的面积为15平方厘米, 的面积.D为AB中点，E为AC中点,F为BC中点，求阴影部分在4ABC中，根据燕尾定理,所以Sa ABM - Sa ACM - Sa bcn在 EBC中，根据燕尾定理，Sa ben:Sacen=BF :CF= 1:1 &CEN :SaCBN =ME :MB =1:2设 SA CEN H （份），则 SA BEN =1（份），SABCNSA BCE = 4 (份),所以所以S -1SSa bcn 一 Sa bce22； ABC ,

31、Sa BNES»A BMN = S»A BNE = SaABC所以_ 11SB影= ,二 SA ABC12 882441=- Sa12BCE_1o一Saabc81,因为 BM :ME =2:1 ,Fabc , Sa bfn = _ Sa bnc 二 万5； abc =一父15=3.125 （平万厘米）24为BC中点，【例12】如右图，4ABC中,1=Sa abc , 8G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点,AF与BG交于N ,已知ABM的面积比四边形 FCGN的面积大7.2平方厘米, 多少平方厘米？AD与BG交于M , 则 ABC的面积是【解析】 令BE与CD的交

32、点为 M, CD与EF的交点为N,连接AM, BN.SA ABM : SA BCM = AE : CE =1:1 , SA ACM : SA BCM = AD : BD = 1:1 ,1s 一SA ABC3-11由于 SaaemSaamcSaabm S,所以 BM . ME =2A【解析】根据燕尾定理,S>A ABMA1 _：Sa cbm = AG ： GC =1:1 , Sa abm ： Sa acm = BD : CD =1:3，所以 Sa abm =一 Sa abc ；再根据燕尾定理,SAabn ：SaCBN =AG ：GC =1:1 ,所以 SAabn : SAfbnAN : N

33、F =4:3 ,那么1根据题意，有-Saabc5SA ANG1SA AFC25 SASa abc282_ _2,所以 Sfcgn =111 77-S*A CBN5, AFC5: SA FBN =4：3,所以1 S5 sSA ABCSA ABC428可得SA ABC =336（平方厘米）（20XX年四中分班考试题）如图， 若MBC的面积为1,那么四边形MBC中，点D是边AC的中点，点 CDMF的面积是.E、F是边BC的三等分点,由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BNNM、MD三段的比,CDMF的面积.那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形 连接CM

34、、CN .根据燃尾7E理，S&BM: S幽CM=BF ：CF =2:1 ,而s幽CM=2S幽dm,所以S必BM= 2S&CM=4SADM,那4么 BM =4DM ,即 BM =一 BD .那么S BMFBM BF -“ s S BCDBD BC15147-=2 15 30另解：得出Sbm =2S&cm =4Sdm 后，可得SH边形CDMFS Adm1 1=X -5 2110贝u S四边形 cdmf - S acf - S Adm1 13 10730【例13如图，三角形 ABC的面积是1,请写出这9部分的面积各是多少？BD =DE =EC , CF = FG =GA ,三

35、角形 ABC被分成9部分,5【解析】 设BG与AD交于点P, BG与AE交于点Q, BF与AD交于点 M, BF与AE交于点N.连接CP,1一5同理可得,SA ABQ2 S一,SA ABN71工一=，而 SA ABG2所以SA APQ35S 1，SAAQG 二 一7 21同理，SA BPM351 3SA BDM酮边形 MNED 二一 一 一3 35 70215，所以SH边形 PQMN,SH边形 NFCE 42351703 21 42=一,Szg边形 GFNQ63 211一642【巩固】如图，MBC的面积为点D、E是BC边的三等分点，点 F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少?

36、【解析】 连接CK、CI、CJ .根据燕尾定理，SACK : SABK =CD : BD =1: 2所以 S浅CK : SaBK : SaBK 1:2:4,那么 S占ckS 'ABK : S CBK1_ 11 2 4 一7=AG : CG =1: 2 ,，S -AGK1s.3 S. ACK121CQ, CM, CN.SA ABP : SA ACP = BD : CD =1:2,设 SA abp =1 （份），则根据燕尾定理，SA ABP : SACBP =AG:GC=1:2,SA ABC =1+2+2=5（份 ） ,所以 SA abp类似分析可得SAGI = 2心15又 S abj :

37、 S cbj - AF:CF =2:1 , S&bj :S总cj =BD :CD =2:1 ,可得S ACJ1784根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为17 ,那么四边形84JKIH周围的图形的面积之和为SCGKJ2 S agi S abe172161I' M2 + + =, 8415 3 70所以四边形JKIH的面积为1-6170970【例 14如右图，面积为 1 的 ABC 中，BD : DE : EC =1: 2:1 , CF :FG :GA =1:2 :1 , AH : HI : IB =1: 2:1 ,求阴影部分面积.【解析】设IG交HF于M , IG交HDDF交

38、EI于P .连接 AM ,. AI : AB =3:4, AF:AC=3:4,二&AIFSA ABCIF16 SA FIM : SAAMF =IH : HA =2, SAFIM : SA AIM =FG:GA=2, SA AIM =-& AIF4. AH : AB =1: 43SA ABC163 SSA ABC，64同理SACFD =S BDH =SAABC , SA FDH16 SAABC HM : HF1664169SA ABC , AH : AI 1: 3 , SA AHM64. AI : AB =3: 4, AF : AC =3: 4, .IF / BC ,又IF :

39、BC =3: 4,DE :BC =1:2 , .DE : IF =2:3,DP : PF =2:3,=1:4 , . .HN :HD =2:5 ,同理 HN : ND =2: 3 , . HM : HF'SA HMN1 SSAHDF107 SSAABC160160同理6个小阴影三角形的面积均为160阴影部分面积7 c 216 =16080【例15】AB、BC、CA的三等分点，求阴中,的三角形ABC分别是E、 F、 G、D、H、【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!如图，面积为l 影部分面积.令BI与CD的交点为 M,AF与CD的交点为 N, BI与AF的

40、交点为P,BI与CE的交点为 Q,连接AM、BN、CP求能边形admi :在ABC中，根据燕尾定理,SA ABM : SA CBM =AI :CI =1:2 SAACM :SACBM = AD : BD =1:2Ae e -leSA ABC , SAAIM -SA ABC ,1212设& ABM =1（份），则 SA CBM =2（份）,SA ACM =1（份）,SA ABC =4（彳 ,所以SA ABM 二 SA ACM =- SA ABC， 所以SA ADM411c 1 _所以 Szg边形 ADMI - （一 ' ）SA ABC - - SA ABC ,12 126同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是1 ABC面积的一 6求Se边形DNPQE :在4ABC中，根据燕尾定理S ABN:SA ACN =BF :CF =1:2 SA acn : SA BCN = AD :BD =1:2,所以111SA ADN=S ABN=SAABC3371 一一SAABC 同理 SABEQ211SASA ABC21在 4ABC 中，根据燕尾定理 SAabp : SAACP =BF :CF =1:2,S.bp : &cbp = AI :CI =1:2所以SA ABP