线性代数行列式计算方法总结ppt课件

1、线代学习小组第线代学习小组第4 4组组例例1 计算四阶行列式计算四阶行列式 D=4532530121525325例例2 2 计算以下行列式计算以下行列式解：将第i+1i=1,2,n列的 倍加到第1列，得 = 0121112000000000niiniinnb cabbbaaDaaiica1201()niiniibca aa aa012111220000 ,0,1,2,00nninnabbbcaDcaainca 上三角行列式箭形例例3 计算计算n阶行列式阶行列式 解：这个行列式的特点是各列行的元素之和相等，故可将解：这个行列式的特点是各列行的元素之和相等，故可将各行加到第一行，提出公因子，再化为

2、上三角行列式。各行加到第一行，提出公因子，再化为上三角行列式。 nirri,.,2 , 11加 法xaaaxaaaxxaaaxaaax(1)(1)(1)xnaxnaxnaaxaaax 小提示小提示: : 在求矩阵特征值时假设特征多项式满足上述行在求矩阵特征值时假设特征多项式满足上述行列式列式 特征，亦可以运用以简化运算。特征，亦可以运用以简化运算。niarri,.,21 111(1)axaxnaaax111100(1)(1)()00nx axnaxna x ax a例例4 4 计算计算n n阶行列式阶行列式 , ,其中其中 解：由题意得 将第n-1行的-1倍加至第n行，第n-2行的-1倍加至第

3、n-1行，第1行的-1倍加至第2行，有 将第n列分别加到前边的第 1,2，n-1列.0122110132210432340112310nnnnnnnDnnnnnn012n-2111111111111111111111nnDnijDa( ,1,2, )ijaij i jn逐行相减法 =12(1)2nnn(-1)112310222100221=0002100001nnnnn例例5 5 计算计算n n阶行列式阶行列式 解： 用加边法，即构造n+1阶行列式，使其按第一列行展开后，等于原行列式 123,1,.ninabbbbabbDbbabainbbbba121000nnbbbabbDbabbbba11

4、22,111100100100irrinnnbbbababab加 边 法 = 11112110001000000niiiinnbbbbababccababab121()()()(1)nniibab ababab行列式展开定理行列式展开定理 定义2.5 在n阶行列式 中划掉元素 所在的第 行与第 列,剩下的元素按原来的相对位置陈列，构成的n-1阶行列式称为元素 的余子式，记作 ，称 为元素 的代数余子式。定理2.4 设n阶矩阵A= ， 那么A的行列式等于它的任一行列的个元素与其代数余子式的乘积之和，即 或 111212122212A =nnnnnnaaaaaaaaaijaijaijM( 1)ij

5、ijijAM ijaji()ijn na1122iiiiininAa Aa Aa A1122,1,2,.jjjjnjnjAaAaAa Ai jn例例6 6 计算计算n n阶行列式阶行列式 解：按第一行展开，得 等号两端减 ，得这是一个关于 的递推公式，反复运用递推公式，得， 由于所以 = =n100000110000011000000011000001aaaaaaDaaa12(1),nnnDaDaD1nD111212(1)(1)()nnnnnnnDDaDDaDaDD1nnDD2212321(1) ()(1)()nnnnnDDaDDaDD22212111,(1)1aaDaaDa DDaa1nnDD(1)na221(1)()naDD递推法即从而总结：当行列式元素陈列很有规律且维数与n有关是可以思索递推法 1(1)nnnDDa1221(1)(1)(1)(1)(1)nnnnnDaaaaaa 1(1)nnnDDa211(1)(1)2nnaaaa 2a =2a例7 求以下行列式的值 D= 解：无妨令 所以，原行列式可化为 14486520143512210004300021分块三角形法1448501512432121DD，123456C1122DD= D= 12ODCD规律总结：当遇到如下方式的行列式时，简记为 ， 这里的A,B必需为方阵。而tt1tt