中考数学圆综合题(含答案)

1、点C在圆内；点B在圆上；点A在圆外；无交点；有一个交点;有两个交点;一.圆地概念集合形式地概念：1.圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合；2 .圆地外部：可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合；3 .圆地内部：可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合轨迹形式地概念：1.圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心，定长为半径地圆；（补充）2.垂直平分线：到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线（也叫中垂线）3 .角地平分线：到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线；4 .到直线地距离相等地点地轨迹是：平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线；5 .到两条平行

2、线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线二.点与圆地位置关系1 .点在圆内dr2 .点在圆上dr3 .点在圆外dr三.直线与圆地位置关系1 .直线与圆相离dr2 .直线与圆相切dr3 .直线与圆相交dr四.圆与圆地位置关系外离（图1）无交点dR外切（图2）有一个交点dR相交（图3）后两个交点Rr内切（图4）有一个交点dR内含（图5）尢交点dR五.垂径定理 垂径定理：垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧推论1 ： (1)平分弦(不是直径)地直径垂直于弦，并且平分弦所对地两条弧;(2)弦地垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对地两条弧;(3)平分弦所对地一条弧地直径，

3、垂直平分弦，并且平分弦所对地另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共 5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即:弧AC 弧ADAB是直径 AB CD CE DE 弧BC 弧BD 中任意2个条件推出其他3个结论.推论2:圆地两条平行弦所夹地弧相等即：在。中，: AB / CD弧 AC 弧 BD六.圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等地圆心角所对地弦相等，所对地弧定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中地1个相等，则可以推出其它地 3个结论,即： AOB DOE ； AB DE ；OC OF ;弧BA弧BD相等，弦心距相等.此七.圆周角定理1.圆周角定理：同弧所

4、对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半即：: AOB和 ACB是弧AB所对地圆心角和圆周角AOB 2 ACB2.圆周角定理地推论:即：在。推论2:即：在。同弧或等弧所对地圆周角相等；同圆或等圆中，相等地圆。中，: C .D都是所对地圆周角半圆或直径所对地圆周角是直角；圆周角是直角所对地弧。中，: AB是直径或 C 90C 90AB是直径推论3:若三角形一边上地中线等于这边地一半，那么这个三角形是直即：在4ABC 中，OC OA OBABC是直角三角形或 C 90注：此推论实是初二年级几何中矩形地推论：在直角三角形中斜边上半地逆定理.八.圆内接四边形圆地内接四边形定理：圆地内接四边形地对角互补即：

5、在。O中,四边形ABCD是内接四边形BAD 180DAE，外角等于它地内对角.D 180周角所对地弧是等弧;O是半圆，所对地弦是直径.角三角形.地中线等于斜边地一九.切线地性质与判定定理(1)切线地判定定理：过半径外端且垂直于半径地直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：: MN OA且MN过半径OA外端MN是。O地切线(2)性质定理：切线垂直于过切点地半径(如上图)推论1 :过圆心垂直于切线地直线必过切点推论2:过切点垂直于切线地直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理:即：过圆心；过切点；垂直切线 ，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个十.切线长定理切线长定理

6、：从圆外一点引圆地两条切线 ，它们地切线长相等，这点和圆 切线地夹角.即：: PA.PB是地两条切线 PA PBPO平分 BPA心地连线平分两条H一 .圆哥定理(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得地两条线段地乘积相等即：在。中，弦AB.CD相交于点P, PA PB PC PD(2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦地一半是它分直径所成地两即：在。中，直径AB CD ,.CE2 AE BEBA条线段地比例中项(3)切割线定理：从圆外一点引圆地切线和割线 ，切线点地两条线段长地比例中项.即：在。O中，: PA是切线，PB是割线PA2 PC PB长是这点到割线与圆交(4)割线定理：从圆外一点引圆

7、地两条割线 ，这一点到每条割线与圆地交点地两条线段长地积相等(如上图) 即：在。O中，: PB. PE是割线 PC PB PD PE十二.两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心地连线垂直并且平分这两个圆地地公AO2O1共弦.B如图：O1O2垂直平分 AB.即：:© O1QO2相交于A. B两点。2垂直平分AB十三.圆地公切线两圆公切线长地计算公式：(1)公切线长： Rt OQ2c 中，AB2 CO12 JO1O22 CO22 ;(2)外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和十四.圆内正多边形地计算(1)正三角形在O 0中 ABC是正三角形，有关计算在 Rt BOD中进

8、行:OD:BD:OB 1:73:2；(2)正四边形同理,四边形地有关计算在 Rt OAE中进行，0E : AE:OA 1:1: J2:(3)正六边形同理,六边形地有关计算在 Rt OAB中进行，AB : OB:OA 1:赤：2.卜五.扇形.圆柱和圆锥地相关计算公式 n R1.扇形：(1)弧长公式：l;180n R2(2)扇形面积公式：S nR36011R 2n :圆心角 R :扇形多对应地圆地半径l ：扇形弧长S :扇形面积2012数学中考圆综合题1.如图 QABC中，以BC为直径地圆交 AB于点D,/ACD=/ABC.(1)求证：CA是圆地切线；(2)若点E是BC上一点，已知BE=6,tan

9、/ABC=2 ,tan/AEO5,求圆地直径.,（1） v B匚是直桂.：* ZBIX?- 90'. ZABC4-Z DC£J=9QCA熟剧的切缝，在R心AEC中心叱AEC= i +ac = T，皿=/八694 广 7J在 KiAABC 中 uanZXBC-彳*二而=f *BCACtV BC-EC-8 工 AC- -1-AC- & ,事.凡即就的亶拴为10.2如图，已知AB是。地弦,OB= 2,Z B=30°,C是弦AB上地任意一点(不与点重合)，连接CO并延长CO交于。于点D,连接AD.弦长AB等于 (结果保留根号)；(2)当/ D= 20 °时

10、，求/ BOD地度数；(3)当AC地长度为多少时，以为顶点地三角形与以为顶点地三角形相似请写出解答过程.(2J耕廿一工;丁酩口是HOC的外币.广召。是&的外笆,:.产If0口卜上!iCC, /EFO/Q/口.二/3口D ZB+ZJ+ZDh又,：上HUA?" J止30。2口=20.*"/=/小/4+"=/#5认 4t=5K工/500=2=1中产.肆法二如用.连结G.'：QAOB, OAGD. AZmO-ZB. ZDAO-D二 /氏/期口.乂Y=a二3U' /AMA5出=5U。C3; V/BCO且十2D, ZBC0- A.二要使arwc1与u&

11、amp;Otr 相似，只驰 J£XX =上£CV>9O此码ZROD-I20 ：.ZDAC./Lumsc*:上BCO-W,却"_L/甘.* AC i.4Z? 52FT5.3.如图右，已知直线PA交。0于两点，AE是。0地直径.点 C为。0上一点，且AC平分/ PAE过C作CD, PA,垂足为D.(1)求证：CD为。0地切线；(2)若DC+DA=6,O 0地直径为10,求AB地长度."1 .(1)证明：连接OC,八巳点 C在O 0±,0A=OC,.,. / OCA=/ OAC,., CD± PA,/.Z CDA=90° ,

12、At有/ CAD+Z DCA=90° , AC平分/ PAE/. / DAC=Z CAO./ DC0=Z DCA+Z ACO=Z DCA+Z CAO=Z DCA+Z DAC=90° . 尸 入、,又点C在。上,OC为。0地半径，CD为。0地切线.义(2)解：过 0 作 0F± AB,垂足为 F,. .Z OCA=Z CDA=Z OFD=90° ,/，四边形 OCDF为矩形，.0C=FD,OF=CD. DC+DA=6设 AD=x，则 OF=CD=6-x,O O 地直径为 10,，DF=OC=5J AF=5-x,在 RAOF 中，由勾股定理得 AF2+OF2

13、=OA2.即(5 x)2 (6 x)2 25,化简彳导:x2 11x 18 0解得x 2或x 9.由AD<DF知0 x 5,故x 2.从而 AD=2, AF=5-2=3. / OF± AB,由垂径定理知，F 为 AB 地中点，. AB=2AF=6.4.（已知四边形 ABCD是边长为4地正方形，以AB为直径在正方形内作半圆,P 是半圆上地动点（不与点重合），连接（1）如图，当PA地长度等于日PAB= 60°当PA地长度等于 时, PAD是等腰三角形；（2）如图，以AB边所在直线为x轴.AD边所在直线为y轴,建立如图所示 地直角坐标系（点 A即为原点O），把PAD4PAB

14、APBC地面积分别 记为坐标为（a,b）,试求2 & S3S22地最大值，并求出此时a,b地值.27.蜂一 I ） 2；）近或6 .3虬 过力P分别作?百。/以PF J JP.垂足分别为从*.延长户产交段;于点3则PG_L佻二 丁产点坐机为 Q，芭=氏PF-& PG 4-g 在八川ZK及尸欣中.& -Kr-笈?” 558 一为直程* .*./卫.，瞪-曲的即b-一切-LfMW吁止=-4t?J + l&r= - A j - 2 / + 16 .一当”2时,&=2,方岛一$广有最大值16.如留，声B是半圆。的直径. AB=2射线 期、曲V为半圃U的切线.在儿

15、肘上取一 点以连接血交芈圆于点C,连接AC过。点作BC的垂线0E,垂足为点M与BN 相交于点£过门点作芈圆。的切线。巴 切点为已 与6川相寓于点Q.(I)求证: A4BC'-A0FB；.N4(2)当A4RD与ABF。的面租相等时，求BQ的长彳(3)求证；当Q在川上移动时。点除外)，点Q始 终是线段8F的中点.(i)证明一，人打为直径.二 AACB90 ep aclrc.又比工 BC* QE/HC,二 LMC =丁 RN是半圆的切线，故，B以=人=/, 臬cbor札-m 分(2)尸得，rOF/l= LDBA,士nw =，。酢=剑*二WDAHF。.当也知。与KW。的面积相等时，&

16、amp;ABDg&BFO.上AD = L又J/>PQ是半圆。的切缱.，。产=1且OP,DP,二 W/和5.二 RQ = AD «1. (3)由(2)知，&ABD5&HFO,.竺=竺,哈2 一 OB MT AD-是半圆0的切线,二g=。孔QB=B。，过Q点作乂M的垂线QK.垂足为心在直角三倦形收尤中,宗二。必*加匕,M + 致尸.-世尸可/. BQ =七，,为 BF 的中点* II分6. ( 11金华)如图，射线PG平分/ EPFO为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作。O,分别与/ EPF地两边相交于和1连ZOA,此时有OA 2(1) PG 平分/

17、EPF, ./ DPO=Z BPO,1 OH122- OA x x x AH OH 2 PH2_2_ 2OA (2x 10)7分A _i V _ :卜，12分io分用.二士 t内n ->o liftT v nn 门上 0rl得三1一, RE 一 卷，可 一 Q £4号,仙1 +gw =刈：在RtjL<*Jr中(l) ii明 i 连的'，Af,Y HP是® u的切找.，f M 上 MP.上 TJlMT八二一力;lT - / 自177PM二上ThinJ -上卜卜”.直-述中-JC2 （证明：连结DO,1. AD2 = AB - AE,/ BAD= /DAE/

18、. BAg DAE,/ ADB= / E. 又,：乙 ADB= / ACBJ / ACB= / E,BC/ DE, 又OD± BCJODDE故 DE是。地切线)9.（义乌市）如图，以线段AB为直径地。O交线段AC于Ae地中点，OM交AC于点D , BOE 60 ,cosC 1 ,BC 2 百2（1）求 A地度数；（2）求证：BC是。地切线；（3）求Md地长度.(解:(1) ./ BOE=60°=1 / BOE = 230°(2)在 ABC中 ,COSC/ C=60 1分/ ABC=90° AB BCBC是。O地切线1210.解:（3）二点M是Ae地中点.

19、OMXAE 在 RtAABC 中BC 2厩. . AB= BCgtan60 273 33 61 OA=AB 3. .OdJoA -MD = 3 )2222（兰州市）（本题满分10分）如图，已知AB是。地直径，点C在。上，过点C地直线与AB地延长线交于点 P,AC=PC, / COB=2Z PCB.(1)(3)(1)求证：PC是。地切线;1(2)求证：BC=2AB;点 M是弧AB地中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN - MC地值.OA=OCJ / A=Z ACO.AB是。地直径.OC是。O地半径(2) PC=AC / A=Z P / C0B=2Z A，/ C0B=2Z PCB/ A=Z

20、ACO=Z PCB/ ACO+Z OCB=90°PC是。O地切线 ./ PCB-+Z OCB=90°，即 OCX CP/ A=Z ACO=Z PCB=Z P / COB=Z A+Z ACO,/ CBO=Z P+Z PCB/ CBO=Z COB1BC=OCBC=2 AB连接MA,MB 点 M 是弧 AB 地中点 .,弧 AM=M BMACM=Z BCMACM=Z ABM/ BCM=Z ABM . / BMC=/BMN . MBNA MCBBM MN. MC BMBM2=MC - MN AB是O O地直径，弧AM=M BM AB=4 .1. BM= 2.2MC - MN=BM

21、2=8，/AMB=90° ,AM=BM（本题满分14分）BPM第26题图0卜:如图（1）,两半径为r地等圆e O1和e O2相交于M , N两点，且eO2过点Q .过M301和3。2于人，B两点，连结NA, NB.(1)猜想点O2与e O1有什么位置关系，并给出证明;(2)(3)且点猜想ANAB地形状，并给出证明；如图（2）,若过M地点所在地直线 AB不垂直于A, B在点M地两侧，那么（2）中地结论是否成立MN ,，若成立请给出证明.点作直线AB垂直于MN，分别交4. (1)02在eO1 上证明：QeO2过点 O1, O1O2r .又Q e O1地半径也是r ,点O2在e O1上.（

22、2） ZXNAB是等边三角形证明：Q MNAB, NMB NMA 900.BN是e。2地直径，AN是e。1地直径，即BNAN 2r ,。2在 BN 上,。1 在 AN 上.连ZO1O2，则O1O2是 NAB地中位线.AB2O1O2 2r.AB BN AN，则 NAB是等边三角形.（3）仍然成立.证明：由（2）得在eO中Mn所对地圆周角为60°.在e O2中MN所对地圆周角为60°.当点A, B在点M地两侧时，在e Oi中Mn所对地圆周角MAN 60°，在e。2中Mn所对地圆周角 MBN 600, NAB是等边三角形.12.如图12,已知：边长为1地圆内接正方形 A

23、BCD中，P为边CD地中点，直线AP交圆于E点. (1)求弦DE地长.(2)若Q是线段BC上一动点，当BQ长为何值时，三角形ADP与以Q, C, P为顶点地三角形相似.1)如图1.过D点作DF AE于F点.在RtAADP中,AP - AD2 DP2又 QSa adp ；ADgDP ；APgDF(2)如图2.当Rtz ADP s RtzXQCP时有AD DP得：QC 1.即点Q与点B重合, qc CPBQ 0 如图 3,当 RtADPs RtzXPCQ 时，有 ad _PD得 qc 1,即 BQ BC CQ -PC QC当BQ 0或BQ 3时,三角形ADP与以点Q, C, P为顶点地三角形相似.

24、413.（本小题满分 10分）如图，。是Rt ABC地外接圆,AB为直径，ABC=30；CD是。地切线,ED± AB于F,3 1 .判断4DCE地形状；(2)设。地半径为1,且OF= " 2 ，求证 DC/ OCB.6.解：(1)Z ABC=30 ,- 6BAC=60 °.又OA=OC, . 4AOC是正三角形.又二CD 是切线,. ZOCD=90° ,. Z DCE=180° -60 -90 =30°.而 ED± AB 于 F,，/CED=90°-/BAC=30°.故 4CDE为等腰三角形.(2)证明：

25、在 4ABC中，. AB=2,AC=AO=1,，BC=收2 12 =73 OF=遍 1 ,. AF=AO+OF= *3 1 .22又 / AEF=30° ,. AE=2AF=翼 +1. . CE=AE-AC= J3 =BC.而 / OCB=/ ACE-ZACC=90 -60 =30°=/ ABCJA CD昌 COB14 （08湖北襄樊24题）8.（本小题满分10分）如图(1)(2)(3)14,直线AB经过eO上地点C ,并且OA OB,CA CB,eO交直线OB 求证：直线AB是e O地切线；试猜想BC, BD, BE三者之间地等量关系，并加以证明；41若tan CED ,

26、eO地半径为3,求OA地长.(1)2证明：如图3,连接OC. QOAOB ,CACB, OCAB.AB是e O地切线.(2)BC2BDgBE .Q ED是直径,ECD90°.E EDCBCDOCD90o, OCDODC ,BCDCBDEBC, BCD BECBCBEBDBC(3)Q tanCEDCD 1EC 2QABCDA BEC,设BD x,则BC2x.又BC2BDgBE, (2x)2 xc(x于 E, D,连接 EC, CD .90°.2BC BDgBE.BDBC6).CD 1EC 2OA OB BD OD 3 2 5.解之，得 x10,x2 2. QBD x 0, B

27、D 2.15如图14,直线AB经过e O上地点c ,并且OA OB,CA CB ,e O交直线OB于E, D ,连接EC, CD.(1)(2)求证：直线AB是e O地切线;试猜想(3)若tanBC, BD, BE三者之间地等量关系，并加以证明;1CED ,eO地半径为3,求OA地长.(4) 解：(1)2证明：如图3,连接OC .QOA OB,CA CB, OC AB.(2)BC2BDgBE .Q ED是直径,ECD 900.E EDC 900.(3)BCDCBDQ tanOCDEBC,CED设BD x,则BC2x.解之得为0 , x290o, OCDODC, BCD BCDsBEC.毁-BDB

28、E BCCD 1CD 1, QABCDABEC ,EC 2又 BC2 BDgBE ,2. QBD x 0, BD(2x)2 xgxBC2 BDgBE.BDBC6).CD 1EC 22. OA OB BD OD 3 25.A5 。地半径OD经过弦AB(不是直径)地中点C,过AB地延长线上一点 P作。地切线PE,E为切点，PE/ OQ延长直径AG交PE于点H;直线DG交OE于点F,交PE于点K.(1)求证：四边形 OCPE是矩形；(2)求证：HK= HG;(3)若EF= 2,FO= 1,求KE地长.5 解：(1) . AC= BQAB 不是直径，OD，AB,ZPCO= 90 (1 分). PE/

29、OD, . . / P= 90 ； . PE是切线，/ PEO= 90 ；(2 分) 四边形OCP弱矩形.(3分)(2) ; OG= OD,/. / OGD= / ODG. / PE/ OD, z. / K= / ODG(4 分) / OGD= / HGK .1- / K= / HGK,.1. HK= HG.(5 分)(3)EF= 2,OF= 1,.-. EO= DO= 3.(6 分)PE/ OD,/ KEO= / DOE/ K= / ODG.OFgEFK(7 分)，EF： OF= KE： OD= 2 ： 1,，KE= 6.(8 分)6如图，直角坐标系中，已知两点O(0,0) A(2,0)，点

30、B在第一象限且 OAB为正三角形,OAB地外接圆交y轴地正半轴于 点C过点C地圆地切线交 X轴于点D.(1)求(3)设 试探究：B, C两点地坐标；(2)求直线CD地函数解析式；E, F分别是线段 AB, AD上地两个动点，且EF平分四边形 ABCD地周长. AEF地最大面积6(1)Q A(2,0) , OA 2 .作 BG OA于 G ,QzOAB为正三角形，OG1,BG 百. B(1,73) .连 AC,Q AOC 90o, ACO ABO 60o,OC OAtan30o 33C0（2） Q AOC 90o, AC是圆地直径，又Q CD是圆地切线，CD AC .OCD 30o,OD OC

31、tan30oB（第6题）设直线CD地函数解析式为 ykxb(k0)，2.3"V2-k3，解得2.33直线CD地函数解析式为y2,3"V(3) Q ABOA一- 2 一2,OD -,CD3八 4-2OD - , BC3OC四边形ABCD地周长62.33设AE t, AEF地面积为S，则AF34t,S1 AF 2c 3 gAEsin60o -3t；3 269 .3一匚时,S6max7.312Q点E, F分别在线段0< t < 2AB, AD上，石0< 3 3t< 22，解得39313.一,一,Qt 9"3满足LW3< t< 2 , 4AEF地最大面积为637 3127如图（18）,在平面直角坐标系中,ABC地边AB在x轴上，且OA OB,以AB为直径地圆过点 C .若点C地坐标为（0,2）,AB 5,两点地木K坐标xA,xB是关于x地方程x2 （m 2）x n 1 0地两根.(1)(2)(3)