二次根式及计算

1、课程信息初中数学二次根式及计算编稿老师董志臣一枚 11 I ' 7 A 乂 J一校-一 -黄楠、审核宋树庆&考掴塞fe I毗得啊向】考点考名腰求分值考向预测二次根式 及计算1 .理解二次根式定义，理解最简二次 根式、同类二次根式含义并能加以区分；2 .能够进行二次根式的有关加减乘除运算，以及化简求值；3 .掌握二次根式的特殊求值方法，能够运用二次根式的性质解决问题。510分主要考查内容：二次根式有意义的条件；二次根式性质的运用；(Ja ) 2与的化简；二次根式的计算。一、二次根式的基本概念：1.定义一般地，形如 Ja (a>0)的代数式叫作二次根式。"称为二次根

2、号。(当a>0时，Ja表示a的算术平方根)【要点诠释】(1)形如bja (a>0的式子也叫作二次根式；(2)二次根式 Ja中的被开方数a,可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但 必须满足a >Gb2.二次根式的性质 非负性，Ja表示a的算术平方根，因此 aa(a>o是一个非负数；(Ta)2 = a( a > 0)a(a 0)存=a = 0(a 0);a(a 0) 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的声术平方根的积;abuVa。vb (an。，b0)商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术 平方根。3.最简二次根

3、式必须同时满足下列条件 被开方数中不含开方开得尽的因数或因式；被开方数中不含会抄“分母中不含根武乙【规律总结】在判断最简二次根式的过程中要注意: 在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；2,在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果哥的指数大于或等于 也不是最简二次根式。【随堂练习】（长宁区二模）下列二次根式中，最简二次根式是（A. 79xB. Vx2_3C. xx y答案：A. .1 9x = x 32 =3、一 x ,可化简；c.三二，匡二分=耳9，可化简;I x- x x xD.3a2b =|a| 3b ,可化简；因此只有B是最简二次根式，故选 Bo思路分

4、析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根 式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是。4.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。.、二次根式的计算：1 .二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式。2.二次根式的乘除法： 二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方 根。Oa - bb = Tab (a>0, b>0) 二次根式的除法法则： 两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。品J- (a>0, b>

5、0)Vb（1）不是同类二次根式的不能合并，如：J3 芯 亚;（2）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用飞'a |aa进行化简，即将根号内能够开得尽方的数移到根号外;（3）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数, 术平方根的性质将其进行化简；（4）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算。【随堂练习】应运用积的算（白银）下列计算错误的是（A. 2 .3,6 B. J2 , 35C. J12. 3 2答案：BD.、8 2 2【直题+模拟题题通关】例题1 （巴中）要使式子 乂m有意义，则m的取值范围是（A. m > 1C. m > 1 且1思

6、路分析：根据二次根式的性质和分式的意义, 可以求出x的范围。答案：根据题意得：m+1池m-1加，解得：被开方数大于或等于0mA 1且m力。故选D。分母不等于0,技巧点拨: 数是非负数。本题考查的知识点为：分式有意义的条件，分母不为0;二次根式的被开方例题2思路分析: 答案即可。（吉林）若av J13vb,且a, b为连续正整数，则 b2- a2=因为32<13<42,所以3V V13<4,求得a、b的数值，进一步求得问题的7。答案：-32<13<42, 3V J13 <4,即 a=3, b=4,b2-a2=7o 故答案为技巧点拨：此题考查无理数的估算。利用平

7、方估算出根号下的数值的取值，进一步得出无理数的取值范围，是解决这一类问题的常用方法。例题3 （荆门）（1）计算：J24X 1-4X. 3* 义（1-石）。；1.8-b一，其中 a, b 满足 a a 1 +|b a ab2 b2(2)先化简，再求值：(a-b- + -a-)24 13a 2ab b b a思路分析：（1）根据二次根式的乘法法则和零指数哥的意义得到原式24*7 M=2，'2 V2 ,然后合并即可；（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式=a，再根据非负数的性质得到a+1=0, bb43=0,解得a= - 1, b= <

8、3 ,然后把a和b的值代入计算即可。答案：解：（1）原式=/24 4X2 X1=242 <2 =石；34(2)原式=(a b)(a b)_ 3?a(a b)(a b)2a bb2a b a a(a b) b a(a b)=(-?2-=?2abab b a b ba 一 , b"a 1 +|b ,'3 |=0,a+1=0, b、/3 =0,解得 a= 1, b=个3 ,当 a=- 1, b=。3 时，原式= =。33技巧点拨：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式。也考查了零指数哥、非负数的性质和分式

9、的化简求值。【拓展升华高分豪取】【易错警示】、考虑问题不全面1如：代数式 J 中,x的取值范围是。 x 2易错点：根据题意，得x 2 >0,解得x故填x或。分析：整体观察式子的特点，存在分母，应满足分母不为。的条件；又存在二次根式，应满足被开方数为非负数。 错解只注意被开方数的非负性，而忽略了分式中分母不为 0的条件。正解：根据题意，得x 2>0,解得x>2,故填x>2o二、理解性质出错如：求，3 2的值。易错点.弋3 2 = 3。分析：J 3 2表示 3 2的算术平方根，应为正数。错解由于对二次根式的性质理解 不透而犯错。正解：43 =59=3。三、忽略运算顺序如：计

10、算"2V3。易错点：原式=J2 1J2。分析：由于乘除是同一级运算，应按照从左到右的顺序进行。正解：原式=乏<3 33 3双。四、对最简二次根式判断不准如：下列各式中，是最简二次根式的是()A. .1-B.C. dT2D. <49 23易错点：选Co分析：最简二次根式的被开方数中既不含开得尽方的因式或因数，也不含分母，满足条件的只有Bo错解只看表面形式，不求甚解，C中被开方数是小数形式，化为分数后，可继续化简。正解：选B。(答题时间：30分钟)111.在式子 ，<x 2 , <x 3中，x可以取2和3的是(x 2 x 31 1A. B. C. 、x 2 D.

11、. x 3x 2 x 32 .设n为正整数，且 n v 465 < n+1 ,则n的值为()A. 5B. 6C. 7D. 83 . y= &5 + 153x+3,贝U xy=()C. 9D.15(a b c)2 +|a+bc|的值为(A. 15B. -94 .已知a、b、c是ABC三边的长，则A. 2aB. 2bC. 2cD. 2 (a c)x 44 x 一.5 .(德州)若 y=2,贝U ( x+y) y=。26.把(2 x)根号外的因式移到根号内，得x 27 .计算：(V5 1)(75+1)(1) 2+|1-% |-(兀2)0+788 .阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一

12、些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 72= (1+J2) 2。善于思考的小明进行了以下探索：设a+bJ2= (m+nJ2) 2(其中 a、b、m、n 均为整数)，则有 a+b J2 =m2+2n2+2mn J2。 a=m2+2n2, b=2mn。这样小明就找到了一种把类似a+b J2的式子化为平方式的方法。请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若 a+bJ3 =(m+n J3 )2,用含m、n的式子分别表 示 a、b,得：a=, b=;(2)利用所探索的结论， 找一组正整数 a、b、m、n填空： +J3 = (_+_ J3 )2(3)若a+4

13、J3 =(m+n J3 )2,且a、m、n均为正整数，求 a的值。人他天眼在就干松索重龙.将白佗1. C 解析：A,的分母不可以为0,即x 2WQ解彳导:XW2,故A错误；X 2B. 1 的分母不可以为 0,即x 3W0,解彳导:XW3,故B错误；X 3C,被开方数大于等于 0,即x- 2>Q解彳导:x>Z则x可以取2和3,故C正确；D,被开方数大于等于 0,即x-3>Q解彳导:x> x不能取2,故D错误。故选Co2. D 解析：. J'64 v J65炳， 8v J65 <9, . nv J65vn+1,，n=8,故选 D。3. D 解析：: y= /X

14、_5 + VT53x +3,，x 5 生 15 3x > Q，x=5, y=0+0+3=3 ,xy=5X3=15o 故选 D。4. B解析：二三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， a b c v 0 , a+b c > 0 J(a b c)2 +|a+b-c|=b+c-a+a+b-c=2b。故选 B。1一-一5.一 解析：由题息得，x 4>0且4x>Q解得x>4且x<441- x=4, y= -2,( x+y) y= (42) 2=- ° 故答案为 1。446. 一 JX 2解析：: J有意义，x 2>0,即 x>2,2 xv0,',X 2.原式=J?(x 2)2 =-尿 2 。x 27.解：原式=5 19+拒一1 1+2 72 =7+3 亚。8,解：(1) a+b