教与学 新教案九年级数学下册 28.2.2 坡度、方位角与解直角三角形（第2课时）素材 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级下册数学素材

1、锐角三角函数锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例 第 2 课时 坡度、方位角与解直角三角形 素材一 新课导入设计 情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣 情景导入 如图 28271，一架外国侦察机沿ed方向入侵我国领空，我空军战斗机沿ac方向与其平行飞行进行跟踪我机在a处与外机在b处的距离为 50 m，cab30，这时外机突然转向，以北偏西 45方向飞行，我机继续沿ac方向以 400 m/s 的速度飞行，外机在c处故意撞击我机，问外机由b到c的速度是多少？ 图 28271 说明与建议 说明：用学生比较熟悉的实际问题吸引他们的注意力，激发他们的

2、好奇心，体会数学来源于生活，并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求 建议：教师在新课导入的过程中，引导学生理解方位角的含义，帮助学生根据题意建立方位坐标，选择合适的边角关系 归纳导入 随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，2015 年为了提前做好防洪准备工作，某市正在长江边修建一防洪大坝，其横断面为梯形abcd，如图 28272，你能求出dc的长吗？ 图 28272 分析：(1)在 rtade中，你能利用解直角三角形的知识求出de的长吗？ (2)在 rtbcf中，你能利用解直角三角形的知识求出fc的长吗？ (3)dc可分为哪些线段长的和？ 说明与建议 说明： 通过解直角三角形可以求出de和f

3、c的长，从而求出dc的长度 建议：教师在新课引入时可以借助多媒体展示河堤的相关图片，边讲解边观看，最后落入到探究坡度、坡角等问题上 素材二 教材母题挖掘 教材母题第 76 页例 5 如图 28273，一艘海轮位于灯塔p的北偏东 65方向，距离灯塔 80 n mile 的a处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔p的南偏东 34方向上的b处这时，b处距离灯塔p有多远(结果取整数)? 图 28273 【模型建立】 根据方位角的概念，南北方向线与东西方向线一定垂直，常可以过目标点或观察点作南北方向线或东西方向线的平行线或垂线，构造直角三角形来解决问题 【变式变形】 1 临沂中考如图 28274，

4、 在某监测点b处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 15方向的a处，若渔船沿北偏西 75方向以 40 海里/时的速度航行，航行半小时后到达c处，在c处观测到b在c的北偏东 60方向上，则b，c之间的距离为(c) a20 海里 b10 3海里 c20 2海里 d30 海里 图 28274 图 28275 2苏州中考如图 28275，港口a在观测站o的正东方向，oa4 km，某船从港口a出发，沿北偏东 15方向航行一段距离后到达b处，此时从观测站o处测得该船位于北偏东 60方向上，则该船航行的距离(即ab的长)为(c) a4 km b2 3 km c2 2 km d.()31km 3邵阳中考如图 28

5、276，一艘观光游船从港口a处以北偏东 60的方向出港观光，航行80 海里至c处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号一艘在港口正东方向b处的海警船接到求救信号， 测得事故船在它的北偏东 37方向， 马上以 40 海里/时的速度前往救援，求海警船到达事故船c处所需的大约时间(温馨提示：sin530.8，cos530.6) 图 28276 28277 解：如图 28277，过点c作cdab，交ab的延长线于点d.由题意，得cad30， cbd53，ac80 海里， cd40 海里 在 rtcbd中， sin53cdcb， cbcdsin53400.850(海里)行驶时间为50401.25(时)

6、 答：海警船到达c处约需 1.25 小时 素材三 考情考向分析 命题角度 1 方位角与航海问题 解决此类问题，一般是根据方位角的定义构造直角三角形如本课素材二教材母题挖掘 命题角度 2 坡度问题 求斜坡的长、滑梯的长、电梯的长等问题，是近年中考的一个热点这类题目常需通过坡度和坡高，再应用勾股定理，求坡长 例 1 巴中中考如图 28278，一水库大坝的横断面为梯形abcd，坝顶bc宽 6 米，坝高 20米，斜坡ab的坡度i12.5，斜坡cd的坡角为 30，求坝底ad的长度(精确到 0.1 米，参考数据：21.414，31.732，提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比) 图 28278 答案

7、：坝底ad的长度约为 90.6 米 例 2 广安中考如图 28279，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长 400 米，高 8 米，背水坡的坡角为 45的防洪大堤(横断面为梯形abcd)急需加固 经调查论证， 防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石加固，并使上底加宽 2 米，加固后，背水坡ef的坡比i12. (1)求加固后坝底增加的宽度af的长； (2)求完成这项工程需要土石多少立方米 图 28279 答案：(1)10 米 (2)19200 立方米 素材四 教材习题答案 p74 练习 在rtabc中，c90，根据下列条件解直角三角形： (1)c30，b20； (2)b72，c14； (3

8、)b30，a7. 解： (1)c30，b20，a105. sina1053053，a48.19， b41.81. (2)sin72b14，b13.3148. cos72a14，a4.3262. b72，c90，a18. (3)cosbac7c，c2213. tanbbab7，b213. b30，a60. p76 练习 1 如图， 建筑物bc上有一旗杆ab， 从与bc相距 40 m 的d处观测旗杆顶部a的仰角为 50，观测旗杆底部b的仰角为 45，求旗杆的高度(结果保留小数点后一位) 解： 在rtbcd中，bdc45， bcdc40 m. 在rtacd中， acdctanadc40tan5047

9、.7(m) abacbc47.7407.7(m) 答：旗杆ab的高度约为 7.7 m. 2如图，沿ac方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工从ac上的一点b取abd140，bd520 m，d50.那么另一边开挖点e离d多远正好能使a，c，e三点在一直线上(结果保留小数点后一位)? 解： dbc1804040. 当a，c，e三点在一直线上时，bed180405090.在rtbed中，debd cos50334.2(m) 即另一边开挖点e离点d334.2 m，正好使a，c，e三点在一直线上 p77 练习 1如图，海中有一个小岛a，它周围 8 n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向

10、东航行，在b点测得小岛a在北偏东 60方向上， 航行 12 n mile到达d点， 这时测得小岛a在北偏东 30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 解： 过点a作ahbd交bd的延长线于h. 易得abd30，dah30， dababd30. adbd12 n mile. 在rtadh中，ahad cos3012326310.4(n mile)8(n mile) 故如果渔船不改变航向继续向东航行，不会触礁 2如图，拦水坝的横断面为梯形abcd，斜面坡度 i11.5 是指坡面的铅直高度af与水平宽度bf的比，斜面坡度 i13 是指de与ce的比根据图中的数据，求： (1)坡

11、角 和 的度数； (2)斜坡ab的长(结果保留小数点后一位) 解： (1)tan11.50.6667， 3341，tan130.3333，1826. (2)在rtafb中 ，sinafab， abafsin6sin334110.8(m) p77 习题 28.2 1在rtabc中，c90，根据下列条件解直角三角形： (1)c8，a30； (2)b7，a15； (3)a5，b12. 解：(1)a4，b43，b60. (2)a1.9，c7.2，b75. (3)c13，a2237，b6723. 2如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度bc10 m，b36，求中柱ad(d为底边中点)和上弦ab的长(结

12、果保留小数点后一位) 解： 在rtadb中，bd12bc12105(m)，adbdtan365tan363.6(m)abbd cos365 cos366.2(m) 3如图，某飞机于空中a处探测到目标c，此时飞行高度ac1200 m，从飞机上看地平面指挥台b的俯角 1631.求飞机a与指挥台b的距离(结果取整数) 解： 在rtabc中，sinbacab， ab1200sin16314221(m) 答：飞机a与指挥台b的距离约为 4221 m. 4从高出海平面 55 m 的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为 21，此时帆船距灯塔有多远(结果取整数)? 解： 设帆船离灯塔x m. x

13、55tan21143 (m) 答：帆船距灯塔约 143 m. 5如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是 5.5 m测得斜坡的倾斜角是24，求斜坡上相邻两树间的坡面距离(结果保留小数点后一位) 解： 设斜坡上相邻两树之间的坡面距离为 l m, cos245.5l，l5.5 cos246.0. 答：斜坡上相邻两树间坡面距离为 6.0 m. 6在rtabc中，c90. (1)已知a，c，写出解rtabc的过程； (2)已知a，a，写出解rtabc的过程； (3)已知a，c，写出解rtabc的过程 解：(1)b90a. sinaac，acsina. cosabc，bccosa. (2)

14、b90a. sinaac，casina. tanaab，batana. (3)b c2a2. sinaac， asin1(ac) b90a. 7如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损已知该金字塔的下底面是一个边长为 130 m 的正方形， 且每一个侧面与底面成 65角， 这座金字塔原来有多高(结果取整数)? 解： 设金字塔原来的高为 h m， tan65h12130，h65tan65139(m) 答：这个金字塔原来的高度约为 139 m. 8如图，一枚运载火箭从地面l处发射当火箭到达a点时，从位于地面r处的雷达站测得ar的距离是 6 km，仰角为 43；1 s后火箭到达b点

15、，此时测得仰角为 45.54.这枚火箭从a到b的平均速度是多少(结果取小数点后两位)? 解： 在rtalr中，sin43alar，alarsin436sin434.092(km) cos43rlar，rl6cos43， 在rtblr中，tan45.54blrl， blrl tan45.544.472(km) blal4.4724.0920.38(km)380(m)， 火箭从a到b的平均速度为 3801380(m/s) 答：这个火箭从a到b的平均速度是 380 m/s. 9为方便行人横过马路，打算修建一座高 5 m 的过街天桥已知天桥的斜面坡度为 11.5，计算斜坡ab的长度(结果取整数) 解：

16、 tan5bh11.5，bh7.5 m， ab9 m. 答：斜坡ab的长度约为 9 m. 10海中有一小岛p，在以p为圆心、半径为 162 n mile的圆形海域内有暗礁一轮船自西向东航行， 它在a处时测得小岛p位于北偏东 60方向上， 且a，p之间的距离为 32 n mile.若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明如果有危险，轮船自a处开始沿南偏东多少度的方向航行，才能安全通过这一海域？ 解：32sin3016(n mile)162(n mile)，若轮船继续向东航行，轮船有触礁的危险 1623222，sin4522，453015，901575， 轮船自a处开始至少沿

17、南偏东 75的方向航行，才能安全通过这一海域 11根据图中标出的百慕大三角的位置，计算百慕大三角的面积(结果取整数)(提示：它的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积) 解： 如图： 用a，b，c分别表示两个观测点和百慕大岛的位置过点c作水平线ef分别交过点a，b的铅垂线于e，f，则四边形abfe为直角梯形 在rtbcf中， fcbcsin5427200.8090 220048(km)， fbbccos5427200.5878 1598816(km) 在rtaec中， ecacsin6217000.8829 150093(km)， eaaccos6217000.4695 79815(k

18、m) sabcs梯形abfesaecsbfc 12(eafb)(ecfc)12eaec12fbfc 12(eafcfbec) 12(798.152200.481598.8161500.93) 2 078 012(km2) 答：百慕大三角的面积约为 2 078 012 km2. p84 复习题 28 1在rtabc中， c90，a2，c6，求 sina，cosa和 tana的值 解： a2，c6，b42， sina2613，cosa426223， tana24224. 2在abc中，c90，cos a32，ac43，求bc的长 解： cosaacab，abac cosa8. bc ab2ac28

19、2（4 3）24. 3求下列各式的值： (1)2cos45tan45； (2)3sin60tan602cos230. 解： (1)原式22210. (2)原式33232322323323. 4用计算器求下列各式的值： (1)cos7639sin1752； (2)sin5718tan2230； (3)tan836cos459； (4)tan1230sin15. 解： (1)0.5377；(2)0.4273； (3)7.2673；(4)0.0371. 5已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角a的度数： (1)cosa0.7651； (2)sina0.9343； (3)tana35.26； (4)

20、tana0.707. 解： (1) 40.08；(2) 69.12； (3) 88.38；(4) 35.26. 6等腰三角形的底角是 30，腰长为 23.求它的周长 解： 如图，设bc30，作adbc于点d， 则ab23， bdab cos 3023323, bc6， 故abc的周长为 643. 7从一艘船上测得海岸上高为 42 m 的灯塔顶部的仰角为 33时，船离海岸多远(结果取整数)? 解： 设船离海岸的距离为x m， 则 tan3342x，x42tan3365(m) 答：船离海岸的距离约为 65 m. 8如图，两建筑物的水平距离bc为 32.6 m，从a点测得d点的俯角 为 3512，测

21、得c点的俯角 为 4324，求这两座建筑物的高度(结果保留小数点后一位) 解： 因为 为 4324，所以acb4324. 又因为bc为 32.6 m， 根据 tanacbabbc， 即可计算出ab30.8 m. 过点d作deab于点e， 所以debc32.6 m， 再根据 为 3512，可知ade3512， 利用 tanadeaede， 即可计算出ae23.0 m. 所以cdabae7.8(m) 答：这两座建筑物的高度分别约为 30.8 m，7.8 m. 9某型号飞机的机翼形状如图所示根据图中数据计算ac，bd和ab的长度(结果保留小数点后两位) 解： 设过b的cd的垂线交cd的延长线于g，作

22、ahcg于h. 在rtdgb中，bg5.00 m，dbg30， bd5 cos305.77(m)， dg5tan302.887(m) 在rtahc中， ah5.00 m，cah45， ac527.07(m) chah5.00 m，cd3.40 m， dh1.60 mhg2.8871.601.29(m)，即ab长约为 1.29 m. 即ac，bd，ab的长度分别约为 7.07 m，5.77 m，1.29 m. 10如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 一般要满足 50 75.现有一架长 6 m 的梯子 (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一

23、位)? (2)当梯子底端距离墙面 2.4 m 时， 等于多少度(结果取整数)？此时人是否能够安全使用这架梯子？ 解： (1)sin75bc6， bc5.8 m. 使用这个梯子能安全攀到墙面的最大高度约为 5.8 m. (2) cos2.46，66. 5075，可以安全使用 11如图，折叠矩形abcd的一边ad，使点d落在bc边的点f处，已知折痕ae55 cm，且 tanefc34. (1)afb与fec有什么关系？ (2)求矩形abcd的周长 解： (1)相似四边形abcd是矩形， bcd90， ad沿ae折叠，点d落在bc边的点f处， afed90，fede. afbcfe90. afbba

24、f90， cfebaf，afbfec. (2)在rtefc中， tanefcecfc34， 设ec3x cm，则fc4x cm，deef ec2fc25x(cm)，abcd8x cm. afbfec， affeabfc，即af5x8x4x， af10 x cm.由折叠知adaf， ad10 x cm. 在rtade中，ad10 x cm，de5x cm，ae5 5 cm， 由勾股定理得ad2de2ae2， 即(10 x)2(5x)2(5 5)2，解这个方程得x11，x21(负数不合题意，舍去) ad10 cm，ab8 cm， 矩形abcd的周长为 2(abad)36 (cm) 12abcd中，

25、已知ab，bc及其夹角b(b是锐角)，能求出abcd的面积s吗？如果能，用ab，bc及其夹角b表示s. 解： 能过a作bc边垂线，垂足为h，在rtabh中，ahabsinb. sabcdbcahabbcsinb. 13已知圆的半径为r. (1)求这个圆的内接正n边形的周长和面积； (2)利用(1)的结果填写下表： 内接正n边形 正六 边形 正十二 边形 正二十四 边形 内接正n边形的周长 内接正n边形的面积 观察上表， 随着圆内接正多边形边数的增加， 正多边形的周长(面积)有怎样的变化趋势？与圆的周长(面积)进行比较，你能得出什么结论？ 解： (1)如图，ab为正n边形的一边，om为边心距 在

26、rtoam中， oar，aom180n， amrsin180n，omrcos180n. 设正n边形的边长为an，边心距为 rn，则an2am2rsin180n，rnrcos180n. 正n边形的周长为 nan2nrsin180n， 正n边形的面积为 n12anrnnr2sin180ncos180n或 nsoabn12oaobsin360n nr22sin360n. (2)正六边形、正十二边形和正二十四边形的周长分别为 6r，24rsin 15，48rsin 7.5，面积分别是332r2，3r2，12r2sin15. 随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长逐渐接近圆的周长 2r，面积逐渐接

27、近圆的面积r2. 14如图，在锐角abc中，探究asina，bsinb，csinc之间的关系(提示：分别作ab和bc边上的高) 解： 如图，过点a作bc边的高线ad. sinbadc，sincadb， 即ad csinbbsinc. 可得bsinbcsinc. 过点c作ceab于e， sinaceb，cebsina， sinbcea，ceasinb， 可得bsinaasinb， 即bsin basin a. 由得asinabsinbcsinc. 素材五 图书增值练习 当堂检测 1. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡ab的坡比是 1:3，堤坝高bc=50 m，则迎水坡面ab的长度是（ ） a100

28、m b1003 m c150 m d503 m 2. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米已知斜坡的坡角为 30，同一时刻，一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，则树的高度为（ ） a(6+3)米 b. 12 米 c. (42 3)米 d. 10 米 3. 如图，小明要测量河内小岛b到河边公路l的距离，在a点测得bad30，在c点测得bcd60，又测得ac50 米，则小岛b到公路l的距离为 米 4. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 18 cm，深为 30 cm，为方便残

29、疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为a，斜坡的起始点为c，现设计斜坡bc的坡度i=1:5，则ac的长度是 cm 5. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地a点出发，沿北偏东 60方向走了500 3 m 到达b点，然后再沿北偏西 30方向走了 500 m 到达目的地c点 （1）求a、c两点之间的距离； （2）确定目的地c在营地a的什么方向？ 参考答案 1a 2a 3253 421 0 5解：（1）过b点作bead， 如图，dab=abe=60 . 30+cba+abe=180 ，cba=90 ， 即abc为直角三角形. 由已知可得：bc=500 m，ab=5003 m， 由勾股定理可得：a

30、c2=bc2+ab2， 22500(500 3)1000(m)ac. （2）在 rtabc中，bc=500 m，ac=1000 m， cab=30 .dab=60 ，dac=30 . 即点c在点a的北偏东 30 的方向. 能力培优 专题一 利用解直角三角形测河宽与山高 1如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点a，在点a的对岸选取一个参照点c，测得cad30；小丽沿河岸向前走 30 m选取点b,并测得cbd60.请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮助小丽计算小河的宽度. 2在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（a处） ，测得湖西岸的山峰太婆尖（

31、c处）和湖东岸的山峰老君岭（d处）的仰角都是 45，游船向东航行 100 米后（b处） ，测得太婆尖、老君岭的仰角分别为 30、60试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？（31.732，结果精确到 1 米） 专题二 利用解直角三角形测坝宽与坡面距离 3如图，一段河坝的横断面为梯形abcd，试根据图中的数据，求出坝底宽ad(ice:ed，单位：m) 专题三 利用解直角三角形解决太阳能问题 4某市规划局计划在一坡角为 16的斜坡ab上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示已知支架ac与斜坡ab的夹角为 28，支架bdab于点b，且ac、bd的延长线均过o的圆心，ab12 m，o的半径为 1.5 m，求

32、雕塑最顶端到水平地面的垂直距离 （结果精确到 0.01 m） （参考数据：cos280.9，sin620.9，sin440.7，cos460.7） 【知识要点】 .解直角三角形的几种基本图形： 图形 1： tan3033axx， abda，bdada， tan60 xxa ， xax333， 2360sinax， xax3， 213xa ax23 . aax21313 . 图形 2： tan3033 xax， tan603 xax， aax21313 aax233133 . 图形 3： accdax， acbedex , badbda30, tan3033axx， tan603xxa, abb

33、da， aax21313 . aax21313 . x21bd21a . 【温馨提示】 .解直角三角形的基本思想是“化斜为直” ，在转化过程中，尽量保证已知度数的角的完整性. .当一个三角形是钝角三角形，且其钝角的补角是 30、45、60 度时，常常从该钝角顶点向对边作垂线构造“双直角三角形”. 【方法技巧】 .双直角三角形中，公共直角边是“桥梁” ，通过它建立起两直角三角形的联系. .如果条件中给出参考数据，结合原始数据，构造直角三角形.当计算过程中用到了参考数据，你的思路一定是正确的. 参考答案 1解：示意图如下： 连接ac，bc，过点c作cead于 e . 由题意得，acbcbecad=

34、603030， cadacb， bcab30. 在 rtbec中，cebcsin603023153（m）. 答:小河的宽度为 153m. 2解：设太婆尖高h1米，老君岭高h2米，依题意，有1122100tan30tan45100.tan45tan60hhhh， 解得150( 31)137h （米） ，2h50(33)237(米). 答：太婆尖的高度约为 137 米，老君岭的高度约为 237 米 . 3解：如图所示，过点b作bfad于f，可得矩形bcef， efbc4，bfce4 在 rtabf中，afb90，ab5，bf4， 由勾股定理可得22543af rtced中，12ceied， ed2ce248 adaffeed34815(m) 4解：过点o作水平地面的垂线，垂足为 e 在 rtaob中，cosoaboaab， 即 cos28oa12，oa121213.333cos280.9. bae16， oae281644. 在 rtaoe中，sinoaeoaoe， 即 sin44333.13oe， oe 333. 97 . 0333.13， 9.3331.510.83(m).