2015年中考数学考前100天复习第五单元四边形(四)

1、1 2015年考前100天中考数学复习第五单元四边形(四) 特殊的平行四边形 考点扫描 考点 1 矩形 矩形的定 义 有一个角是 的平行四边形叫做矩形. 矩形的性 质 (1)矩形具有平行四边形所有的性质 (2)矩形的四个角都是 ，对角线互相平分并且 (3)矩形既是一个轴对称图形，它有两条对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就 是 矩形的判 疋 (1)定义法 (2)有三个角是直角的四边形是矩形. (3) 的平行四边形是矩形. 考点 2 菱形 菱形的定 义 有一组 的平行四边形叫做菱形. 菱形的性 质 (1)菱形具有平行四边形所有的性质 (2)菱形的四条边 ，对角线互相 ，并且每条对角线平分一组

2、 对角. (3)菱形既是一个轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；又是中心对称图 形，它的对称中心就是 (4)菱形的面积等于对角线乘积的 菱形的判 (1)定义法. (2)四条边？ 的四边形是菱形. 2 疋 (3)对角线？ 的平行四边形是菱形 考点 3 正方形 正方形的定 义 有一组邻边？ ，并且有一个角是？ 的平行四边形叫做正方形 正方形的性 质 (1)正方形的四条边？ ，四个角都是？ ，对角线互相017 且 18 ，并且每一条对角线平分一组对角，具有矩形和菱形的所有性质 (2)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有O 19 条，对称中心是 对角线的交点. 正方形的判 疋 (1

3、)有一组邻边相等的 Q0 是正方形. (2 )有一个角是直角的 Q1 是正方形. (3)对角线(22 的四边形是正方形. 【易错提示】在判定矩形、菱形、正方形时，要注意明确是在“四边形”还是“平行四边形”的基础 上. 方法技巧 1. 牢固掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定定理，它们大多是从边 、角、对角线三个 方面来描述的，分类记忆，便于灵活应用 2. 适当进行动手操作训练，从实践中认识特殊平行四边形的轴对称性和中心对称性， 再进行相应 的证明和计算，也是正确解答综合性问题的有效途径 . 各个击破 命题点 1 矩形的性质与判定 例 1 (2014 巴中)如图，在四边形 ABCD 中，点

4、H 是边 BC 的中点，作射线 AH 在线段 AH 及其延长 线上分别取点 E,F，连接 BE,CF. (1)请你添加一个条件，使得 BEH CFH 你添加的条件是 _ ，并证明；3 在问题（1）中，当 BH 与 EH 满足什么关系时，四边形 BFCE 是矩形，请说明理由 【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当 EH=FH 或 BE/ CF 或/ EBHM FCH 时，都可以 证明 BEH CFH （2）由（1）可得出四边形 BFCE 是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出 BH=E时， 四边形 BFCE 是矩形 【解答】 方法归纳：矩形具有平行四边形的所有性质，

5、同时也具有其特殊的性质；判定矩形的方法是多样的， 可以先判定这个四边形是平行四边形，然后利用一内角为 90或对角线相等判定矩形. 题组训练 1. （2014 重庆 B 卷）如图，在矩形 ABC 冲，对角线 AC BD 相交于点 O, / ACB= 30 ，则/ AOB 的大 小为（） A.30 B.60 C.90 D.120 4 2. 在数学活动课上，老师要同学们判断自己的课桌是不是矩形，经过测量，小明说： “我的课桌是矩 形，我测量了对角线相等.”小华说：“我的课桌也是矩形，我测量了一组对角是直角.”小丽说：“那 我的课桌更是矩形，我测量了其中三个角都为直角 .”请问说法不正确的同学有（5

6、A.0 位 B.1 位 C.2 位 D.3 位 3. （2013 邵阳）如图所示，将 ABC 绕 AC 的中点 O 顺时针旋转 180 得到 CDA 添加一个条 件 _ ，使四边形 ABCD 为矩形. 4. （2014 泉州）已知：如图，在矩形 ABCD 中，点 E, F 分别在 AB, CD 边上，BE=DF 连接 CE AF.求 证：AF=CE. 命题点 2 菱形的性质与判定 例 2 （2014 莱芜）如图，已知 ABC 是等腰三角形，顶角/ BACa （ a 60 ），D 是 BC 边上的一点, 连接 AD,线段 AD 绕点 A 顺时针旋转a到 AE 过点 E 作 BC 的平行线，交 A

7、B 于点 F,连接 DE,BE,DF. （1）求证：BE=CD 若 ADL BC，试判断四边形 BDFE 的形状，并给出证明 【思路点拨】 根据等腰三角形及旋转的性质，利用 SASffi EABA DAC 进而得出结论; 先证 BE=BD=C,D 再证 EB=EF 贝 U BE=EF=BD 又 EF/ BD 即可得证四边形 BDFE 为菱形. 【解答】6 方法归纳：菱形的判定一般先判定为平行四边形，然后从内角、邻边或对角线这三个角度分析，也可 直接判定四条边相等 题组训练 1. （2014 宁波）菱形的两条对角线长分别是 6 和 8,则此菱形的边长是（） 2. （2014 重庆 A 卷）如图，

8、菱形 ABCD 中, Z A=60 , BD=7 则菱形 ABCD 勺周长为 命题点 3 正方形的性质与判定 A 吐 BC,对角线 BD 平分Z ABC P 是 BD 上一点，过点 P 作 PMLAD PN!CD 垂足分别为 M N.A.10 B.8 C.6 D.5 3. （2013 常州）如图，在 ABC中, AB=AC/ B=60,Z FAC Z ABC 的两个外角，AD 平分 Z FAC CD 平分Z ECA 求证：四边形 （2013 南京）如图，在四边形 ABCD7 （1）求证：/ ADB=Z CDB 若/ ADC= 90,求证：四边形 MPN 是正方形. 【思路点拨】（1） 根据角平

9、分线的性质和全等三角形的判定方法证明厶 性质即可得到/ ADBM CDB 因为/ ADC=90，由 中的条件可得四边形 MPN 是矩形，由角平分线的性质可得出 PMh PN 再 根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形 MPN 是正方形. 【解答】 方法归纳：正方形的性质集矩形和菱形的性质于一体；在判定正方形的过程中，通常 是先证明此四 边形为矩形，再去证明有一组邻边相等或者对角线互相垂直； 或先证明其为菱形，再证有一个角是直 角或者对角线相等. 题组训练 1. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 勺顶点 O B 的坐标分别是（0，0），（2，0），贝师点 C ABDA CBD 由全等

10、三角形的 8 的坐标是（） A.（1 ，1） B.（-1 ，-1） C.（1 ，-1） D.（-1 ，1）9 2. （2014 株洲）已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从 AB=BC/ ABC=90，AC=BDACLBD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的 是（） A.选 B. 选 C. 选 D. 选 3. （2014 泸州）如图，正方形 ABCD 中, E、F 分别为 BC CD 上的点，且 AEL BF,垂足为 G 求证： AE=BF. 整合训练 第 1 课时基础训练 1. （2014 珠海）边长为 3 cm 的菱形的周长是（

11、） A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.15 cm 2. （2013 成都）如图，将矩形 ABCDft 对角线 BD 折叠，使点 C 和点 C 重合，若 AB=2 则C D 的长 10 为（） A.1 B.2 C.3 D.4 11 3. （2014 福州）如图，在正方形 ABCD 勺外侧，作等边三角形 ADEACBE 相交于点 F,则/BFC 为（） 5. （2014 玉林）下列命题是假命题的是 6. （2013 菏泽）如图，把一个长方形的纸片按图示对折两次, 120 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为 （） A.45 B.55 4. （2014 丽水） 如图， 小红在作线段

12、 AB 的垂直平分线时, 是这样操作的：分别以点 A, B 为圆心，大 于线段 AB 长度的一半的长为半径画弧，相交于 点 C, D, 则直线 CD 即为所求.连接 AC, BC AD, BD 根据她的作图方法可知四边形 ADBC 一定是（） A.矩形 B. 菱形 C. D. 不能确定 A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的四边形是菱形 D. 对角线垂直的平行四边形是菱形 然后剪下一部分，为了得到一个钝角为 正方形 12 7. 如图，已知菱形 ABCD 其顶点 A, B 在数轴上对应的数分别为A.15。或 30 B. 30 或 45 C.45 D

13、.30 。或 60 或 60 O 13 8. （2014 衡阳）如图，在矩形 ABCD 中，/ BOC=120 , AB=5 贝 U BD 的长为 . 9. （2014 淄博）已知口 ABCD 对角线 AC BD 相交于点 O,请你添加一个适当的条件，使 ABCD 成为 一个菱形.你添加的条件是 _ . _ 10. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB/ DC AB=DC 在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成 11. （2014 苏州）已知正方形 ABCD 勺对角线 AC= 2，则正方形 ABCD 勺周长为 . 12. （2013 临沂）如图，菱形 ABCD 中 AB=4 / B=6

14、0 , AE BC,AF 丄 CD 垂足分别为 E,F，连接 EF, 则厶 AEF 的面积是 13. （2013 广州）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 与 BD 相交于 O, AB=5 AO=4 求 BD 的长. 为矩形，只需再加上一个条件是 ) 厂 B 14 14. （2014 牡丹江一模）如图，正方形 ABCD 勺边长为 4,点 E 是正方形边上的点，AE=5 BF 丄 AE 垂15 足为点 F,求 BF 的长. 15. （2013 宜昌）如图，点 E, F 分别是锐角/ A 两边上的点，AE=AF 分别以点 E, F 为圆心，以 AE （1）请你判断所画四边形的形状，并说明

15、理由; 连接 EF，若 AE=8 厘米，/ A=60，求线段 EF 的长. 16. （2014 枣庄）如图，四边形 ABCD 勺对角线 AC BD 交于点 O,已知 O 是 AC 的中点，AE=CF DF/ BE. 的长为半径画弧，两弧相交于点 D, C 16 (1)求证： BOEA DOF17 若 ODAC,则四边形 ABC什么特殊四边形？请证明你的结论 第 2 课时能力训练 ABCD 中，对角线 AC BD 相交于点 O, H 为 AD 边的中点，菱形 ABCD 的周长为 28,则 OH 的长等于（ 1. （2014 毕节）如图所示，菱A.3.5 B.4 C.7 D.14 2.如图，在 A

16、BC 中, AC=BC 点 E 分别是边 AB AC 的中点，将 ADE 绕点 E 旋转 180 得厶 CFE 则四边形 ADCF 一定是（） A.矩形 B. 菱形 平行四边形 3. （2014 聊城）如图，在矩形 ABC 冲，边 AB 的长为 3,点 F 分别在 AD, BC 上,连接 BE DF, EF, BD,若四边形 BEDF 是菱形，且 EF=AE+FC 则边 BC 的长为（ C. 18 4. （2014 南京）如图，在矩形 AOBC 中，点 A 的坐标是（-2 , 1），点 C 的纵坐标是 4,则 B C 两点的 坐标分别是（）A.2 .3 B.3 D. C.6 19 5. （20

17、14 资阳）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上的一点，且 AE=3 点 Q 为对角线 AC 上的动点，则 BEQ 周长的最小值为 6. （2014 十堰）如图， 在 ABC 中,点 D 是 BC 的中点， 点 E、F 分别在线段 AD 及其延长线上， 且 DE=DF 给出下列条件：BE!EC;BF/CEAB=AC 从中选择一个条件使四边形 BECF 是菱形，你认为这 7. （2014 上海）如图，已知在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上, BE= 2CE 将矩形沿着过点 E 的直线翻 折后，点 C、D 分别落在边 BC 下方的点 C、D 处，且点 C、D、B

18、 在同一条直线上，折痕与边 AD 交于点 F, D F 与 BE 交于点 G.设 A 吐 t，那么 EFG 勺周长为 （ 用含 t 的代数式表示）. 个条件是 （ _ 只填写序号）. 20 8. （2013 聊城）如图，在四边 形 ABCD 中, / A=Z BCD=90，BC=CD CE!AD 垂足为 E.求证：AE=CE.四边形 AFCE 是平行四边形, 21 参考答案 考点解读 直角直角相等对角线的交点 对角线相等邻边相等相等 垂直平分 对角线的交点 一半 ？相等？互相垂直 ？相等？直角？相等 ?直角 17 垂直平分 相等 四 20 矩形 Q菱形 22 互相垂直平分且相等 各个击破 例

19、1 (1)添加条件：BE/CF(答案不唯一). 证明： BE/ CF,AZ EBHM HCF. 点 H 是边 BC 的中点，二 BH=CH. 又/ BHE CHF BEHm CFH(ASA). 当 BH=EH 时，四边形 BFCE 是矩形.理由如下： BEHm CFH 二 BH=CH EH=FH 四边形 BFCE 是平行四边形. 又 BH=EH 二 EF=BC 四边形 BFCE 是矩形 题组训练 1. B 2. C 3. / B=90 或/ BAC# BCA=90 4. 证明：四边形 ABCD 是矩形， DC/ AB, DC=AB 二 CF/ AE. 四边形 ABCD 是平行四边形. 22 D

20、F=BE： CF=AE,四边形 ABCD 是平行四边形. 23 AF=CE. 例 2 证明：由题知 AE= AD,A 吐 AC,/BAC=/ EAD= a . vZ BAC=Z BAD/ DAC, / EAD=Z BAD/ EAB, Z EAB=Z DACEABA DAC(SAS), BE= CD. 四边形 BDFE 是菱形 v AB=AC AD 丄 BC, BD=CD Z C=Z DBF, BE=BD=CD. 由厶 EABA DAC 得Z EBFZ C, Z EBF=/ DBF. v EF/ BC, DBFZ EFB Z EBF=/ EFB EB=EF EF=BD 四边形 BDFE 是平行四

21、边形. 又 v BE=BD 四边形 BDFE 是菱形. 题组训练 1. D 2. 28 3. 证明：vZ B=60 , AB=AC ABC 为等边三角形， AB=BC Z BACZ ACB=60 , Z FACZ ACE=120 . 又v AD 平分Z FAC CD 平分Z ECA 四边形 ABCD 是平行四边形. 24 Z FADZ ECD=60 AD/ BC, CD/ AB,25 AB=BC：四边形 ABCD 是菱形. 例 3 证明：(1) T BD 平分/ ABC / ABD- / CBD. 又 B 心 BC, BD= BD ABDA CBD / ADB=Z CDB. (2) T PML

22、 AD, PNL CD / PM / PND= 90 . 又T/ ADG 90,二四边形 MPN 是矩形. T/ ADB=/ CDB PML AD PN! CD PM= PN, 四边形 MPN 是正方形. 题组训练 1. C 2. B 3.证明：T四边形 ABCD 是正方形, AB=BC / ABC/ BCF=90 , / BAE/ AEB=90 . 又 T AEl BF,垂足为 G/ CBF+/ AEB=90 , / BAE/ CBF. 在厶 ABE 与 BCF 中， BAE 二 CBF, AB 二BC, |/ABE 二 BCF , ABEA BCF(ASA) / AE=BF. 整合集训 第 1 课时基础训练 1. C 2. B 3. C 4. B 5. C 6. D 7. 5 8. 10 9. AB=B(或 ACl BD 等 10. / A=90 11. 4 12. 3 3 v OA=OC :四边形 ABCD 是平行四边形. 26 13. T四边形 ABCD 是菱形,27 OAL OB. / AB=5