1矢量代数与位置矢量

1、1矢量分析矢量分析是研究电磁场和其它物理场必不可少的数学工具,它包括矢量代数、正交坐标系以及场函数的微积分运算等内容.1.1 矢量代数与位置矢量1.1.1 矢量和标量标量：仅有大小的量,用英文字母或希腊字母表示,如 f、g、 等.矢量：既有大小又有方向的量,用黑体英文字母或加上箭头的英文字母表示,如A或A、a或a等,印刷中采用A或a,在书写中采用 A或a.A的模记作| A|或A.直角坐标中A及其各分矢量图矢量可用带箭头的有向线段形象地表示.矢 量的起点、终点、大小,矢量的平移.在右手直角坐标系中,A起于坐标原点,它 的三个坐标分量(即A在x、v、z轴上的投影) 分别为Ax、Ay、AzA=exA

2、x+eyAy+ezAz(1.1.1)式中：ex、ey、ez分别为沿坐标x、y、z方向的 单位矢量.它的模A = ( A2x+ A2y + A2z)1/2(1.1.2)1.1.2 矢量运算1.矢量A和B相加定义为两矢量的和,用新矢量 A+B表示.用的平行四边形法那么或首尾相接法那么进行A和B相减定义为两矢量的差,用新矢量 AB表示.写为A B=A + ( B),按B反向再与A相加矢量的加(减)运算法那么:交换律结合律A+B-C=A+(B-C)=(A+B)-C(1.1.4)(a)两矢量相加两矢量相减假设A = exAx + eyAy + ezAzB = exBx + eyBy + ezBzAB =

3、 (AxBx)ex + (AyBy)e y+ (Az Bz) ez(1.1.5)AB = (Ax Bx)2+ (AyBy)2+ (Az Bz) 2 1/2(1.1.6)f与A相乘图2 .标量与矢量A的乘积定义为一新矢量A,它是A的倍.就 0和? 0的两种情况画出A,有?A =fAx ex + fAyey + fAzez(1.1.7)3 .两矢量A和B的标量积定义为标量A B,又称为点积.其量值为两矢量的模与两矢量间夹角(0 180 )的余弦之积A B =ABcos (1.1.8)特点：(1)两矢量的点积为一标量,其正、负取决于是锐角还是钝角；(2)点积遵从交换律,即A B BA；(3) A与B

4、相互垂直,A B 0 ,反之亦然-两矢量正交的充要条件；(4) A自身的点积A A A工将两矢量的各分量逐项点乘. 考虑单位矢量的在直角坐标下A、B的点积运算: 点积关系eyeyeyey ezez ez 1ez ex 0可得A B= Ax Bx+ AyBy + AzBz(1.1.9)(1.1.(10)(1.1.(11)A B角正方向A B的右手定那么图矢量的点积遵循分配率ABC A C B C4. A和B的矢量积表示为A B,又称为叉积,定义式A B= ABsinen式中,为A与B间的夹角,q是A B的单位矢量,它与A、B相垂直,en的方向由右手定那么确定特点：(1)两矢量的叉积是一i个矢量；

5、(2)叉积不遵从交换率,应是 A B = (B A);(3) A、B 相平行(=0 或 180 )时,A B=0, 反之亦然两矢量平行的充要条件；(4) A自身的叉积为零,即 A A=0.在直角坐标下A、B的叉积运算,应将两矢量的各分矢量逐项叉乘.考虑到单位矢量的叉乘关系ex ex =eyey =ez 金=0ex ey =ez(eyex=ez )ey ez =ex(金ey =ex )ez ex =ey(exez=ey )推导可得A B =ex ( AyBz AzBy)+ ey (Az Bx Ax Bz)+ ez (AxBy Ay Bx)AxBxeyAyByezAzBz(1.1.12)A与B +

6、 C的叉积遵循分配率(1.1.13)A (B+C)=A B+A C5.三矢量的乘积(三重积)有两种：(1)标量三重积ABC B C A CAB(1.1.14)标量三重积可写成易于记忆的行列式形式AxBxCxByBzCy Cz(1.1.15)(2)矢量三重积.有如下矢量恒等式ABC B A C CAB(1.1.16)设P点的坐标为(x,y,z)位置矢量与相对位置矢量图其模(1.1.(18)(1.1.(19)(1.1.(20)r = (x2 + y2+ z2 )1/2对于另一点P (x ,y ,z )的位置矢量r ,有r = x ex + yey + z ez r = (x2 + y 2 + z2

7、 )1/22 .相对位置矢量可表示空间任意两点之间的位置关系. R是以P点为起点、P点为终点的空间矢量,它的模表示P点相对于P点的距离,它的方向表示P点相对于P点所处的方位,那么称R为P点相对于P点的相对位置矢量.R及模R应分别为R = r r = (x x ) ex+ (y y ) ey+( z z ) ez(1.1.21)(1.1.22)R = |r r |= (x x )2 + (y y )2+( z z)2 1/2位置矢量与相对位置矢量图假设考虑P点相对于P点的相对位置矢量 R ,那么R的方向是由P点指向P点,有R= R任何真实的物理场,都有其产生的根源即 所谓的场源,例如静止电荷是静

8、电场的场源, 恒定电流是恒定磁场的场源,等等.场源和它 所产生的物理场总是与空间概念联系在一起 的.以后我们将要研究的电磁场和它的源之间存在的关系,其中场源所在位置的点和需要确定场量如电场强度矢量和磁场强度矢量的点需要在名称和符号上加以明确的区分.场源所在位置的点简称 源点,用加撇的源点坐标x , y , z或r表示；需要确 定场量的点简称 场点,用不带撇的场点坐标x, y, z或r表示.于是,R 或r r 就具有了场点相对于源点的相对位置矢量的特殊含义.至于空间普通两点的相对位置矢量,可通过加双下标予以区别,如将于Pl点的相对位置矢量记为R其方向是由Pi点指向P2点.3 .相对坐标函数与相对位置矢量有关的一类函数,其变量为场点与源点