勾股定理几种证明方法

1、勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）aaba 3bbbaaccbabba做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即2 1 b 4 ab2【证法2】4 ab整理得a2 b2二 c2（邹元治证明）cccc以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积ab等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状， 使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C G D三点在一条直线上.v Rt HAE 坐 R

2、t EBF, / AHE = / BEFv / AEH + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 90o. / HEF = 180o 90o= 90o.四边形EFGH是一个边长为c的 正方形.它的面积等于c2.v Rt GDH坐 Rt HAE, / HGD = / EHAv / HGD + / GHD = 98, / EHA + / GHD = 98.又v / GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90o= 180o. ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于2 1（a+b 丫 =4 汉一ab+c2222 2. a b-c .【证法3】（赵爽证明）以a

3、、b为直角边（b>a）,以c为斜B边作四个全等的直角三角形，则每个直角1 ab三角形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状v Rt DAH坐 Rt ABE, / HDA = / EABv / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 900, ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.v EF = FG =GH =HE = b a ,/ HEF = 900.2 EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于 ba .%2ab+（ba）2"2a2 b2二 c2【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为

4、斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2 .把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、e、B三点在一条直线上v Rt EAD 坐 Rt CBE, / ADE = / BECv / AED + / ADE = 90o, / AED + / BEC = 90o. / DEC = 180o 90o= 90o. DEC是 一个等腰直角三角形,c1 2c它的面积等于2.又 v / DAE = 90o,/ EBC = 90o, AD/ BC ABCD是 一个直角梯形，它的面积等于111_（a+b 丫 = 2H_ab+_c2 222 .f（a+bfa2 b2【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等

5、的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 们拼成如图那样的一个多边形，使 D E、F在一条直线上. 点P八、v D、E、F在一条直线上，且Rt GEF幻Rt EBD,a、b，斜边长为c.把它 过C作AC的延长线交DF于/ EGF = / BED/ EGF + / GEF = 90°,/ BED + / GEF = 90°, / BEG =18(090o= 90o. 又T AB = BE = EG = GA = c , ABEG是一个边长为c的正方形.G(a bH / ABC + / CBE = 90o.v Rt ABC 坐 Rt EBD, / ABC = / EBD/ EB

6、D + / CBE = 90o.即/ CBD= 9(0.又 v / BDE = 90o,Z BCP = 90o,BC = BD = a . BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCB的面积为S,则c2 =S 2 ab2a2 b2二 c2，斜边长为 C三点在一条【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b （b>a）c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、EJrNlbapb直线上.过点Q作QP/ BC交AC于点P. 过点B作BML PQ垂足为M；再过点 F作FNL PQ垂足为N

7、v / BCA = 90o , QP/ BC / MPC = 90o ,v BM 丄 PQ / BMP = 90o, BCPM是一个矩形，即/ MBC = 90qv / QBM + / MBA = / QBA = 90o,/ ABC + / MBA = / MBC = 90o, / QBM : 又 v / BMP =/ ABC=90o,Z BCA = 90o, BQ = BA = c , Rt BMQ坐 Rt BCA 同理可证Rt QNF坐Rt AEF从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H C B三点

8、在一条直线上，连结GBF CD 过 C作 CL± DE 交AB于点M交DE于点 L.v AF = AC , AB = AD,/FAB = / GAD FAB 刍 GAD1 2av FAB的面积等于2, GAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，矩形ADLM勺面积二a2. 同理可证，矩形 MLEE的面积二b2.v正方形ADEB勺面积=矩形ADLM勺面积+矩形MLEB勺面积 c2=a2+b2，即 a2+b2=c2.【证法8】(杨作玫证明)做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b (b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作A

9、F丄AC AF交GT 于F, AF交DT于R.过B作BP丄AF,垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为DaHP453cQ79 c 28 Rc 61 cE, DE交 AF于 Hv / BAD = 90o,Z PAC = 90o, / DAH = / BAC又 v / DHA = 90o,Z BCA = 90o, AD = AB = c , Rt DHA坐 Rt BCA DH = BC = a , AH = AC = b.由作法可知，PBCA是一个矩形, 所以 Rt APB 坐 Rt BCA 即 PB = CA = b , AP= a,从而 PH = b a.v Rt DGT 坐 Rt B

10、CA , Rt DHA坐 Rt BCA Rt DGT坐 Rt DHA. DH = DG = a，/ GDT = / HDA. 又 v / DGT = 90o,Z DHF = 90o,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90o, DGFH是一个边长为a的正方形. GF = FH = a . TF丄AF, TF = GT GF = b a . TFPB是一个直角梯形，上底 TF=b-a,下底BP= b,高FP=a + (b a)用数字表示面积的编号(如图)，则以c为边长的正方形的面积为2c-SiS2S3S4S5.S8 + S3 + S4=1 b 亠b 一

11、a 丨 a 亠b - a_ b2 一1 ab2 = 2 ,2S3S4 二 bab - Sg 2把代入，得2 2cSi S2 b Si2=b S2 S9 =2b - S8-S8S8S9b2 a2.S5 - S8' S9用数字表示/ BHT = 90o,qa2 b2 =c2【证法9(李锐证明)设直角三角形两直角边的长分别为 a、b(b>a)，斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A E、G三点在一条直线上面积的编号（如图）.v / TBE = / ABH = 900, / TBH = / ABE又 v / BTH = / BEA = 900,BT

12、 = BE = b , Rt HBT 坐 Rt ABE HT = AE = a . GH = GT HT = b a.又 v / GHF + / BHT = 90o,/ DBC + / BHT = / TBH +v DB = EB ED = b a,/ HGF = / BDC = 900, Rt HGF坐 Rt BDC 即 S7 =S2.过 Q作 QML AG 垂足是 M 由/BAQ = / BEA = 900,可知 / ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c，所以 Rt ABE 幻 Rt QAM.又 Rt HBT 幻Rt ABE 所以 Rt HBT 幻 Rt QAM.即 S S5.

13、由 Rt ABE 坐 Rt QAM 又得 QM = AE = a，/ AQM = / BAEv / AQM + / FQM = 90o,Z BAE + / CAR = 90o,Z AQM = / BAE / FQM = / CAR又v/ QMF = / ARC = 900, QM = AR = a, Rt QMF坐 Rt ARC 即 S S6.2 2 2c2= S1S2S3S4S5a2二 S1S6 b2二 S3 S,S8又vS7 = S2S8 = S5S4 = S6, , , a2 b2 =SiS6S3S,S8=S1S4S3S2S52 =c即 a2 +b2 =c2.【证法10】（利用反证法证明

14、）如图，在Rt A ABC中，设直角边AG BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过 点C作CDL AB垂足是D假设a2 bc2，即假设 AC2 BCAB2，则由AB2 二 AB AB 二 AB AD BD =AB 4 AD AB * BD可知 AC2 式 ABAD，或者 BC2 式 ABBD.即 AD： AO AC AB 或者 BD： BO BC AB在 A ADC和 A ACB中,v / A = / A,若 AD: AO AC AB/ ADCZ ACB 在 A CDB和 A ACB中, v Z B = Z B,若 BD BC BC AB,则Z CDBZ ACB又v Z ACB = 90

15、o, Z AD字90o,Z CD字90o.这与作法CDLAB矛盾.所以，AC2 BC2 = AB2的假设不能成立. a2+b2=c2.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为2 2 2（a+b"a +b +2曲；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，贝卩正方形 ABCD勺面积为(a + b f =4 沃】ab +c22=2ab + c2.a2 b2 2ab =2ab c2 a2 +b2 =c2.使E、Bc5bACbac7E b D H

16、a Ma34cG2a【证法11】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为 b的正方形（b>a）,把它们拼成如图所示形状， 示面积的编号（如图）.在EH = b上截取ED = a，连结DA DC； 贝卩AD = c .v EM = EH + HM = b + a , ED = a DM = EM-ED = b a a = b .又v / CMD = 90o； CM = a, / AED = 90o, AE = b , Rt AED 坐 Rt DMC / EAD = / MDC DC = AD = c .v / ADE + / ADC+Z MDC =180,a、H、M三点在一条直线上.用数字表Z ADE + Z MDC =Z ADE + Z EAD = 90o,Z ADC = 90o.作AB/ DC CB/ DA则ABCD一个边长为c的正方形.v Z BAF + Z FAD = Z DAE + Z FAD = 90o, Z BAF=/ DAE连结FB,在 ABF和 ADE中，v AB =AD =