圆锥曲线设而不求法典型试题剪辑

1、圆锥曲线设而不求法典型试题剪辑例1,弧ADB为半圆，AB为直径，。为半圆的圆心，且 OD垂直于AB , Q为半径OD的中点，已知 AB长为4, 曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且始终保持/PA/+/PB/的值不变。过点 D的直线与曲线 C交于不同的两点M、N,求三角形OMN面积的最大值。2例2:已知双曲线x2-y2/2=1,过点M(1,1)作直线L,使L与已知双曲线交于 Qi、Q2两点，且点 M是线段Q1Q2的中 点，问：这样的直线是否存在？若存在，求出 L的方程；若不存在，说明理由。解：假设存在满足题意的直线L,设Qi(Xi,Yi), Q2(X2,Y2)代人已知双曲线的方程，得xi2- y

2、i2/2=l，x22-y22/2=1-，得(x2-xi)(x2+xi)-(y 2-yi)(y2+yi)/2=0。当xi=x2时，直线L的方程为x=i,此时L与双曲线只有一个交点(i,0)不满足题意;当 xi 欢2 时，有(y2-yi)/(x2-xi)=2(x2+xi)/(y2+yi)=2.故直线L的方程为y-i=2(x-i)检验：由 y-i=2(x-i) , x2-y2/2=i,得 2x2-4x+3=0，其判别式=-8 <0,此时L与双曲线无交点。综上，不存在满足题意的直线 例3,已知，椭圆C以过点A (i, 3),两个焦点为(i, 0) (i, 0)。2(1)(2)求椭圆C的方程；AE

3、的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值,E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线 并求出这个定值。(I)解 由题意，c=i,可设椭圆方程为因为A在椭圆上，所以x2所以椭圆方程为一4ii b22L i.3i 9 4b2b22y4b2i,解得b2,23 人，=3, b = 一(舍去)。4(II)证明设直线AE方程：得yk(xi),代入24/223(3+4k2) x +4k(3 2k)x 4( 2k)2i2 0设 E ( xe , Ye ), F ( xf , Yf3,一-)在椭圆上,所以xE3 o4(2 k)2 123 4k2'yEkxE又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，

4、在上式中以4(2 k)2 123 4k2所以直线EF的斜率kEF 注庄 上土一生)一2k 1xF xExF xE2即直线EF的斜率为定值,一 1其值为1。22xa4,已知直线x 2y 2 0经过椭圆C:和椭圆C上位于x轴上方的动点，直线,(1)求椭圆C的方程；(2)求线段MN的长度的最小值;2AS, BS与直线10八，、l : x 分别交于M , N两点凸34 1(a b 0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B ,点S b2解 方法一 (1)由已知得，椭圆 C的左顶点为A( 2,0),上顶点为D(0,1), a 2,b 1故椭圆C的方程为(2)直线AS的斜率从而M (一, 310 16k

5、2x 2.1 y 1k显然存在，且k 0,y k(x 2)故可设直线AS的方程为y k(x 2),设 S(x1,y)贝U( 2),x2x416k22 得(1y2 1224 24k )x 16k x-216k4 0,即S(2 8k24k2 ,11 (x4k1031 4k28k22 ,从而y14k24k1 4k20,当且仅当4k竺f 又 B(2,0)4k| MN |16k2)得10313k10Nq，1 一)故|MN | 3k16k13 3k3 3k16k3工，即13k2 16k 1 3 3k1,一时等号成立41k -时，线段MN的长度取最小值 43例5.已知点OA,OB满足x2, y2) (x1x

6、2 0)是抛物线 y22 px( p 0)上的两个动点,O是坐标原点，向量22.设圆C的万程为x y(xi x?)x (yi 幻、00(1)证明线段AB是圆C的直径；(2)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为 生5时，求p的值口22OA OB,OA2 2成员 OB2 OA2 2OA OB OB 整理得：OA OB解析：(I)证明1:，xi x2yi y20设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点 即(x xi)(x x2) (y yi)(y y 0 整理得：x2 y2 (xi x2)x (yi y2)y 0，则故线段AB是圆证明2:尚同 向 可,(OA OB)2 (OA OB

7、)OA2 2OA OBXi X2yi y200.(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即 y一y2 y_y_i(x xi, x x2)X X2 x xi去分母得：(X Xi)(x X2) (y yi)(y y) 0点(xi, yi),(xi, y2),( X2, yi)(x2, y?)满足上方程，展开并将(i)代入得：22X y(Xi X2)x (yi y)1 0故线段AB是圆证明3:'OA OB|, 7、Oa2 21曷 OB2 Oa2 20A OB Ob 整理得：OA OBOB)2OB)2xi x2yi y00(i)以线段AB为直径的圆的方程为(xxix2)2(yYiy2 2

8、i22) Z(XiX2)(yiy2)展开并将(i)代入得：22X y (Xi X2)x (yi y2)y 0故线段AB是圆C的直径(II)解法i：设圆xix2C的圆心为C(x,y),则%x22yi y222pxi,y2222yi y22 Px?(p 0)4P2X2yi y2X X2yi y222yi y25, Xi X2yi y20,XiX 2X24p2，yi4p2 i4py2(yi22 y22yiy2y2 2y1y2)- 4pi 22(y2 2p2)p所以圆心的轨迹方程为2PX 2 p设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则d IX 2y| d .5I(y p)2i 22I 一(y2 2p2

9、) 2y| p5p2 I当y=p时,d有最小值 上,由题设得 P 、.55p 2.解法2:设圆C的圆心为C(x,y),则yI yiXiX2Xi X22yi y2222pXi,y22 pX2(p22yi y20)y2 2py 2 p2 |2.55又因XiX24p2yi y20Xi X2yi y2, Xi X2yi y2X2yi y222yi y24p20, yi y2X24p2i ,2(yi4p2 y2i /2(yi4py222yly2)第pX 2p2i 22一(y 2p ) p所以圆心的轨迹方程为设直线X-2y+m=0到直线X-2y=0的距离为2 .5皿，则5m 2因为 X-2y+2=0 与 y2pX 2 p2无公共点所以当X-2y-2=0与y222.5pX 2 p仅有一个公共点时，该点到直线X-2y=0的距离最小值为X 2y 2 0| I(2)y2 px 2p2 ”(3)将(2)代入(3)得 y2 2py 2p2 2p 02_2_|( 4p 4(2 p 2p) 01P 0p 2.解法3:设圆C的圆心为C(x,y),则XiX22yiy22圆心C到直线X-2y=0的距离为d,则XiX2I 2(yiy2)IXlX2、.522pXi,y22 PX2(p 0)22yi y2又因