定积分及其应用练习-带详细答案

1、定积分及其应用练习带详细答 案定积分及其应用题一题面：求由曲线y (x 2)2与x轴，直线y 4 x所围成的平 面图形的面积.答案：32.变式训练一题面：x+2 -2<x<0 ,函数f(x)=Jt 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积2cos x 0<x<2为()A.2B. 2C. 3D. 4答案：D.详解：画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与 x轴所围成的封闭图形的-ri-r、r1 冗-_.九 一面积为 2>2>2+ 202cos xdx= 2+ 2sin xl2。： 4.史式训练二题面:由直线y=2x及曲线y=3 x2围成的封闭图形的面积为()32 D

2、.JA. 2v3B. 9-2f3c.35答案:详解:注意到直线v= 2x与曲线y= 3x2的交点A, B的坐标分别是(3, 6), (1,2),因此结合图形可知，由直线 v= 2x与曲线y= 3-x2围成的封闭图 形的面积为 1 (3x22x)dx= 3x-1x3-x2=3X11M312 Q333一 33X -3 -1X 3 3 -3 2=32,选 D.33题二题面：如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取 一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为 ()1C61D7题面:函数f(x) = sin(x+小)的导函数y=f' (x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A, C为

3、图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点.若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 ABC内的概率为答案:工4.详解:、r ,一、f r,冗Tt ()设 A(x0,0),则 xo+ Q，；x0=2 ；一，2兀又y=cos(wx+ 的周期为1,|AC| =。C2(b tt , 0.依题意曲线段ABC与x轴围成的面积为-cdcos(cl)x+ dx= 2. 九._冗 |AC| = , |yB|=，'- SABC = 2.满足条件的概率为4变式训练二 题面：（2012?福建）如图所示，在边长为1的正方 形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴 影部分的概率为（）A. 4 B.后

4、 C.才 D.不答案：C.详解：根据题意，正方形 OABC的面积为1M=1, 而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为/ （F -x） dx= （常万一孑）|01=|, 则正方形OABC中任取一点P,点P取自阴1影部分的概率为1二;1 b z故选C.金题精讲 题一 题面:（识图求积分，二星）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积 为（）.A .变式训练一题面：如图求由两条曲线v= -x2, y= 4x2及直线y= 1所围成的图形的面积.答案：3.3详解:y二 x由V= 1 1得交点A(1 1), B(1, -1)._ 1 2y 4x ,由 4 得交点 C(2, 1)

5、, D(2, -1).y= T,所求面积S=2 /0 -4x2+x2 dx+ 2 -1x2+1 dx =4.13变式训练二题面：例1求在0,2 上，由x轴及正弦曲线y sinx围成 的图形的面积.答案：4.详解：作出y sinx在0,2 上的图象如右求积s题二y sinx与x轴交于0、2 ,所22osinxdx | sin xdx | ( cosx) |o ( cosx) |4题面：（作图求积分，四星）求曲线y x3 6x与曲线y x2 所围成的图形的面积.交点的横坐标分别为2,0,3, S 2环.变式训练一题面：求曲线y x2, y x及y 2x所围成的平面图形 的面积.答案：7.6详解：2

6、xxyxyx)dx 2(2x x2)dx的图如右2x04y01x01y0作出y x2, y x及y解方程组y 2x得 y x解方程组y x2得 y x所求面积s0（2x0xdx 2(2x x2)dx|0(x答：此平面图形的面积为；变式训练二 题面：求由抛物线y2 8x(y 0)与直线x y 6及y 0 围成图形的面积.答案：”.3详解：6的图形如右:x作出 y2 8x(y 0)及 x y、2解方程组y 8 nx y 6 0解方程组x y 6 0 y 0所求图形的面积s题三题面：(1)由曲线y6,直线y x 2及y轴所围成的 图形的面积为.(2)由曲线y2 x与直线y x 2所围成的封闭图 形的

7、面积为.答案：(1)(2) 232已知函数F二卜小一上的图象与X轴所围-工+1, 0<x<l成图形的面积为()A. 1/2 B. 1 C. 2 D. 3/2答案：D.详解： 由题意图象与X轴所围成图形的面积为10(x 1)dx cosxdx21 210(-x x) |o sinx|2 21 1232故选D.题四题面:(导数与积分结合，二星)设函数f(x) xm ax的2导函数为f(x) 2x 1,则f(x)dx的值等于1答案：56变式训练一题面：设函数f(x)=xm + ax的导函数f' (x) = 2x+1,则2f(x)dx的值等于1()B.2D.6A.56C.23答案：

8、A.详解：由于 f(x) = xm + ax 的导函数 f'x)=2x+1,所以 f(x) = x2+x,于是 2f(x)dx= 2(x2-x)dx= 1x3-1x25 =6.设函数f(x0) = xm+ax的导函数5A-6C.23变式训练二 题面：f'x0=2x+1,则 2f(x)dx 的值等于()11 B.21 D-6答案：A.详解:由于 f(x) = xm+ax的导函数为 f'x)=2x+1,所以 f(x) = x2 + x,于是 2f(ix)dx= 2(x2 x)dx= gx3-2x2 1=6.题五题面：求A厂 sin 2xdx（化简后求积分，四星）（1）原式0

9、2sin x cosx dx04 (8sxsin x)dx 2 (sin x cosx)dx 2 2 2.4(2)/_4 x _ 4 x、(sin cos )dx022变式训练一题面：与定积分/ 0弋1 cos xdx相等的是（A.V2/0"sin2dxxB./3兀 sin 2 dxC. 2/0”sin 2dxD.以上结论都不对答案：B.详解：1 cos x = 2sin22,E”小一cosxdx=铲V2 sin，dx x=小浜 sin，dx.变式训练二 题面：4cosxdx0答案: 详解:因为o'cosxdx sin x4 =sin 4=孝，所以 40cos xdx=

10、65;.题六题面：(定积分的运用)三星)函数f(x) = sin(cox+昉 的导函数y=f' (x)的部分图象如图所示，其 中，P为图象与y轴的交点，A, C为图象与x 轴的两个交点，B为图象的最低点.若$=，点P的坐标为0, 323 ,则3=) (2)若在曲线段双BC与x轴所围成的区域内随 机取一点，则该点在 ABC内的概率为B解析函数f(x) = sin(cox+。)求导得) f ' (x)= coCOS(3 x+ 机把 j= 6口点 0, 3y2 代 入得 wcos 0+6 = '2 解得 3=3.(2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数f'（x） =

11、 3cos3x + 6,求得 A0B需 一3 , C片, 0 ,故ZBC的面积为Sbc = 2X33FX 3=；,曲线段与x轴所围成的 99 L区域的面积 S=- fxYg = sin 41c+6+sin?+6=2,所以该点在 abc内的概率为 p=ST=：.同类题一题面:设丫= f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实根，且f'x) = 2x 2.答案:(1)(2)(3)t=1 - 132.求y=f(x)的表达式；(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.答案：(1) f(x) = x.2x+1.13.详解：设 f(x) = ax2+bx+c(aw0)则 f&#

12、39;x) = 2ax+ b.又 f x) = 2x 2,所以 a=1, b= 2,即 f(x) = x22x+c.又方程f(x) = 0有两个相等实根，所以 A= 4 4c= 0,即 c=1.故 f(x) = x22x+ 1.(2)依题意，所求面积为S= 题面：设y=f (x)是二次函数，方程f (x) =0有两个相等的实根，且f' (x) =2x+2.(1)求y=f (x)的表达式；(2)求y=f (x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.(2)若直线x= t (0<1<1=把y=f (x)的图象与两坐标轴所围成图形的 面积二等分，求t的值.f (x) =x2+2x+1.

13、 (x2 2x+1)dx= (1xx2 + x)|1 = 1.0同类题二详解:(1)设 f (x) =ax2+bx+c,贝U f' (x) =2ax+b, 又已知 f' (x) =2x+2a=1, b=2. . f (x) =x2+2x+c又方程f (x) =0有两个相等实根，判别式 A=4-4c=0,即 c=1.故 f (x) =x2+2x+1.10c n 1(2)依题思，有所求面积=i(x 2x 1)dx (- x x x) | i -.33(3)依题意,有 1(x22x 1)dx0t (x2 2x 1)dx ,2-1t3+t2-t+-1 c cc=-t3- t2+t, 2t3 3 . (；x3 x2 x)| 1 gx3 x2 x) |0t , 336t2+6t1=0, 2 (t-1) 3=-1,于是 t=1 - 31.思维拓展题一题面：(几何法求积分，四星)(1)计算 0>/1 x2dx , ：x2sin xdx ； (2)求椭圆 之 为 1 01a b的面积.S 40ab厅Tdx普。a VOdx,转化为圆的面积.同类题一题面：求定积分11oyr-x7)dx的值.答案:详解:11(J1 x2)dx表示圆 x2 + y2=1 在 第一、二象限的上半圆的面积.因