八年级数学上册第三章3.3勾股定理的应用知识点与同步训练(含解析)(新版)苏科版

1、知识精讲求线段长常用的方法有：1.直接利用勾股定理：已知直角三角形的两条边，求另外一条；2 通过设未知数，根据勾股定理列方程，解方程；3通过特殊三角形的比例关系来计算（仅限于选择、填空题中的快速计算）如图 1, BC : AB : AC =1: 2: 3 ；如图 2, BC : AC : AB =1:1: 24面积法：当所求的线段为三角形的高时，利用面积相等可求得对应高的长度;如上图，SAB-ACJBC=-AB|CD, CD = ACLBCACLBC .22AB5挖掘题目中的隐含条件，通过全等三角形、等腰三角形等来求线段长；6 做辅助线：根据题目中的条件，添加适当的辅助线，如垂直等进而解三角形

2、.二勾股定理与最短距离在立体图形中，往往会涉及到求某两点之间的最短路程问题，这就需要我们画出立体图形的展开图，然后利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离.三.两点间距离公式在平面直角坐标系中，任意给定两点 A a,b , B c,d 过点A B分别向坐标轴作垂 线，贝 VAC=bd| , BC=ac，由勾股定理可得， AB=J（a _c）2+（b_d 丫 （初中阶段 解答题中不能直接勾股定理的应用22应用，如果需要，应提前说明“由勾股定理得”）3三点剖析一考点：1 求线段长；2 最短路径问题；3 两点之间距离公式.重难点：根据已知条件，分析相应图形，并选取合适的方法，求线段长.三.

3、易错点：1.在应用勾股定理的过程中，注意分清楚直角边和斜边，选择正确的公式来进行计算;2.30 所对的直角边是斜边的一半，注意分清楚“所对的直角边”和“斜边”.题模精讲题模一：求线段长例 2.1.1 在 Rt ABC 中，/ C=90, AC=9 BC=12 则点 C 到 AB 的距离是（）【答案】A【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示:A.365B.12C.D.254在 Rt ABC 中，AC=9, BC=12根据勾股定理得：AB=AC2BC2=15,过 C 作 CDLAB 交 AB 于点 D,11又SA ABC=AC?BC AB?CD22ACBC 9 M2 36 CD= =,AB 15

4、55则点 C 到 AB 的距离是 .5故选 A例 2.1.2 如图.在 Rt ABC 中，/ A=30, DE 垂直平分斜边 AC,交 AB 于 D, E 是垂足, 连接 CD 若BD=1,则 AC 的长是（）A.2 二B.2C.4 二D.4【答案】A【解析】 / A=30,Z B=90,/ ACB=180 - 30- 90 =60,/ DE 垂直平分斜边 AC AD=CD/ A=Z ACD=30 ,/ DCB=60 - 30 =30,/ BD=1 CD=2=AD AB=1+2=3在厶 BCD 中，由勾股定理得： CB=,在厶 ABC 中，由勾股定理得：AC= ,.-，二=2 二,故选：A.例

5、 2.1.3如图，直线 I 过等腰直角三角形 ABC 顶点 B, A、C 两点到直线 I 的距离分别是 2和 3,则 AB 的长是（）【解析】 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理, 利用了转化的数学思想，灵活运用全等三角形的判定与性质是解本题的关键.C.11D.13【答案】D6DRE如图所示：ABC 为等腰直角三角形， AB=BCZABC=90,/ABDfCBE=90,又 ADL BDADB=90 ,/DAByABD=90,/CBEyDAB 在厶 ABD 和厶 BCE 中，J/ADB =/BEC= 90DAB = /CBE,AB = BCABDABCE BD=

6、CE 又 CE=3 BD=3在 Rt ABD 中 , AD=2 BD=3根据勾股定理得：AB= .AD2D昏=.13故选 D例 2.1.4 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm, BC=8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）AA. 2 cmB.3cmC.4cmD.5cm【答案】B【解析】该题考查的是勾股定理的计算./ AC =6 , BC =8 , . C =90 , AB =10 ,TAE =6, BE = 4,设 CD =x =DE，则在RtADEB中 ,7x242= 8- x?,故 x=3 ,8故选 B.题模二：最短路径问题例

7、 221 如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为【解析】该题考查最短路径求解.10D.4【答案】C9将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可.以 DG 为对称轴做点 A 的对称点 L,连结 CL 则蚂蚁从 A 到 C 处的最短距离为 LC,例 2.2.2 如图，圆柱形玻璃杯，高为6cm,底面周长为 16cm,在杯内离杯底 2cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁, 蜂蜜的最短距离为_ cm.离杯上沿 2cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达厂”-、【答案】 10【解析】 该题考查的是最值问题.圆柱的侧面展开图如下：-.

8、10 .故选 C.10LJKAAJK,又由题意得 HI =BC =- 16=8 ,2 LB =LJ JB =BH JB =6 , Rt LBC中,CL = . BC2LB2= 6282=10 , AK CK =CL =10，即蚂蚁到达蜂蜜处的最短距离为10cm .例 2.2.3 如图，是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该 U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为5m 的半圆，其边缘 AB=CD=20cm小明要在 AB 上选取一点 E，能够使他从点 D 滑到点 E 再到点C 的滑行距离最短，则他滑行C 关于 AB 的对称点 F，连接 DF,5m 的半圆

9、， BC=nR=5n=15m, AB=CD=20mACF=30m 在 RtCDF中，DF=/CF：+CD +20，=1013 m 故他滑行的最短距离约为 10 _ ?m.题模三：两点之间距离公式 例 2.3.1 在一次“寻宝”人找到了如图所示的两个标志点根据轴对称性质可得 JL =BH =AJ =CI=2 ,A （2，3），B （4，1），A, B 两A.（1，0）C.（1，0）或（5，4）【答案】CB.（5,4）D.（0， 1）或（4， 5）中间可供滑行的部分的截面是半径的最短距离为m（n取 3）CE【答案】10 下【解析】其侧面展开图如图：作点11点到“宝藏”点的距离都是.10，则“宝藏”

10、点的坐标是（【解析】 本题考查了坐标的确定及利用两点的坐标确定两点之间的距离公式，是一道中难 度题.12根据两点之间的距离公式，d=.(x“_X2)2(y“_y2)2，将四个选项代入公式中，观察哪一个等于10，再作答.设宝藏的坐标点为 C( x, y),根据坐标系中两点间距离公式可知，AC=BC则(x-2 )2+ (y-3 )2= (x-4 )2+ (y-1 )2,化简得 x-y=1 ;又因为标志点到宝藏”点的距离是10,所以(x-2 )2+ ( y-3 )2=10;把 x=1+y 代入方程得，y=0 或 y=4,即 x=1 或 5,所以宝藏”C点的坐标是(1, 0)或(5, 4).故选 C.

11、顧随堂练习随练 2.1已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm, 8cm,那么这个直角三角形斜边上的高为cm.【答案】 4.8【解析】T直角三角形的两条直角边分别为6cm,8cm, 斜边为 、：二=10，设斜边上的高为 h, 则直角三角形的面积为x 6X8=x10h,h=4.8cm，这个直角三角形斜边上的高2 2为 4.8cm .随练 2.2在 Rt ABC 中，/ ACB=90 / BAC=30 ,BC=2以斜边 AB 为一边，作等边 ABD则线段 CD 的长为【答案】 2 或 2 一 7【解析】本题考察的是解三角形.13如图，由 BC =2 , . BAC =30 知AB=4 AC =2

12、、3 . . ABC =60 1当 D 与 C 分居直线 AB 两侧时，-CAD =30 60=90，由勾股定理，CDnAC2 AD2=$AC2AB23 ?42=2、. 7 .2若 /ABC ZABD ，故D在 BC 的延长线上那么 CD= BD _ BC = AB _ BC = 2随练 2.3 ABC 中，AB=13, AC=15 BC 边上的高 AD=12 贝 U BC=_【答案】 14 或 4【解析】 该题考查勾股定理.如图，锐角 ABC 中，AB = 13,AC =15, BC 边上高AD =12, 在 Rt ABD 中AB =13,AD =12，由勾股定理得:2 2 2 2 2BD

13、二 AB -AD =13 -12 =25 BD=5在 Rt ACD 中AC =15,AD =12，由勾股定理得:2 2 2 2 2CD 二 AC -AD =15 -12 =81 CD=9 ,A14 BC的长为BD DC =9 5 =14钝角 ABC 中，AB =13,AC =15, BC 边上高AD =12, 在 Rt ABD 中AB =13,AD =12，由勾股定理得:2 2 2 2 2BD =AB AD =13 -12 =25 BD=5 ,在 Rt ACD 中:AC=15,AD =12，由勾股定理得:2 2 2 2 2CD 二 AC -AD =15 -12 =81 CD=9 , BC 的长

14、为DC - BD =9-5=4综上可知答案为：14 或 4随练 2.4 如图所示，在 Rt ABC 中，/ A=90, BD 平分/ ABC,交 AC 于点 D,且 AB=4, BD=5 则点 D到 BC 的距离是（）A.3B.4C. 5D. 6【答案】A【解析】15过 D 点作 DEIBC 于 E./ A=90, AB=4, BD=5 AD=、.BD2AB2= 52-42=3,/ BD 平分/ ABC / A=90,点 D 到 BC 的距离=AD=3故选 A.随练 2.5 如图，长方体的底面边长分别为1cm 和 3cm,高为 6cm 如果用一根细线从点 A开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点B

15、,那么所用细线最短需要 _ cm；如果从点 A 开始经过4 个侧面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要 _ cm.3cm.【答案】(1) 10 (2) 29 16n2【解析】B3将长方体展开，连接 A B,根据两点之间线段最短，AB=8262=10 (cm);如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点 B,相当于直角三角形的两条直角边分别是8n 和 6,根据勾股定理可知所用细线最短需要 62(8n)2 36 64n2=2 二9 16n2(cm).故答案为：10; 29 16n2.16随练 2.6 在平面直角坐标系中，已知点A （-忑,0）, B（75 , 0）,点 C 在坐标轴上，且AC+BC=6 写出满足条件的所有点C 的坐标_ .【答案】（0, 2）, （ 0,-2 ）, （-3 , 0）, （3, 0）【解析】本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质解题时，要分类讨论，以防漏解另外，当点 C 在 y 轴上时，也可以根据两点间的距离公式来求点C 的坐标.需要分类讨论：当点 C 位于 x 轴上时，根据线段间的和差关系即可求得点C 的坐标；当点 C 位于 y 轴上时，根据勾股定理求点C 的坐标.如图，当点 C 位于 y